Wikibooks

Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m poprawa nawigacji
Ajsmen91 (dyskusja | edycje)
95 edycji
m lit.
Linia 10:
== Sumy częściowe ==
{{index|suma częściowa}}
Suma częściowa ciągu to inaczej suma iluś wyrazów pewnego ciągu. NajprostrzymNajprostszym przykładem może być <math> a_1 + a_2 </math>, czy też <math> a_2 + a_4 + a_6 </math> dla pewnego ciągu <math> (a_n) </math>.
 
Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu <math> (a_n) </math> zdefiniowanego wzorem <math> a_n = 2 \cdot |n-3| </math>. Mamy <math> a_1 = 2 \cdot |1-3| = 2 \cdot 2 = 4 </math>, <math> a_2 = 2 \cdot |2-3| = 2 </math>, <math> a_3 = 2 \cdot |3-3| = 0 </math>, <math> a_4 = 2 \cdot |4-3| = 2 </math>, czyli:
Linia 46:
Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę <math> S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 </math>. Widzimy, że <math>n = 10 </math> i ponadto <math> a_1 = 1 </math> i <math> a_{10} = 10 </math>. Zatem <math>S_{10} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1+10}{2} \cdot 10 = 55 </math>.
 
Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleśćznaleźć wzór na sumę ''n'' kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie ''1'', czyli <math> a_1 = 1 </math>, a n-tą liczbą jest <math> a_n = n </math>. Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:
: <math> S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2} </math>,
być może już przez niektórych znany.
Linia 141:
 
 
Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę <math> S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 64 </math>. Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że <math> a_1 = 1 </math>, ponadto <math> q = 2 </math>. Zastanówmy się, z ilu elementów składa się tasumata suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że <math> a_n = 1 \cdot 2^{n-1} </math>, a z sumy do policzenia, że <math> a_n = 64 </math>. Więc <math> a_n = 2^{n-1} = 64 = 2^6 </math>, czyli <math>n-1=6 \implies n=7</math>. Ponieważ <math> q = 2 \neq 1 </math>, więc wykorzystamy wzór drugi:
: <math> S_7 = a_1 \cdot \frac{1-q^7}{1-q} = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = \frac{-127}{-1} = 127 </math>.
 
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ciągi_liczbowe/Suma_częściowa_ciągu”