Wikibooks

Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać kanoniczna i wykres funkcji kwadratowej: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Lethern (dyskusja | edycje)
8268 edycji
Wycofanie wersji 69362 utworzonej przez Special:Contributions/194.187.73.16
Lethern (dyskusja | edycje)
8268 edycji
Nie podano opisu zmian
Linia 5:
}}
</noinclude>
 
==W skrócie==
; Postać kanoniczna f-cji kwadratowej:
* <math>f(x) = a(x - p)^{2} + q, \;\; x\in\mathbb{R} </math>
* ''p'' i ''q'' są jednocześnie współrzędnymi wierzchołka paraboli (odpowiednio <math>X_w</math> i <math>Y_w</math>), <math>p=\tfrac{-b}{2a}</math> &nbsp; oraz &nbsp; <math>q= -\tfrac{\Delta}{4a}</math>,
* zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji, gdyż wystarczy wówczas wykres &nbsp;<math>y = ax^2</math> &nbsp;przesunąć o wektor &nbsp;<math>[ p,\, q ]</math>.▼
; Minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>▼
* znajdujemy trzy wartości: f(a), f(b), q▼
* jeśli wartość ''p'' nie należy do przedziału <a,b> -wówczas wierzchołek jest poza przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)▼
* największą z uzyskanych wartości przyporządkujemy ''maksimum'', najmniejszą - ''minimum''.▼
 
== Wykres funkcji kwadratowej ==
Linia 20 ⟶ 10:
Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.
 
Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji <math> y = x^{2} \,</math> dla kilku kolejnych argumentów.
 
 
Linia 48 ⟶ 38:
|}
 
Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y,. którePunkty to punktyte nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:
 
[[Grafika:X^2.jpg]]
 
Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji &nbsp;<math> y = -x^{2} \,</math>
 
{| class="wikitable" |-
Linia 87 ⟶ 77:
== Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ==
{{index|postać kanoniczna funkcji kwadratowej, wierzchołek paraboli}}
PostaćJest kanonicznato przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. jestZnacznie toułatwia równanierysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:<br>
<math>y = a(x - p)^{2} + q\,</math><br>
* gdzie: &nbsp;<math>p = \tfrac{-b}{2a} </math>, &nbsp;natomiast &nbsp;<math>q = \tfrac{-\Delta}{4a}</math>,
* wartości &nbsp;''p'' i ''q''&nbsp; nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli &nbsp;<math>W(X_{w},\; Y_{w})</math>,&nbsp; czyli &nbsp;Xw = p, &nbsp;Yw = q.
 
Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. PrzykładowoPostać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje &nbsp;<math> f(x) = 2x^{2} - 4x + 7</math>&nbsp; i &nbsp;<math> f(x) = 2(x-1)^{2} + 5</math> &nbsp;są sobie równoznacznerówne - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch róznych zapisach.
 
▲*Aby zapisnarysować tenwykres pomagafunkcji, wmając narysowaniudo wykresudyspozycji funkcjipostać kanoniczną, gdyż wystarczy wówczaswykes wykres &nbsp;<math>y = axx^2</math> &nbsp; przesunąć o wektor &nbsp;<math>[ p,\, q ]</math>.
 
'''Dowód''' (informacje dodatkowe)
 
:Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:
Przyrównajmy do siebie postać ogólną oraz kanoniczną:
 
:<math>ax^2+bx+c = a(x-p)^2 + q</math>
 
:<math>ax^2+bx+c = a(x^2-2xp+p^2) + q</math>
 
:<math>ax^2+bx+c = ax^2 - 2apx + ap^2 + q</math>
 
:<math>\color{Red}b\color{Black}x+\color{Blue}c\color{Black} = \color{Red}- 2ap\color{Black}x + \color{Blue}ap^2 + q</math>
 
:Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować ''p'' oraz ''q''. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x<sup>2</sup> nie występuje), <math>bB=-2ap</math> (czyli wyraz przy ''x''), <math>cC=ap^2+q</math> (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik ''b'' po lewej stronie będzie równy współczynnikowi ''b'' po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem ''c'' - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:
 
:<math>\begin{cases} b = -2ap \\ c = ap^2 + q \end{cases}</math>
 
:<math>\begin{cases} p = \frac{-b}{2a} \\ q = c - ap^2 \end{cases}</math>
 
:<math>q = c - a\left (\frac{-b}{2a}\right )^2 \quad \quad q = c - \frac{b^2}{4a}</math>
 
:<math>q = \frac{4ac}{4a} - \frac{b^2}{4a} \quad \quad \quad \quad q = \frac{4ac - b^2}{4a}</math>
 
:<math>q = \frac{-(-4ac+b^2)}{4a} \quad \quad q = -\frac{b^2-4ac}{4a}</math>
 
:<math>q = -\frac{\Delta}{4a}</math>
 
▲;Aby Minimumznaleźć '''minimum''' oraz '''maksimum''' funkcji w danym '''przedziale''' <a, b>:
▲* znajdujemy trzy wartości '''y''': ''f(a), f(b), q''
▲* jeśliobliczamy ''p''. Jeżeli wartość ''p'' nie należy do przedziału <a,b> -wówczas oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
▲* największą z uzyskanych wartości ''f(a)'', ''f(b)'' oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) ''q'' przyporządkujemy ''maksimum'', a najmniejszą - ''minimum''.
 
== Przykłady ==
Linia 126 ⟶ 123:
Zanim zaczniesz czytać dalej, przypomnij sobie informacje z działu [[Matematyka dla liceum/Przekształcanie wykresu funkcji|Przekształcanie wykresu funkcji]].
 
* '''Przykład 1.''' (rysowanie wykresu)
 
Rozpatrzmy funkcję <math> y=(x-4)^2+2 </math>. Patrząc na definicję postaci kanonicznej, dochodzimy do kilku wniosków:
Linia 142 ⟶ 139:
[[Grafika:(x-4)^2+2.jpg]]
 
* '''Przykład 2.''' (rysowanie wykresu)
 
Zad. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję <math> y=-x^{2}-10x-19 </math> oraz narysuj jej wykres.
Linia 152 ⟶ 149:
<math> p = \tfrac{- b}{2a} </math>
 
<math> p = \tfrac{- (-10)}{2 \cdot (-1)} = -5 </math>
 
<math> p = -5\ </math>
 
 
Linia 163 ⟶ 158:
<math> \Delta~ = b^{2} - 4ac </math>
 
<math> \Delta~ = (-10)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 24</math>
 
<math> \Delta~ = 24 </math>
 
<math> q = \tfrac{-24}{4 \cdot (-1)} </math>
 
<math> q = 6\tfrac{-24}{4 \cdot (-1)} = 6</math>
 
Teraz wprowadzamy wartości ''p'' i ''q'' do wzoru postaci kanonicznej i otrzymujemy:
Linia 179 ⟶ 171:
[[Grafika:-(x+5)^2+6.jpg ]]
 
* '''Przykład 3.''' (maksimum)
 
Zad. Napisz wzór funkcji, która osiąga maksimum w punkcie A=(3,4).
 
Funkcja kwadratowa osiąga maksimum w punkcie wierzchołka paraboli, gdy ''a''<0 (gdy ''a''>0, ramiona są skierowane do góry, wierzchołek jest najniższym punktem - funkcja osiąga więc w nim minimum). Szukamy maksimum, dlatego musimy założyć, że ''a'' < 0. Z faktu, że funkcjaFunkcja osiąga maksimum w punkcie A=(3,4), otrzymujemywięc wartościsą to jednocześnie współrzędne wierzchołka, współrzędnychotorzymujemy <math>x_w</math> oraz <math>y_w</math> (kolejno, p i q). Mamy więc p=3 oraz q=4. Możemy zapisać postać kanoniczną:
 
<math> y = a(x-3)^{2} + 4 </math>
 
Pozostaje nam nieokreślonenieokreślona wartość ''a''. Musi być onoona ujemne'''ujemna''', jednak czy wpływa na położenie rozpatrywanego przez nas wierzchołka paraboli? Nie występuje w żadnym wzorze na współrzędne wierzchołka (tzn. w ''p'' i ''q''). Okazuje się, że jaką wartość nie podstawimy za ''a'', zmieni onato jedynie ''wygląd'' ramion wykresu, kiedyjednak wierzchołek paraboli nadal będzie w punkcjie (3,4). Aby zapisać pełny wzór szukanej funkcji, podstawimy dowolne ujemne ''a'.
 
<math> y = -4(x-3)^{2} + 4 </math>
Linia 197 ⟶ 189:
<math> y = -4x^2 + 24x - 32 </math>
 
Jako, że za ''a'' mogliśmy podstawić dowolną innąobrać liczbędowolne ujemną(ujemne), możemy wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele wzorów funkcji, spełniających warunki zadania (czyli o wierzchołku paraboli w punkcie (3,4) ).
 
* '''Przykład 4.''' (minimum i maksimum w przedziale)
 
Zad. Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji &nbsp;<math>f(x)=x^2-3x-10</math> w przedziale <-1, 3>.
Linia 233 ⟶ 225:
}}
 
* '''Przykład 5.''' (minimum i maksimum w przedziale)
 
Zad. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji <math>f(x)=-x^2-4x+12</math> w przedziale <-5, 3>.
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Funkcja_kwadratowa/Postać_kanoniczna_i_wykres_funkcji_kwadratowej”