Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Ajsmen91 (dyskusja | edycje)
m lit.
Linia 59:
#: <math> x_1=11,~\in \left[\frac{5}{2};+\infty\right)</math>
# Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.
 
== Rozwiązywanie nierówności potęgowych ==
Przykładem nierówności potęgowej może być:
: <math> x^2>x^{-3} </math>
: <math> x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0 </math>
: <math> 3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4} </math>
 
Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:
# Ustalamy dziedzinę.
# Przenosimy całe równanie na lewą stronę.
# Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
## <math> \frac{a}{b}>0 \iff ab>0 </math>
## <math> \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 </math>
# Udzielamy odpowiedzi.
Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez <math> x^k </math>, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ <math> x^k </math> zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak równania nie może ulec zmianie.
 
<big> '''Przykład 1''' </big>
 
Chcemy rozwiązać nierówność <math> x^{-4}>x^{-3} </math>.
 
Możemy to zrobić w standardowy sposób:
# Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:
#: <math> x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb{R} \backslash \{0\} </math>
#: <math> \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} </math>
# Przenosimy wszystko na lewą stronę:
#: <math> \frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0 </math>
# Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> \frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0 </math>
#: <math> \frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0 </math>
#: <math> -x^4(x-1)>0 </math>
# Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:
#: <math> x_1=0 </math> o krotności 4
#: <math> x_2=1 </math> o krotności 1
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png]]
# Rozwiązaniem nierówności jest <math> x \in (-\infty;0) \cup (0;1) </math>
 
Nierówność <math> x^{-4}>x^{-3} </math> możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny <math> D=\mathbb{R} \backslash \{0\}</math>) wymnażając obie strony przez <math> x^4 </math>, ponieważ <math>x^4 > 0</math> dla każdego ''x'' różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:
: <math> \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} </math> <math> / \sdot x^4 </math>
: <math> 1>x </math>
Uwzględniając dziedzinę <math> D = \mathbb{R} \backslash \{0\}</math> otrzymujemy, że <math> x \in (-\infty;0) \cup (0;1) </math>. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.
 
Trzeba dodać, że ''nie moglibyśmy wymnożyć'' przez np. <math>x^5</math> (wykładnik nieparzysty), ponieważ <math> x^5 </math> może przyjąć wartość ''ujemną''. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ''ujemną'', musimy zmienić ''znak na przeciwny''. Wymnażając przez <math> x^5 </math> nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.
 
Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez <math> x^4 </math> (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy <math>x^4 = 0</math>, czyli gdy <math>x = 0</math>. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez ''0'' obie strony nierówności się zerują np. <math> x+5 \geq 10 </math> przechodzi na <math> 0 \geq 0 </math> (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba ''x = 0'' spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy <math>x^4=0</math>), a także która z liczb <math> x \neq 0 </math> spełnia wymnożoną nierówność (wtedy <math> x^4 \neq 0</math>). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.
 
Na szczęście w powyższym przykładzie <math> D = \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>, czyli ''x'' nigdy nie będzie równy ''0'' i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.
 
<noinclude>
 
{{MDL:NawDolna|
rozdział=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna|
poprz=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności|
nast=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja wykładnicza i jej własności}}
 
[[Kategoria:Algebra|Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych]]
 
</noinclude>