Wikibooks

Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Lethern (dyskusja | edycje)
8268 edycji
poprawki
Linia 6:
 
</noinclude>
 
== W skrócie ==
; znalezienie rozwiązania nierówności polega na:
: obliczeniu miejsc zerowych
: narysowaniu szkicu wykresu funkcji
: rozwiązaniem jest przedział (na wykresie) spełniający nierówność
 
== Nierówności kwadratowe ==
Linia 16 ⟶ 22:
* '''Przykład 6.''' <math> x^2 + 4x - 12 < 0</math>
 
W poprzednim rozdziale dowiedziałeś się, jak rozwiązywać równania kwadratowe. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób. Poniżej przedstawię podstawowy schemat:
# Obliczenie delty i miejsc zerowych
# Naszkicowanie prostego wykresu funkcji
# Odczytanie z wykresu kiedy nierówność jest spełniona.
 
Jak zauważyłeś, doszedł nowy element - szkicowanie wykresu. Rozwiążmy sobie przykładową funkcję.
 
===Przykład 1===
Linia 35 ⟶ 41:
<math>x_{2} = \frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2} = 5</math>
 
Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. (a>0Rysujemy parabole, więcwiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach (<math>\Delta>0</math>), wcześniej obliczonych:
 
[[Grafika:nierownosc1.jpg]]
Linia 43 ⟶ 49:
}}
 
Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy ramionawykres parabolifunkcji znajdują się ponadnad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście sąwówczas gdy x jest mniejszy od -3 orazlub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:
 
<math> x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)</math>
Linia 49 ⟶ 55:
W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:
 
-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),
 
-<math>\infty </math> - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze nawias otwarty,▼
 
▲-<math>\infty </math> - po stronie tego oznaczenia jest zawsze nawias otwarty
 
-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.
Linia 74 ⟶ 79:
Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:
 
<math> x \in <-9, 5></math>
 
Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność <math> f(x) \ge 0</math>.
 
===Przykład 3===
Linia 88 ⟶ 93:
[[Grafika:Wykres3.PNG]]
 
Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:
 
<math> x \in \varnothing</math>
Linia 110 ⟶ 115:
{{MDL:Rozszerzony}}
 
<math> x^4 - 13x^2 + 36 \,>\, 0</math>
 
Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.
 
<math>t = x^2; \;\; t \ge 0</math>
 
<math>t^2 - 13t + 36 \,>\, 0 </math>
 
<math>\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25 </math>
Linia 127 ⟶ 132:
 
{{Infobox|
'''UWAGA!!!'''
 
To, że policzyliśmy wartości <math>t_{1}</math> &nbsp;i&nbsp; <math>t_{2}</math> nie oznacza, że już w tym miejscu korzystamy z założenia <math>t=x^{2}</math> w taki sposób, w jaki używaliśmy go przy równaniach, bowiem jeśli tak to zrobimy, to otrzymane wyniki będą nieprawidłowe!
Właśnie tutaj ukazuje się nam różnica pomiędzy równaniami i nierównościami dwukwadratowymi!
}}
 
Szkicujemy wykres funkcji <math>y=t=x^{2}</math> na którym z watunku <math>t^2 - 13t + 36 > 0</math> zaznaczami zaznaczamy część dodatnią:
 
[[Grafika:Wykres5.PNG]]
Linia 141 ⟶ 146:
<math>t \in (-\infty, 4) \cup (9, +\infty) </math>
 
Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą ''t''. JednakPotrzeba mamynam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną ''x''. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako koniunkcję dwóch nierówności (zamiast przedziałów):
 
<math> t < 4\ </math> i&nbsp;lub&nbsp; <math> t > 9\ </math>
 
A skoroPodstawiamy &nbsp;<math>t = x^2</math> to podstawiamy &nbsp;i rozwiązujemy dwie nierówności:
 
<math> x^2 < 4\ </math> i&nbsp;lub&nbsp; <math> x^2 > 9\ </math>
 
''1.'' &nbsp; <math> x^2 < 4\ </math>
 
: <math> (x-2)(x+2) < 0\ </math>
 
: <math> x \in (-2,2) </math> (pomijamy rysowanie wykresu)
 
''2.'' &nbsp; <math> x^2 > 9\ </math>
 
: <math> (x-3)(x+3) > 0\ </math>
 
: <math> x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) </math> (także pomijamy rysowanie wykresu)
 
Rozwiązaniem jest więcsuma rozwiązań 1. i 2.:
 
<math> x \in (-\infty, -3) \cup (-2,2) \cup (3, +\infty) </math>
 
{{Infobox|
Jeśli nie potrafisz odczytać takiego wyniku w pamięci, możesz narysować oś liczbową, zaznaczyć na niej przedziały, a następnie rozwiązanie odczytać z rysunku.
}}
 
Linia 175 ⟶ 180:
<math> x^2 + 4x - 12 < 0</math>
 
Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o [[Matematyka dla liceum/Postać iloczynowa|postaci iloczynowej]], bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.
 
<math>\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64</math>
Linia 187 ⟶ 192:
Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:
 
<math>(x-(-6x_{1}))(x-x_{2}) < 0</math>
 
<math>(x+6)(x-2) < 0</math>
 
Całe wyrażenie jest ujemne gdy:
# (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
# (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie </br>
(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:
 
<math>\begin{cases} x+6 > 0 \\ x-2 < 0 \end{cases}</math> lub <math>\begin{cases} x+6 < 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}</math>
 
czyli
 
<math>\begin{cases} x > -6 \\ x < 2 \end{cases}</math> lub <math>\begin{cases} x < -6 \\ x > 2 \end{cases}</math>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Funkcja_kwadratowa/Nierówności_kwadratowe”