Matematyka dla liceum/Wielomiany/Nierówności wielomianowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 21:
* Formułujemy odpowiedź.
Przykładowo, rozwiążmy nierówność: <math>x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 < -\sqrt{20}x - 1</math>
Pierwsze wyrażenie (<math>x^2 + 1</math>) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż <math>\delta < 0</math>).▼
<math>x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})</math>▼
▲* Pierwsze wyrażenie (<math>x^2 + 1</math>) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż <math>\delta < 0</math>).
A cała nierówność:▼
* <math>\delta</math> drugiego wyrażenia wynosi 16 (<math>\sqrt{20}^2 - 4</math>), a jego miejscami zerowymi są liczby <math>\frac{\sqrt{20} + 4}{2}</math> i <math>\frac{\sqrt{20} - 4}{2}</math>. Wyrażenie to ma więc postać:
▲* <math>x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})</math>
▲A cała nierówność ma postać:
<math>(x^2 + 1)(x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})>0</math>
Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:
<div align="center">
{| class="wikitable" width="50%"
| × || <math>(x^2 + 1)</math> || <math> (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2}) </math> || <math> (x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})</math> || cała lewa strona nierówności |
| <math> x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) </math> || + || - || - || + |
| <math> x = \frac{\sqrt{20} - 4}{2} </math> || + || 0 || - || 0 |
| <math> x \in (\frac{\sqrt{20} - 4}{2}, \frac{\sqrt{20} + 4}{2}) </math> || + || + || - || - |
| <math> x = \frac{\sqrt{20} + 4}{2} </math> || + || + || 0 || 0 |
| <math> x \in (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty) </math> || + || + || + || + |
|}
Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy <math> x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) \cup (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty)</math>
|