|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu|Pojęcie i własności logarytmu]]
}}
</noinclude>
== Rozwiązywanie równań wykładniczych ==
{{index|równania wykładnicze, rozwiązywanie równań wykładniczych}}
<noinclude>{{MDL:Rozszerzony}}</noinclude>
Przykładami równań wykładniczych mogą być:
: <math> 3^x=27 \ </math>
: <math> \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15 </math>
: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2} </math>
: <math> 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0 </math>
Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:
# Ustalamy dziedzinę.
# Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
# Rozwiązujemy równanie.
# Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
# Podajemy odpowiedź.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} </math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R} </math>
# Sprowadzamy do tej samej podstawy:
#: <math>
\begin{align}
(4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\
4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6}
\end{align}
</math>
# Z równości potęg wynika równość wykładników:
#: <math>
\begin{align}
-\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\
-2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\
x&=-2,~\in D
\end{align}
</math>
# Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
# Możemy sprawdzić rozwiązanie:
#: <math> L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}=
\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16 </math>
#: <math> P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \ </math>
#: Zatem <math> L=P \ </math>
<big> '''Przykład 2''' </big>
Jeśli chcemy rozwiązać równanie <math> 2^x+2^{7-x}=24 \!</math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
#: <math> 2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R} </math>
#: <math> 2^x+\frac{2^7}{2^x}=24 </math>
# Podstawiamy <math> 2^x=t, t \in \mathbb{R}_+ </math>
#: <math> t+\frac{128}{t}=24 </math> <math> / \sdot t </math>
#: <math> t^2-24t+128=0 \ </math>
# Otrzymujemy:
#: <math>t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+</math>
#: <math>t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+</math>
# Ponieważ <math> 2^x=t \ </math>:
#: <math>2^x=t_1\ </math> lub <math>2^x=t_2\ </math>
#: <math>2^x=2^3\ </math> lub <math>2^x=2^4\ </math>
#: <math>x=3\ </math> lub <math>x=4\ </math>
# Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.
#: <math> 2x<\frac{2x}{x+1} </math>
# Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> 2x-\frac{2x}{x+1}<0 </math>
#: <math> \frac{2x^2}{x+1}<0 </math>
# Z własności <math> \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 </math>, wynika że:
#: <math> 2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0 </math>, krotność 2 i <math> x_2=-1 \!</math> o krotności 1.
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png]]
# Czyli <math> x \in (-\infty;-1) </math>
<noinclude>
{{MDL:NawDolna|
rozdział=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna|
poprz=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja wykładnicza i jej własności|
nast=Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu}}
[[Kategoria:Algebra|Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych]]
</noinclude>
| 