Wikibooks

Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
zamiana MDL:NawGórna->Subst:Naw
Incuś (dyskusja | edycje)
93 edycje
Linia 10:
{{index|ciąg}}
 
Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i jak zwykle stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku, przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.
 
Spojrzmy teraz na definicję:
Linia 27:
Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie ''a(1)'', ''a(2)'', ''a(3)'', ..., ''a(n)'', czyli <math> D_a = \{1, 2, 3, \dots, n \} </math>.
 
Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. ''a(100)'' jest zdefiniowane, wówczas ''a(99)'' będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie ''a(98)'' także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast, czy ''a(101)'' jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla której właśnie ten ciąg jest określony.
 
Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy <math> a_1 </math> zamiast <math> a(1) </math>, <math> a_2 </math> zamiast <math> a(2) </math>, <math> a_3 </math> zamiast <math> a(3) </math> itd. W ogólności zamiast <math> a(n) </math> napiszemy <math> a_n </math>.
Linia 36:
Pisząc <math> (a_n) </math> mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy <math> a_1 </math>, <math> a_2 </math>, <math> a_3 </math>, ..., <math> a_k </math>, ..., a nie tylko jeden wyraz <math> a_n </math>.
 
Zamiast ''a'' może być dowolna inna litera alfabetu.
 
{{index|ciąg liczbowy}}
Zobaczmy na kolejny przykład ciągu: <math> a_1 = 1 </math>, <math> a_2 = 4 </math>, <math> a_3 = 2 </math>, <math> a_4 = 10 </math>. Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy nawet powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że '''wartościami''' tego ciągu są '''liczby''' np. 10 dla wyrazu <math> a_4 </math>. Ciąg taki nazywamy '''ciągiem liczbowym'''.
 
{{Mat:Def|
Linia 45:
}}
 
Przykład przedstawiony na samym początku na pewno nie będziejest ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśkę, Mietka czy Maryśkę raczej do liczb nie zakwalifikujemy.
{{index|ciąg nieskończony}}
Zanim przejdziemy dalej, zobaczmy na przykład ciągu nieskończonego <math> (b_n) </math>, w którym zachodzi:
: <math> b_n = 2n </math>
 
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ciągi_liczbowe/Pojęcie_ciągu”