Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Wlod (dyskusja | edycje)
m →‎Pochodna funkcji: Czyściej (wciąż jest sporo nie tak). Byk poprawiony, o funkcji złożonej, ale sformułowanie nie jest kompletne.
Linia 1:
=Pochodna funkcji=
 
{{Definicja2|1=Jeżeli dana jest funkcja <math>y = f(x)</math>, to pochodnąPochodną funkcji f po zmiennej x w punkcie x<sub>0</sub> nazywamy:
<div align=center>
<math>f'(x_0) = \lim_{x_1 \rightarrow x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}</math>
</div>
}}
 
Jeżeli przyrost argumentu funkcji oznaczymy jako<math>\Delta t = x_1 - x_0</math>, wówczas powyższy wzór przyjmuje postać:
 
<div align=center>
<math>f'(x_0) = \left . \frac{df}{dx} \right |_{x_0} = \left . \frac{d}{dx} f \right |_{x_0} = \dot f</math>
</div>
 
Cześć równania znajdującą się pod znakiem granicy nazywamy ilorazem różnicowym. Możemy zatem odczytać słownie powyższy wzór jako granicę ilorazu różnicowego przy przyroście argumentu funkcji zbieżnym do zera.
Linia 28 ⟶ 22:
*argumentu funkcji literą x.
 
Ucząc się liczyć pochodne funkcji, nieNie warto przywiązywać się do jakichkolwiek oznaczeń dla nazw funkcji, jak i ich argumentów. ŁatwiejNa nam będzie wówczas policzyć np.przykład prędkość, którą w fizyce definiujemy jako pochodną położenia po czasie, czyli:
<div align=center>
<math>v = xp'(t) = \frac{d}{dt} xp</math>
</div>
}}
Linia 38 ⟶ 32:
==Pochodna sumy funkcji==
 
{{Twierdzenie|1=JeżeliDla danefunkcji są funkcje różniczkowalneróżniczkowalnych ''f(x)'',&nbsp; i ''g(x)'', ''h(x)'':
<div align=center>
<math>\Big[ f(x)+g(x)+h(x) \Big]'(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x)</math>
</div>
}}
 
==Pochodna iloczynu funkcji==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f''&nbsp; i ''g'':
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne f(x), g(x):
<div align=center>
<math>\Big[ f(x) \cdot g(x) \Big]'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>
</div>
}}
Linia 95 ⟶ 88:
 
==Pochodna funkcji złożonej==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f''&nbsp; i ''g'':
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne <math>f(g), g(x)</math>:
<div align=center>
<math>f'(f\circ g)'(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math>
</div>
}}