Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny: Różnice pomiędzy wersjami

 

=== Definicja ===

 

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

Czy <math> (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) </math> będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ <math> a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 </math> i <math> a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 </math>, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

 

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że <math> a_{n+1} </math> to pewien wyraz, <math> a_{n} </math> to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica <math> a_{n+1} - a_{n} </math> będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako ''r''. Napiszemy:

: {{Wzór|<math> r = a_{n+1} - a_n </math>|opis=różnica ciągu|pozioma pozycja opisu=prawy}}

 

=== Wzór ogólny ===

Powróćmy do ciągu <math> (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) </math>. Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz <math> c_1 = 3 </math>, a różnica ciągu wynosi <math> r = 23 - 13 = 10 </math>. Ponieważ <math> r = c_2 - c_1 = 10 </math>, więc <math> c_2 = c_1 + 10 </math>, podobnie <math> c_3 - c_2 = 10 \implies c_3 = c_2 + 10 </math>, <math> c_4 - c_3 = 10 \implies c_4 = c_3 + 10 </math> itd. Więc zrobimy tak:

: <math> c_1 = 3 </math>