Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

: <math> (a_n) = (5, 10, 30, 50, 90, 100, 1000, 10000)\ </math>

Domyślamy się, że ciąg ten jest rosnącyciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli <math> 5 < 10 < 30 < 50 < \dots < 10000 </math>. W ogólności n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli <math> a_{n} < a_{n+1}\ </math>, a to możemy zapisać jako:

: {{Wzór|<math> a_{n+1} - a_{n} > 0\ </math>|ciąg rosnący}}

będzie malejącyciągiem malejącym, ponieważ <math> 1000 > 999 > 998 > 997 > \dots </math>. W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli <math> a_n > a_{n+1}\ </math>, czyli:

: {{Wzór|<math> a_{n+1} - a_{n} < 0\ </math>|ciąg malejący}}

Zobaczmy na kolejny przykład:

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. <math> c_2 = c_3 = 2\ </math>. Ciąg ten jest niemalejącyciągiem niemalejącym, w którymwięc zachodzi w nim:

Skoro ciąg może być niemalejącyciągiem niemalejącym, to pewniemoże i może być nierosnącyciągiem nierosnącym. Stwórzmy do niego odpowiedni przykład:

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, aleco jeszcze nie wiemyoznacza, że zachodzi:

Spójrzmy na teraz na ten ciąg:

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, czyże jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest '''ciągiem niemonotonicznym'''.