Matematyka dla liceum/Wielomiany/Nierówności wielomianowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 21:
 
* Formułujemy odpowiedź.
 
 
Przykładowo, rozwiążmy nierówność: <math>x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 < -\sqrt{20}x - 1</math>
Możemy ją przekształcić do postaci: <math>x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 < 0 </math>
i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób: <math>x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 = x^3 + \sqrt{20}x^3 + x^2 + x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{20}x + 1)</math>
Pierwsze wyrażenie (<math>x^2 + 1</math>) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż <math>\delta < 0</math>).
 
<math>\delta</math>* drugiegoMożemy wyrażenia wynosiprzekształcić 16do postaci: (<math>x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 -+ \sqrt{20}x + 1 < 0 4</math>), ai jegometodą miejscamigrupowania zerowymirozłożyć lewą liczbystronę w następujący sposób: <math>\frac{x^4 + \sqrt{20}x^3 + 4}{2x^2}</math> i+ <math>\fracsqrt{20}x + 1 = x^3 + \sqrt{20}x^3 -+ 4}{x^2 + x^2 + \sqrt{20}</math>.x Wyrażenie+ to1 ma= więc(x^2 postać:+ 1)(x^2 + \sqrt{20}x + 1)</math>
 
<math>x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})</math>
 
* Pierwsze wyrażenie (<math>x^2 + 1</math>) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż <math>\delta < 0</math>).
A cała nierówność:
 
 
* <math>\delta</math> drugiego wyrażenia wynosi 16 (<math>\sqrt{20}^2 - 4</math>), a jego miejscami zerowymi są liczby <math>\frac{\sqrt{20} + 4}{2}</math> i <math>\frac{\sqrt{20} - 4}{2}</math>. Wyrażenie to ma więc postać:
 
* <math>x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})</math>
 
A cała nierówność ma postać:
 
<math>(x^2 + 1)(x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})>0</math>
 
Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:
 
<div align="center">
{| class="wikitable" width="50%"
| &times; || <math>(x^2 + 1)</math> || <math> (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2}) </math> || <math> (x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})</math> || cała lewa strona nierówności |
| <math> x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) </math> || + || - || - || + |
| <math> x = \frac{\sqrt{20} - 4}{2} </math> || + || 0 || - || 0 |
| <math> x \in (\frac{\sqrt{20} - 4}{2}, \frac{\sqrt{20} + 4}{2}) </math> || + || + || - || - |
| <math> x = \frac{\sqrt{20} + 4}{2} </math> || + || + || 0 || 0 |
| <math> x \in (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty) </math> || + || + || + || + |
|}
 
Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy <math> x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) \cup (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty)</math>