Usunięta treść Dodana treść
==Zad1.1==
Wniosek szeregSzereg jest rozbieżny
▼ Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infin}\frac {1}{n}</math><br>
Warunek konieczny:<br>
<math>\lim_{n \rightarrow \infin} \frac{1}{n} = 0</math> Warunek spełniony
Warunek Cauchy'ego:<br>
<math>\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in N} \forall_{n\geq n_0} \forall_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} a_i \right \vert < \varepsilon</math><br>
Jego zaprzeczenie<br>
<math>\exists_{\varepsilon > 0} \forall_{n_0 \in N} \exists_{n\geq n_0} \exist_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} a_i \right \vert \ge \varepsilon</math><br>
Jeżeli weźmiemy <math>\varepsilon=\frac{1}{2}</math> to dla odpowiednio dużego k jest spełniona nierówność <math>\sum_{i=n}^{n+k} a_i \ge \varepsilon</math>
▲ Wniosek szereg jest rozbieżny
==Zad1.2==
<math>\sum_{n=1}^{\infin}\frac {1}{n^2}</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{1}{n^2}=0</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{\left | a_{n+1}\right \vert}{\left | a_{n}\right \vert}=\frac{n^2}{(n+1)^2}=\frac{1}{2n+1}<1</math><br>
Szereg jest zbieżny
==Zad1.3==
Szereg jest rozbieżny
<math>\sum_{n=1}^{\infin}\frac {1}{2n}</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{1}{2n}=0</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{\left | a_{n+1}\right \vert}{\left | a_{n}\right \vert}=\frac{2n}{2(n+1)}=\frac{n}{n+1}=1</math>//brak rozstrzygnięgia<br>
==Zad1.4==
Szereg jest zbieżny
