Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

== Pojęcie ciągu ==

 

Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.

Spojrzmy teraz na definicję:

 

{{Mat:Def|

'''Ciągiem''' nazywamy '''funkcję''', która jest określona dla kolejnych '''liczb całkowitych dodatnich'''.

Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy <math> a_1 </math> zamiast <math> a(1) </math>, <math> a_2 </math> zamiast <math> a(2) </math>, <math> a_3 </math> zamiast <math> a(3) </math> itd. W ogólności zamiast <math> a(n) </math> napiszemy <math> a_n </math>.

 

<math> a_1 </math>, <math> a_{10} </math>, czy też <math> a_n </math> są nazywane '''wyrazami ciągu'''. <math> a_1 </math> to pierwszy wyraz ciągu, <math> a_5 </math> to piąty wyraz ciągu, a <math>a_k</math> to k-ty wyraz ciągu itd.

 

Zamiast ''a'' może być dowolna inna litera.

 

Popatrzmy na kolejny przykład ciągu: <math> a_1 = 1 </math>, <math> a_2 = 4 </math>, <math> a_3 = 2 </math>, <math> a_4 = 10 </math>. Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że '''wartościami''' tego ciągu są '''liczby''' np. 10 dla wyrazu <math> a_4 </math>. Ciąg taki nazywamy '''ciągiem liczbowym'''.

 

 

Przykład przedstawiony na samym początku nie jest ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśki, Mietka czy Maryśki do liczb nie zakwalifikujemy.

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy przykład ciągu nieskończonego <math> (b_n) </math>, w którym zachodzi:

: <math> b_n = 2 \cdot n </math>

: <math> c_1 = 2\cdot (1-4) = -6 </math>, <math> c_2 = 2 \cdot (2-4) = -4 </math>, <math> c_3 = 2 \cdot (3-4) = -2 </math>, <math> c_4 = 2 \cdot (4-4) = 0 </math>, <math> c_5 = 2 \cdot (5-4) = 2 </math>, <math>c_6 = 2 \cdot (6-4) = 4 </math>, <math> c_7 = 2 \cdot (7-4) = 6 </math>, <math> c_8 = 2 \cdot (8-4) = 8 </math>.

 

Jak dla każdej funkcji określonej w podzbiorze liczb rzeczywistych, także dla ciągu możemy narysować wykres. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak: