Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
→‎Pojęcie ciągu: fragment czyli wszystkie wyrazy a_1 , a_2 , a_3 , ..., a_K , .. , a nie tylko jeden wyraz a_n. jeśli piszemy o a_n to trzymajmy się tego a_n a nie a_k
m →‎Pojęcie ciągu: poprawki gramatyczne, sformułowania
Linia 16:
{{index|definicja ciągu, ciąg skończony, ciąg nieskończony}}
{{Mat:Def|
'''Ciągiem''' nazywamy '''funkcję''', która jest określona dla kolejnych '''liczb naturalnychcałkowitych dodatnich'''.
 
Jeśli są to '''wszystkie liczby naturalnecałkowite dodatnie''', wówczas ciąg taki nazywamy '''ciągiem nieskończonym'''.
 
Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb '''mniejszych lub równych pewnej liczbie ''n''''', wówczas ciąg ten jest nazywany '''ciągiem skończonym'''.
}}
 
Co to oznacza? Jeśli mamy funkcję ''a(x)'' i wiemy, że jest ciągiem, wówczasto dziedzina funkcji ''a'' zawiera się w zbiorze liczb naturalnychcałkowitych dodatnich, czyli <math> D_a \subset \mathbb{NZ}_+ </math>. Ponadto jeśli ciąg jest nieskończony, wówczas ''a(1)'', ''a(2)'', ''a(3)'', ''a(4)'', ... jest zdefiniowane, zatem <math> D_a = \mathbb{NZ}_+ </math>.
 
Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie ''a(1)'', ''a(2)'', ''a(3)'', ..., ''a(n)'', czyli <math> D_a = \{1, 2, 3, \dots, n \} </math>.
Linia 39:
 
{{index|ciąg liczbowy}}
ZobaczmyPopatrzmy na kolejny przykład ciągu: <math> a_1 = 1 </math>, <math> a_2 = 4 </math>, <math> a_3 = 2 </math>, <math> a_4 = 10 </math>. Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że '''wartościami''' tego ciągu są '''liczby''' np. 10 dla wyrazu <math> a_4 </math>. Ciąg taki nazywamy '''ciągiem liczbowym'''.
 
{{Mat:Def|
Linia 45:
}}
 
Przykład przedstawiony na samym początku nie jest ciągiem liczbowym, ponieważ KaśkęKaśki, Mietka czy MaryśkęMaryśki do liczb nie zakwalifikujemy.
{{index|ciąg nieskończony}}
Zanim przejdziemy dalej, zobaczmy narozważmy przykład ciągu nieskończonego <math> (b_n) </math>, w którym zachodzi:
: <math> b_n = 2n2 \cdot n </math>
 
O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest ciągiem liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:
: <math> b_1 = 2 \cdot 1 = 2 </math>, <math> b_2 = 2 \cdot 2 = 4 </math>, <math> b_3 = 2 \cdot 3 = 6 </math>.
 
Ciąg ten możemy zapisać także jako:
Linia 60:
: <math> c_n = 2(n-4) \mbox{ dla } 1 \leq n \leq 8</math>.
Wypiszmy wszystkie wyrazy tego ciągu:
: <math> c_1 = 2\cdot (1-4) = -6 </math>, <math> c_2 = 2 \cdot (2-4) = -4 </math>, <math> c_3 = 2 \cdot (3-4) = -2 </math>, <math> c_4 = 2 \cdot (4-4) = 0 </math>, <math> c_5c_4 = 2 \cdot (4-4) = 0 </math>, <math> c_6c_5 = 2 \cdot (5-4) = 2 </math>, <math> c_7c_6 = 2 \cdot (6-4) = 4 </math>, <math> c_8c_7 = 8 2 \cdot (7-4) = 6 </math>.
 
{{index|wykres ciągu}}
Podobnie jakJak dla każdej funkcji określonej w podzbiorze liczb rzeczywistych, także dla ciągu możemy narysować wykres funkcji. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak:
 
[[Grafika:Wykres ciągu c_n=2(n-4) dla 1 leq n leq 8.png|300px]]
 
Wykres ciągu liczbowego zawsze będzie składał się z punktów, ponieważ dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich lub jego pewien podzbiór, a zbiór liczb całkowitych, niew jestprzeciwieństiwe takido „płynny”zbioru jaknie zbiórjest liczbwszędzie rzeczywistychgęsty.
 
<noinclude>