Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Lethern (dyskusja | edycje)
Nowa strona: <noinclude> {{Nawigacja|Matematyka dla liceum| Podsumowanie| Ćwiczenia| }}</...
 
Lethern (dyskusja | edycje)
bazowane na edycji Piotr'a
Linia 1:
== Równanie liniowe z jedną niewiadomą ==
Przykładem równania liniowego może być:
* {{math|1=2x + 3 = 5}}
* {{math|1=-x + 2 = 0}}
* <math> \tfrac{7x + 2}{2} = 6 </math>
 
{{Mat:Def|
1=Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci &nbsp; <math> ax + b = 0 </math>,&nbsp; gdzie {{math|x}} jest niewiadomą.}}
 
Aby rozwiązać równanie liniowe, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:
* przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak)
* wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej
 
'''Wyjaśnienie'''<br />
*Aby rozwiązać równanie &nbsp;<math>2x+3=5\,</math>,&nbsp; wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.
: Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.
: <math>2x = 5-3\,</math>&nbsp; czyli &nbsp;<math>2x = 2\,</math>
: Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Musimy dzielić obie strony, czyli
: <math>2x = 2 \quad / :2\,</math>
: <math>x = 1\,</math>, &nbsp; co jest rozwiązaniem
 
Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy '''zmienić znak na przeciwny''', na przykład:
* jeśli <math> 2x + 5 \;=\; 6 </math>,&nbsp; to &nbsp;<math> 2x \;=\; 6 - 5 </math>,
* jeśli <math> x - 4 \;=\; 2 </math>,&nbsp;&nbsp; to &nbsp;<math> x \;=\; 2 + 4 </math>,
 
Jeśli chcemy '''wymnożyć''' lub '''podzielić''' równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. "&nbsp;<math>/\cdot 4</math>&nbsp;" lub np. "&nbsp;<math>\,/: 3</math>&nbsp;".
* <math> \frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.</math> - obustronnie mnożymy przez {{math|2}}
* <math> 3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right.</math> - obustronnie dzielimy przez {{math|3}}
* <math> \tfrac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \tfrac{4}{3}\right.</math> - obustronnie mnożymy przez ułamek <math>\tfrac{4}{3}</math>.
 
'''Przykłady'''<br />
* Równanie <math>-x + 2 = 0</math>
: <math> -x \,=\,0 -2 </math>
: <math> -x = -2\ \; /{\cdot}\ (-1) </math>
: <math> x\,=\,2 </math>
 
* Równanie <math> \tfrac{7x + 2}{2} = 6 </math>
: Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.
: <math>\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.</math>
: <math>7x+2\,=\,12 </math>
: <math>7x = 10\ \; /{:}\ 7</math>
: <math>x = \tfrac{10}{7} = 1\tfrac{3}{7}</math>
 
= Nierówność liniowa z jedną niewiadomą =
Zacznijmy od kilku przykładów:
* {{math|2x > 3}} (1)
* {{math|5x - 2 < 2}} (2)
* <math>-2x + 4 \geq -3x + 5</math> (3)
* <math> -\frac{1}{2} x + 3 \geq 5 </math> (4)
 
Zanim je rozwiążemy spójrzmy na definicję:
 
{{Mat:Def|
Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. <math>ax + b > 0\,</math>, gdzie niewiadomą jest ''x''. <br /> Inne postacie: <math>ax + b \geq 0, \; ax + b < 0 \;\mbox{lub}\; ax + b \leq 0</math>.}}
 
Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.
 
Zaczniemy od &nbsp;<math> 2x > 3 \,</math>&nbsp;:
: <math> 2x > 3\ \ /{:}\ 2</math>
: <math> x > 1\frac{1}{2}</math>
Odp. <math> x \in \left(1\frac{1}{2}; +\infty\right)</math>.
 
Rozwiążmy teraz nierówność &nbsp;<math>5x - 2 < 2 \,</math>&nbsp;:
: <math> 5x < 2 + 2 = 4\ \ /{:} 5\,</math>
: <math> x < \frac{4}{5} </math>
Odp. <math> x \in \left(-\infty; \frac{4}{5}\right) </math>.
 
Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu &nbsp;<math> -2x + 4 \geq -3x + 5\,</math>&nbsp;:
: <math> -2x + 3x \geq 5 - 4</math>
: <math> x \geq 1 </math>
Odp. <math> x \in \langle1; +\infty) </math>.
 
 
'''Pamiętajmy, że przy wymnażaniu obustronnie przez liczbę ujemną należy zmienić znak (nierówności) na przeciwny!'''
 
== Równanie z 2 niewiadomymi ==
*ax + by = c
 
 
{{TODO|
*określ liczbę rozwiązań
*parametr
}}
 
<noinclude>
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/PodsumowanieWykres i własności|PodsumowanieWykres i własności]]|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/ĆwiczeniaUkłady równań|ĆwiczeniaUkłady równań]]|
}}</noinclude>