Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Lethern (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 20:
#Dodajemy do siebie dwie przekątne<ul><math>d_1^{\;2}+d_2^{\;2}\;=\;a^2+b^2-2ab\cdot \cos\alpha + a^2+b^2+2ab\cdot \cos\alpha</math></ul>
#Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci<ul><math>d_1^{\;2}+d_2^{\;2}\;=\;2a^2+2b^2</math></ul>
 
==Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu==
 
===Założenia===
Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:
*<math>|AB|=a</math>
*<math>|CD|=b</math>
 
Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:
 
<math>|AK|=\frac{|AC|}{2}</math>
 
<math>|BL|=\frac{|BD|}{2}</math>
 
 
===Teza===
<math>|KL|=\frac{a-b}{2}</math>
 
 
===Dowód===
[[Grafika:T_przekatne.jpg|right|290px]]
Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku.
Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia:
<math>|AM|=\frac{|AD|}{2}</math>
 
<math>|BN|=\frac{|BC|}{2}</math>
 
<math>|KL|=|ML|-|MK|</math>
 
Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:<math>\triangle ABD</math> i <math>\triangle ADC</math>
 
'''Trójkąt ADC:'''
 
W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy <math>\frac{b}{2}</math>, ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).
 
<math>|AM|=\frac{|AD|}{2}</math>&nbsp; i &nbsp;<math>|AK|=\frac{|AC|}{2}</math>
 
Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:
 
<math>\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|MK|}{|DC|} \iff \frac{1}{2}=\frac{|MK|}{|DC|} \iff |MK|=\frac{|DC|}{2}</math>
 
<math>|DC|=b \quad \Rightarrow \quad |MK|=\frac{b}{2}</math>
 
'''Trójkąt ABD:'''
 
W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy <math>\frac{a}{2}</math>, ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).
 
<math>|AM|=\frac{|AD|}{2}</math>&nbsp; i &nbsp;<math>|DL|=\frac{|DB|}{2}</math>
 
Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:
 
<math>\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|ML|}{|AB|} \iff \frac{1}{2}=\frac{|ML|}{|AB|} \iff |ML|=\frac{|AB|}{2}</math>
 
<math>|DC|=b \quad \Rightarrow \quad |ML|=\frac{a}{2}</math>
 
 
'''Wniosek ostateczny:'''
 
<math>|ML|=\frac{a}{2} \; \and \; |MK|=\frac{b}{2} \iff |KL| = |ML|-|MK|=\frac{a-b}{2} </math>
 
<math> |KL|=\frac{a-b}{2}</math>