Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
m Wycofano zmiany wprowadzone przez Wikipedystę:89.174.79.54 i przywrócono wersję ostatnio zmienioną przez Wikipedystę:Ajsmen91. |
|||
Linia 5:
nast=Pojęcie i własności logarytmu|
nastart=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu}}
</noinclude>
== Rozwiązywanie równań wykładniczych ==
{{index|równania wykładnicze, rozwiązywanie równań wykładniczych}}
<noinclude>{{MDL:Rozszerzony}}</noinclude>
Przykładami równań wykładniczych mogą być:
: <math> 3^x=27 \ </math>
: <math> \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15 </math>
: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2} </math>
: <math> 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0 </math>
Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:
# Ustalamy dziedzinę.
# Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
# Rozwiązujemy równanie.
# Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
# Podajemy odpowiedź.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} </math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R} </math>
# Sprowadzamy do tej samej podstawy:
#: <math> (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}=(4^2)^{x+3} </math>
#: <math> 4^{-\frac{1}{2}x+1}=4^{2x+6} </math>
# Z równości potęg wynika równość wykładników:
#: <math> -\frac{1}{2}x+1=2x+6 </math>
#: <math> -2\frac{1}{2}x=5 </math> <math> /:(-2\frac{1}{2}) </math>
#: <math> x=-2,~\in D </math>
# Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
# Możemy sprawdzić rozwiązanie:
#: <math> L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}=
\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16 </math>
#: <math> P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \ </math>
#: Zatem <math> L=P \ </math>
<big> '''Przykład 2''' </big>
Jeśli chcemy rozwiązać równanie <math> 2^x+2^{7-x}=24 </math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
#: <math> 2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R} </math>
#: <math> 2^x+\frac{2^7}{2^x}=24 </math>
# Podstawiamy <math> 2^x=t, t \in \mathbb{R}_+ </math>
#: <math> t+\frac{128}{t}=24 </math> <math> / \sdot t </math>
#: <math> t^2-24t+128=0 \ </math>
# Otrzymujemy:
#: <math>t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+</math>
#: <math>t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+</math>
# Ponieważ <math> 2^x=t </math>:
#: <math>2^x=t_1\ </math> lub <math>2^x=t_2\ </math>
#: <math>2^x=2^3\ </math> lub <math>2^x=2^4\ </math>
#: <math>x=3\ </math> lub <math>x=4\ </math>
# Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.
== Rozwiązywanie nierówności wykładniczych ==
{{index|nierówności wykładnicze, rozwiązywanie nierówności wykładniczych}}
Przykładami nierówności wykładniczych są:
: <math> 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}} </math>
: <math> 3^{x^2-2}<3\sqrt{3} </math>
: <math> \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x} </math>
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
# Ustalić dziedzinę
# Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
# Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
#: dla <math> a \in (1;+\infty) </math>
#:: <math> a^n>a^m \iff n>m </math>
#:: <math> a^n<a^m \iff n<m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
#: dla <math> a \in (0;1) </math>
#:: <math> a^n>a^m \iff n<m </math>
#:: <math> a^n<a^m \iff n>m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
# Rozwiązujemy otrzymane równanie.
# Udzielamy odpowiedzi.
Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie <math> 2^{2x-1} \geq 2^{3-x} </math>, możemy je przekształcić na równanie <math> 2x-1 > 3-x </math>, ponieważ <math> a=2 \in (1;+\infty) </math>. Natomiast <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x</math>, ponieważ <math> a=\frac{1}{2} \in (0;1) </math>.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać nierówność <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>. W tym celu:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\} </math>
# Sprowadzamy do tych samych podstaw:
#: <math> \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
#: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
# Ponieważ <math> a=\frac{1}{2} </math>, wykorzystujemy prawo <math> a^n>a^m \iff n<m </math>:
#: <math> 2x<\frac{2x}{x+1} </math>
# Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> 2x-\frac{2x}{x+1}<0 </math>
#: <math> \frac{2x^2}{x+1}<0 </math>
# Z własności <math> \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 </math>, wynika że:
#: <math> 2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0 </math>, krotność 2 i <math> x_2=-1 </math> o krotności 1.
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png]]
# Czyli <math> x \in (-\infty;-1) </math>
<noinclude>
{{MDL:NawDolna|
rozdział=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna|
poprz=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja wykładnicza i jej własności|
nast=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu}}
[[Kategoria:Algebra|Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych]]
</noinclude>
| |||