Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
poprawki |
|||
Linia 6:
</noinclude>
== W skrócie ==
<big> '''Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego''' </big>▼
; Wzory na miejsca zerowe:
: *dla <math>\Delta>0</math> 2 miejsca zerowe: <math>x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}</math>,
: *dla <math>\Delta=0</math> 1 miejsce zerowe: <math>x_0=\tfrac{-b}{2a}</math>,
: *dla <math>\Delta<0</math> miejsca zerowe nie istnieją.
; Metoda wyciągania wspólnego czynnika
: *równanie postaci np. <math> x^2 + x = 0</math>
: *przekształcamy do <math> x(x+1) = 0</math>, po czym rozwiązujemy: x=0 oraz (x+1) = 0.
: *np. <math>x^2+6x+3 = 0 \; \; \rightarrow \;\;(x+3)^2 = 0</math>
: *np. <math>x^2-9 = 0 \; \; \rightarrow \; \;(x+3)(x-3) = 0</math>
; Równanie dwukwadratowe
: *równanie postaci <math>ax^4 + bx^2 + c \,=\, 0</math> rozwiązujemy metodą podstawiania,
: *przy założeniu <math>t = x^2</math> rozwiązujemy <math> at^2 + bt + c \;=\; 0</math>,
: *uzyskane pierwiastki <math>t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,t_{4}</math>, które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.
{{index|miejsce zerowe funkcji kwadratowej}}
{{Mat:Tw|
1=Dany jest trójmian kwadratowy <math>ax^2 + bx + c</math> o współczynnikach rzeczywistych, <math>a\not=0</math>. <br>
1. Jeżeli <math> \Delta~> 0</math>, to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:
{{center|<math>x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}</math>}}
2. Jeżeli <math> \Delta~= 0</math>, to trójmian ma jedno miejsce zerowe,
{{center|<math>x_0=\frac{-b}{2a}</math>}}
3. Jeżeli <math> \Delta~< 0</math>, to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.<br>}}
'''
Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:
<math>a\left (x-p\right )^2 + q = 0</math>
<math> a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a}
<math> \left (x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}</math>
Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy
: '''1.''' Gdy <math>\Delta < 0 </math>, to po
: '''2.''' Gdy <math>\Delta = 0 </math>, wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość
: <math> \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = 0 </math> / Pierwiastkujemy obustronnie
: <math> x = \frac{-b}{2a} </math>
: Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (dlaczego?).
: '''3.''' Gdy <math>\Delta > 0 </math>
: <math> \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{\Delta}{4a^2}</math> / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z
: <math>|x+\frac{b}{2a}| = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}</math>
: Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
:: <math>x_{1}+\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}</math>
:: <math>x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{b}{2a}</math>
:: <math>x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta} - b}{2a} \; = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
:'''Przypadek 2:''' dla <math>
:: <math>
:: <math>x_{2} =
: Tak więc, dla <math>\Delta > 0 </math> rozwiązaniami są <math>x_{1} = \tfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math> oraz <math>x_{2} = \
▲== Równania kwadratowe ==
{{index|równanie kwadratowe, wyróżnik trójmianu kwadratowego}}
Rozwiąż równania:
Linia 76 ⟶ 91:
* '''Przykład 5.''' <math> -x^{2}-2x=0</math>
* '''Przykład 6.''' <math> x^{2}-5x+22=0</math>
* '''Przykład 7.''' <math> x^{4}-3x^{2}+4=0</math> (równanie dwukwadratowe)
* '''Przykład 8.''' <math> x^{2}+6x-7=0</math>
* '''Przykład 9.''' <math> x^2-4|x|-12=0</math> (równanie z modułem)
===Przykład 1===
Linia 84 ⟶ 99:
<math>x^{2} - 3x - 4 = 0</math>
Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą: <math>a = 1,\; b = -3,\; c = -4</math>.
<math> \Delta~= b^2 - 4ac</math>
<math>\Delta~ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)</math>
<math>\Delta~ = 9 + 16</math>▼
<math>\Delta~ = 25 </math>
Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).
<math>x_1=\
<math>x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2 \cdot 1}</math>
<math>x_1=\frac{3-5}{2} \;= -1</math>
<math>
<math>x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2 \cdot 1}</math>
<math>x_2=\frac{3+5}{2} \; =4</math>
Równanie ma więc dwa rozwiązania: <math> x_{1}=-1\ </math> i <math> x_{2}=4\ </math>.
===Przykład 2===
Linia 118 ⟶ 127:
<math> x^{2}-4=0</math>
Powyższe równanie można również rozwiązać
<math> a^{2} - b^{2} = (a-b) \cdot (a+b)\ </math>
Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian <math>x^2-4 = 0</math> na postać iloczynową:
<math> (x-2) \cdot (x+2) = 0\ </math>
Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast ''x'' podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są: 2 oraz -2.
===Przykład 3===
Linia 134 ⟶ 143:
Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.
<math>a = 1, \; b=-6, \; c=9</math>
<math> \Delta~= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9</math>
<math> \Delta~= 36 - 36 \; =0</math>
Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:
Linia 148 ⟶ 155:
<math>x_{1} = \frac{-b}{2a}</math>
<math>x_{1} = \frac{-(-6)}{2} \; =3</math>
'''Drugi''' sposób - przez wzór skróconego mnożenia:
<math> x_{1}=3\ </math>▼
▲Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:
Przyrównujemy w myślach <math>
Otrzymujemy:
<math> (x-3)^{2} = 0\ </math>
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za ''x'' cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.
'''Uwaga:''' rozwiązywanie metodą ''wzorów skróconego mnożenia'' ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).
Linia 169 ⟶ 177:
<math> x^{2}-2x = 3x + 5</math>
Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:
<math> x^{2}-5x - 5 = 0</math>
<math>a = 1, \; b=-5, \; c=-5</math>
<math> \
<math>
<math>x_{1}=\
<math>x_{
<math>x_{
Rozwiązaniami tego równania są liczby <math>x_{1}=\tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}, \; \; \; x_{2}=\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}</math>
===Przykład 5===
Linia 207 ⟶ 205:
<math> x(-x-2)=0\ </math>
Powyższe równanie zachodzi gdy:</br
Z tego miejsca już możemy podać pierwiastki. Jeśli bowiem podstawimy za x przed nawiasem 0 lub x w nawiasie -2 trójmian się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc liczby 0 oraz -2. Warto dodać, że powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.▼
<math> x= 0 </math> lub <math> -x-2 = 0 </math> </br>
Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając ''x'' przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu).
Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.
▲
===Przykład 6===
Linia 219 ⟶ 222:
<math> \Delta~= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 22</math>
<math> \Delta~= 25 - 88 \; = -63</math>
Wystarczy zauważyć, że <math> \Delta~<0</math> - równanie nie ma więc rozwiązań.
===Przykład 7===
Linia 237 ⟶ 238:
<math> t^{2}-3t-4=0\ </math>
Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.
Dalej rozwiązujemy je tak samo jak każdą funkcję kwadratową i liczymy pierwiastki <math>t_{1}\ </math> oraz <math>t_{2}\ </math>.▼
▲Dalej rozwiązujemy,
<math> \Delta~=
<math>t_{1}=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2} \; = -1</math>
<math>t_{
Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia): ▼
▲Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do naszego założenia:
<math> t = x^{2}\ </math>
Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.
Najpierw, dla t=-1
<math> -1 = x^{2}\ </math>
Linia 265 ⟶ 262:
<math> x^{2}+1=0\ </math>
Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ <math>\Delta~<0 </math>
Podstawmy więc drugą wartość ''t'' równą 4.
<math> 4 = x^{2}\ </math>
Linia 271 ⟶ 270:
<math> x^{2}-4=0\ </math>
Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy <math> (x-2)(x+2)=0\ </math>
Równanie ma dwa rozwiązania: <math>x_{1} = 2</math> i <math>x_{2} = -2 </math> (patrz na przykład nr.2).
Linia 283 ⟶ 282:
<math> x^{2}+6x-7=0</math>
Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.
<math> x^{2}+6x-7=0</math> (*) - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności
"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:
Linia 291 ⟶ 290:
<math> (x+3)^2 = 0</math> (**)
Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: <math>(x+3)^2 = x^2+6x+9</math>. Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba
Skoro mamy otrzymać <math> x^{2}+6x-7
Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy <math>x^{2}+6x-7=0</math>. Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać: <math>x^{2}+6x-7 = (x+3)^2 - 16</math>. </br>
Teraz po kolei liczymy:
▲Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy <math>x^{2}+6x-7=0</math>. Czyli można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!). Teraz po kolei liczymy:
<math> (x+3)^2 - 16 = 0</math>
<math> (x+3)^2 = 16</math> / Pierwiastkujemy obustronnie
<math> \sqrt{(x+3)^2} = \sqrt{16} </math>
Linia 307 ⟶ 306:
<math> \sqrt{(x+3)^2} = 4 </math>
Korzystamy z własności: <math> \sqrt{x^2} = |x| </math>, po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.
{{Infobox|
Linia 317 ⟶ 314:
<math> |x+3| = 4</math>
<math> x_{1} = -7, \; \; x_{2} = 1</math>
W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)
===Przykład 9===
Linia 325 ⟶ 322:
{{MDL:Rozszerzony}}
<math>x^2 - 4|x| - 12 \;=\; 0</math>
Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy <math>x \ge 0</math> i drugi, gdy <math> x < 0
'''1 przypadek
: Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie
: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 </math>
: <math>x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2 </math>
: <math>x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6 </math>
Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia <math>x \ge 0</math>, więc nie jest rozwiązaniem.
'''2 przypadek
: Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.
: <math>x^2 + 4x - 12 = 0</math>
: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 </math>
: <math>x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6 </math>
: <math>x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2 </math>
: Teraz <math>x_{2}</math> nie spełnia naszego założenia (x<0). Odrzucamy go więc.
Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania: <math>x_{1} = 6 </math> i <math>x_{2} = -6</math>.
<noinclude>
| |||