Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
zamiana MDL:NawGórna->Subst:Naw
Borli (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 18:
 
{{Mat:Def|
'''Ciąg''' (co najmniej trzy wyrazowy), w którym '''różnica dwóch kolejnych wyrazów''' jest '''stała''' nazywamy '''ciągiem arytmetycznym.'''
}}
 
Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.
 
Czy <math> (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) </math> będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ <math> a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 </math> i <math> a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 </math>, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.
Linia 53 ⟶ 55:
: {{Wzór| <math> a_n = a_1 + (n-1)r </math>|wzór ogólny ciągu arytmetycznego}}
 
Wiemy, że <math>a_{n-1} = a_1 + (n - 2)r</math> oraz <math>a_{n+1} = a_1 + nr</math>. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy:
Ponadto dla każdego ciągu arytmetycznego <math> (a_n) </math> zachodzi:
<math>a_1 + nr + a_1 + (n-2)r = 2a_1 + nr + nr - 2r = 2a_1 + 2nr - 2r</math>
Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:
<math>2(a_1 + nr -r) = 2(a_1 + r[n- 1]) = 2a_n</math>
 
 
PonadtoWynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego <math> (a_n) </math> zachodzi:
: {{Wzór|<math> a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N}_+ \backslash \{1\} </math>}}
 
Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.
 
O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:
* ciąg jest rosnącarosnący, gdy różnica <math> r > 0 </math>,
* ciąg jest stałastały, gdy różnica <math> r = 0 </math>,
* ciąg jest malejącamalejący, gdy różnica <math> r < 0 </math>.
 
Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla <math>r > 0</math> ciąg jest rosnący.
Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:
{{Mat:Def|
(a_n) jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: <math>\forall_{{b, c} \in N} b < c \Leftrightarrow a_b < a_c</math>
}}
 
Załóżmy więc, że <math> r > 0 </math> oraz:<math>b < c </math>, zbadajmy różnicę <math>a_b - a_c</math>:
<math>
a_b - a_c = a_1 + (b - 1)r - (a_1 + [c - 1]r) = a_1 + br - r - a_1 - cr + r = br - cr = r(b - c)
</math>
Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica b-c też jest dodatnia. Zatem różnica <math>a_b - a_c > 0</math>, co oznacza, że ciąg jest rosnący.
 
<noinclude>