Matematyka dla liceum/Logika/Spójniki logiczne: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
mam was w arsenie
Linia 1:
mam was w arsenie
<noinclude>
{{MDL:NawGórna|
[[Matematyka dla liceum/Logika/Zdanie|Zdanie]]|
[[Matematyka dla liceum/Logika/Prawa rachunku zdań|Prawa rachunku zdań]]
}}
 
</noinclude>
 
== Spójniki logiczne ==
=== Koniunkcja ===
{{index|koniunkcja, logiczny spójnik „i”}}
Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako ''r''. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:
* „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez {{math|p}}
* „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez {{math|q}}
Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem ''i'', które w matematyce oznaczamy przez <math> \and </math>. '''Zdania''' połączone '''spójnikiem ''i''''' nazywamy '''koniunkcją'''.
Możemy przyjąć, że zdanie {{math|r}} jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni ({{math|1=p = 1}}) i kupiliśmy książkę ({{math|1=q = 1}}). Natomiast, jeśli któreś ze zdań {{math|p}} i {{math|q}} byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania {{math|r}} wynosiłaby {{math|0}}. W zależności od wartości logicznych {{math|p}} i {{math|q}} możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania <math> p \and q </math> (czyli zdania {{math|r}}), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania {{math|p}} i {{math|q}} są prawdziwe.
 
<div align="center">
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" | {{math|p}}
! style="width: 60px" | {{math|q}}
! style="width: 60px" | {{math|p &and; q}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|}
</div>
 
W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.
 
=== Alternatywa ===
{{index|alternatywa, spójnik logiczny „lub”}}
Oznaczmy przez {{math|r}} zdanie: ''„Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”''. Zdanie {{math|r}} możemy podzielić na dwa zdania proste:
* zdanie {{math|p}}: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
* i zdanie {{math|q}}: „Dziś rano pooglądam telewizję”
połączone spójnikiem ''lub''. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, '''spójnik lub''' oznaczamy przez <math> \or </math>. Nasze zdanie {{math|r}} będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie {{math|p}} będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie {{math|q}} będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania {{math|p}} i {{math|q}} są prawdziwe). Tabelka przedstawiającą wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania {{math|p}} i {{math|q}} będzie wyglądać tak:
 
<div align="center">
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" | {{math|p}}
! style="width: 60px" | {{math|q}}
! style="width: 60px" | {{math|p &or; q}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|}
</div>
 
W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie {{math|p}} „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie {{math|q}} „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania {{math|p &or; q}} wynosi {{math|1 &or; 0}}, czyli {{math|1}}. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście ''prawdziwe''.
 
=== Negacja ===
{{index|negacja zdania, zaprzeczenie zdania}}
Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie {{math|r}}. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez {{math|p}}. Negację zdania {{math|p}} przedstawiamy jako <math> \neg p </math>. Jeśli zdanie {{math|p}} jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie {{math|r}} jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie {{math|p}} jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie {{math|r}} jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.
 
<div align="center">
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 60px" | {{math|p}}
! style="width: 60px" | {{math|&not; p}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</div>
 
=== Implikacja ===
{{index|implikacja, wyrażenie „jeżeli ...\, to ...”}}
Oznaczmy {{math|r}} jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:
* zdania {{math|p}}: „Będziesz grzeczny”
* zdania {{math|q}}: „Dostaniesz czekoladę”
Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika <math> \implies </math>, a w tym przypadku przez <math> p \implies q </math>.
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie {{math|r}} będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu '''{{math|p}}''' mówimy, że jest '''warunkiem wystarczającym''' do tego, by zaszło '''{{math|q}}''', a o '''{{math|q}}''', że jest '''warunkiem koniecznym''' do tego, by zaszło '''{{math|p}}'''. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:
 
<div align="center">
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 100px" | {{math|p}}
! style="width: 100px" | {{math|q}}
! style="width: 100px" | {{math|p &rArr; q}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</div>
 
Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:
: {{math|p}}: „pies ma osiem łap”,
: {{math|q}}: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.
Wiemy, że pierwsze {{math|p}} jest fałszywe, a zdanie {{math|q}} jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania {{math|p &rArr; q}} wynosi {{math|1=0 &rArr; 1}}. Otrzymujemy wartość logiczna tego zdania wynosi {{math|1}}. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.
 
=== Równoważność ===
{{index|równoważność, wyrażenie „... wtedy i tylko wtedy\, gdy ...”}}
Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez <math> \iff </math>. Tabela równoważności będzie wyglądać tak:
 
<div align="center">
{| class="wikitable" style="text-align:center" |-
! style="width: 100px" | {{math|p}}
! style="width: 100px" | {{math|q}}
! style="width: 100px" | {{math|p &hArr; q}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|1}}
|-
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
| align="center" | {{math|0}}
|-
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|0}}
| align="center" | {{math|1}}
|}
</div>
 
Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania {{math|p}} i {{math|q}}:
: {{math|p}}: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
: {{math|q}}: „pies ma osiem łap”
Wartość logiczna zdania {{math|p}} wynosi {{math|1}}, a {{math|q}} wynosi {{math|0}}. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi {{math|0}}. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby {{math|0}}.
 
 
Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.
 
<noinclude>
 
{{MDL:NawDolna|
rozdział=Logika|
poprz=Logika/Zdanie|
nast=Logika/Prawa rachunku zdań}}
</noinclude>