|
Dziedzinę funkcji ''f'' najczęściej oznaczamy przez <math> D_f </math>.
==== Wyznaczanie dziedziny funkcji ====
Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:
* dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
* liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
* liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią
Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:
: <math>f(x) = \frac{x^2}{x+2}</math>
Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:
# Jest to po prostu ułamek <math>\frac{a}{b}</math>, dlatego mianownik (czyli ''b'') ma być różne od zera
# Zauważamy, że <math>a = x^2</math>. Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ''ułamek'' lub ''pierwiastek'', lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku <math>x \in \mathbb{R}</math>
# Patrzymy na mianownik. Mamy <math>b=x+2</math>. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy '''„nigdy cholero nie dziel przez zero!”'''), musimy założyć, że <math>b \neq 0</math>, czyli <math>x+2 \neq 0 \implies x \neq -2</math>.
# Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie ''x'', które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy <math>x \neq -2</math>, zatem dziedziną będzie <math>D_f = R \backslash \{-2\} </math>.
Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany
: <math>f(x) = \frac{\sqrt{x-3}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)} </math>
I znowu banał...
# Mamy ułamek <math>\frac{a}{b}</math>, gdzie ''a'' może być dowolne, a ''b'' różne od zera
# Patrzymy na licznik ''a''. I znowu mamy <math>a = c^2</math>. Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na ''c'':
#* No i mamy <math>c = \sqrt{x-3}</math>. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku <math>x-3</math>) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x <math>x - 3 \geq 0</math> i po prostym przekształceniu otrzymujemy <math>x \geq 3</math>
# Teraz patrzymy na mianownik <math>b = d \cdot e \cdot f</math>, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własności mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie <math>d \cdot e \cdot f = 0 \iff d = 0 \or e=0 \or f=0</math>. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
#* <math>d = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0</math>
#* <math>e = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3</math>
#* <math>f =0 \implies x-4 = 0 \implies x=4</math>
#: Zatem <math> x \neq 0 </math>, <math> x \neq 3 </math>, <math> x \neq 4</math>. Ponadto, aby wyrażenie <math>\sqrt{x}</math> miało sens, ''x'' nie może być liczbą ujemną, zatem <math>x \geq 0</math>.
# I podsumowujemy: <math> x \geq 3</math>, <math>x \geq 0</math>, <math> x \neq 0 </math>, <math> x \neq 3 </math>, <math> x \neq 4</math>. Zatem <math> D_f = (3;+\infty) \backslash \{4\} </math>.
[[Grafika:Suma przedziałów (1).png]]
<big> '''Przykład 1.''' </big>
Określmy dziedzinę funkcji <math> f(x) = \frac{1}{x} </math>. Wyrażenie <math> \frac{1}{x} </math> ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy <math> x \neq 0 </math>, ponieważ gdyby ''x'' było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że <math> D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\} </math>.
<big> '''Przykład 2.''' </big>
<math> f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)} </math>
Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest różny od zera, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:
: <math> (x-1)(x-2)=0 </math>
: z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:
:: <math> x-1=0 \mbox{ lub } x-2=0 </math>
:: <math> x=1 \mbox{ lub } x=2 </math>
Czyli <math> D_f=\mathbb{R} \backslash \{1,2\} </math>.
<big> '''Przykład 3.''' </big>
<math> f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}} </math>
Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli <math> x-2>0 \Rightarrow x>2</math>, a wtedy <math> D_f=(2;+\infty) </math>.
<big> '''Przykład 4.''' </big>
<math> f(x)=\frac{1}{x^2+4} </math>
Mianownik musi być różny od zera, wobec czego <math> x^2+4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4 </math>. Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze <math>x^2 \geq 0</math>), więc <math>x^2</math> nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy <math> D_f=\mathbb{R} </math>.
<noinclude>
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
[[Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Sposoby określania funkcji|Sposoby określania funkcji]]|
[[Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Zbiór wartości funkcji|Zbiór wartości funkcji]]|
}}</noinclude>
| 