|
== Układ równań z parametrem ==
Rozwiążmy poniższy układ równań. Musimy znaleźć {{math|x}} i {{math|y}}, dla których ten układ jest spełniony.
<math>
\left\{
\begin{matrix}
x - y = 1 \\
x + my = 5
\end{matrix}
\right.
</math>
<math>
\left\{
\begin{matrix}
y = x - 1 \\
x + my = 5
\end{matrix}
\right.
</math>
Podstawiając wyznaczony {{math|y}} do drugiego równania otrzymujemy:
<math>
\left\{
\begin{matrix}
y = x - 1 \\
x + m(x - 1) = 5
\end{matrix}
\right.
</math>
Wyznaczmy {{math|x}}.
: <math> x + m(x - 1) = 5 </math>
: <math> x + mx - m = 5 </math>
: <math> (m + 1)x = m + 5 </math>
Teraz musimy przeanalizować dwa przypadki -- gdy <math> m + 1 \neq 0 </math> lub gdy <math> m + 1 = 0 </math>.
1. Dla <math> m + 1 \neq 0 </math>:
: <math> (m + 1)x = m + 5 \ \ /{:}\ (m + 1) </math>
: <math> x = \frac{m + 5}{m + 1} </math>
Mogliśmy podzielić przez {{math|m + 1}}, ponieważ założyliśmy, że jest różne od {{math|0}}.
Teraz wyznaczymy {{math|y}}.
: <math> y = x - 1 = \frac{m + 5}{m + 1} - 1 = \frac{m + 5 - (m + 1)}{m + 1} = \frac{4}{m + 1} </math>.
2. Dla <math> m + 1 = 0 </math>, inaczej <math> m = -1 </math>:
: <math> (m + 1)x = m + 5 \iff 0x = m + 5 \iff m = -5</math>.
Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ założyliśmy, że <math>m = -1</math>.
Odp. <math> x = \frac{m + 5}{m + 1} </math> i <math> y = \frac{4}{m + 1} </math>.
{{TODO|
| 