Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian
Linia 69:
# Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.
 
== Rozwiązywanie nierówności wykładniczych ==
{{index|nierówności wykładnicze, rozwiązywanie nierówności wykładniczych}}
Przykładami nierówności wykładniczych są:
: <math> 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}} </math>
: <math> 3^{x^2-2}<3\sqrt{3} </math>
: <math> \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x} </math>
 
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
# Ustalić dziedzinę
# Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
# Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
#: dla <math> a \in (1;+\infty) </math>
#:: <math> a^n>a^m \iff n>m </math>
#:: <math> a^n<a^m \iff n<m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
#: dla <math> a \in (0;1) </math>
#:: <math> a^n>a^m \iff n<m </math>
#:: <math> a^n<a^m \iff n>m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
# Rozwiązujemy otrzymane równanie.
# Udzielamy odpowiedzi.
Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie <math> 2^{2x-1} \geq 2^{3-x} </math>, możemy je przekształcić na równanie <math> 2x-1 > 3-x\ </math>, ponieważ <math> a=2 \in (1;+\infty) </math>. Natomiast <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x</math>, ponieważ <math> a=\frac{1}{2} \in (0;1) </math>.
 
 
<big> '''Przykład 1''' </big>
 
Chcemy rozwiązać nierówność <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>. W tym celu:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\} </math>
# Sprowadzamy do tych samych podstaw:
#: <math> \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
#: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
# Ponieważ <math> a=\frac{1}{2} </math>, wykorzystujemy prawo <math> a^n>a^m \iff n<m </math>:
#: <math> 2x<\frac{2x}{x+1} </math>
# Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: