Wikibooks

Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m →‎Definicja: różne błędy i powtórzenia
Linia 21:
}}
 
Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.
 
Czy <math> (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) </math> będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ <math> a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 </math> i <math> a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 </math>, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.
 
{{index|różnica ciągu}}
Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że <math> a_{n+1} </math> to pewien wyraz, <math> a_{n} </math> to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica <math> a_{n +1} - a_{n} </math> będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako ''r''. Napiszemy:
: {{Wzór|<math> r = a_{n+1} - a_n </math>|różnica ciągu}}
 
 
Przyjmuje się, że ciąg arytmetyczny musi liczyć co najmniej trzy wyrazy.
 
=== Wzór ogólny ===
Linia 58 ⟶ 55:
<math>a_1 + nr + a_1 + (n-2)r = 2a_1 + nr + nr - 2r = 2a_1 + 2nr - 2r</math>
Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:
<math>2(a_1 + nr -r) = 2(a_1 + r[n- 1]) = 2a_n</math> { dla }
 
 
Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego <math> (a_n) </math> zachodzi:
: {{Wzór|<math> a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \mbox{ </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;dla }&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> n \in \mathbb{N}_+ \backslash \{1\} </math>}}
 
Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.
Linia 74 ⟶ 70:
Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:
{{Mat:Def|
<math> (a_n{a_{n}}) </math> jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: <math>\forall_{{b, c} \in N} b < c \Leftrightarrow a_b < a_c</math>
}}
 
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ciągi_liczbowe/Ciąg_arytmetyczny”