Szczególna teoria względności/Matematyczna teoria najmniejszego działania, dodawanie do niej dowolnych zer i jedynek z definicji całki

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Matematyczna teoria najmniejszego działania, dodawanie do niej dowolnych zer i jedynek z definicji całki

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj rozpatrywali czasoprzestrzeń według szczególnej teorii względności i przestrzeń galiluszowską według mechaniki Newtona dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, i powiemy, że te teorie są spełnione tylko w sposób przybliżony dla układów słabozakrzywionych, a dla pierwotnych układów, dla których one zostały przyszykowane, z nich wychodzi tylko tensory (wektory) prędkości globalnie (lokalnie) stałe, czyli powiemy, że układy są jednak zakrzywione, a nie płaskie, a w najniższym przypadku układy mogą być słabozakrzywione, bo układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, a słabozakrzywione układy są za to fizyczne według warunków szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona. Zachodzą ((22.7) i ((22.8)) (szczególna teoria względności) oraz ((22.9), (22.10) i (22.11)) (mechanika Newtona) przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (układy niefizyczne, tylko matematyczne) do układów słabozakrzywionych (układy fizyczne) o funkcjach transformacji będące funkcjami uogólnionymi. W układach słabozakrzywionych można powiedzieć, że w nich tak naprawdę jest spełniona w sposób przybliżony szczególna teoria względności i mechanika Newtona lub gadając inaczej też tak może być, że nasze prawa fizyki dla układów płaskich są przybliżone, co dlatego tak zachodzi stałość tensora prędkości i funkcji w lagrangianie dla tych układów jak nam wyjdzie poniżej.

Całka działania i rachunek lagrangianowy, a równanie Eulera-Lagrange'aEdytuj

Całkę działania w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona dla układów punktowych przedstawiamy kolejno w postaci:

(29.1)
(29.2)

a dla układów rozciągłych ich odpowiedniki są kolejno w postaci:

(29.3)
(29.4)
  • gdzie to wymiar przestrzeni zwykłej w szczególnej teorii względności, i wymiar przestrzeni w mechanice Newtona, oraz w mechanice Newtona, ale przedstawienie końcowe w (29.3) jest dla układów współrzędnych spełniającego metrykę Minkowskiego (16.4), i (29.4) jest dla układów współrzędnych (odniesienia) we współrzędnych układu ogólnie nieprostokątego, krzywoliniowego lub uogólnionego.

Widzimy, że w całkach działania: (29.1) (układ punktowy) i (29.3) (układ rozciągły), w szczególnej teorii względności, oraz (29.2) (układ punktowy) i (29.4) (układ rozciągły), w mechanice Newtona, niezależnie jakie tam dodamy jedynki lub zera, to ona zawsze przyjmuje tą samą wartość, nawet gdy przyjmuje wartość najmniejszą zawsze tą samą. Równania Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu dla szczególnej teorii względności: (29.5) (wersja wektorowa) i (29.6) (wersja tensorowa) oraz (29.7), i mechaniki Newtona: (29.8) i (29.9), aby cała działania (29.1) w szczególnej teorii względności i (29.2) w mechanice Newtona przyjmowała wartość najmniejszą:

Szczególna teoria względności
(29.5)
(29.6)
(29.7)
Mechanika Newtona
(29.8)
(29.9)

a dla gęstości lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a dla szczególnej teorii względności: (29.10) (wersja wektorowa) i (29.11) (wersja tensorowa) oraz (29.12), i mechaniki Newtona: (29.14) i (29.15), aby cała działania (29.3) w szczególnej teorii względności i (29.4) w mechanice Newtona przyjmowała wartość najmniejszą:

Szczególna teoria względności
(29.10)
(29.11)
(29.12)
(29.13)
Mechanika Newtona
(29.14)
(29.15)
(29.16)

W powyższych równaniach w (29.7) i (29.12) jest to tensor metryczny dla współrzędnych krzywoliniowych i uogólnionych, a też dla współrzędnych układu ogólnie nieprostokątnego, dla szczegónej teorii względności, a w (29.9) i (29.15) jest to tensor metryczny dla współrzędnych krzywoliniowych i uogólnionych, a też dla współrzędnych układu ogólnie nieprostokątnego, w mechanice Newtona.

Gdy jakobian jest równy jeden dla układu spełniającego metrykę Minkowskiego (16.5) w szczególnej teorii względności lub układu spełniającego metrykę metryczną o macieży jednostkowej, wtedy całka działania przyjmuje wartość najmniejszą dla przestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej i są spełnione wnioski: (29.6) (29.11), wersji tensorowej kolejno lagrangianu i gęstości lagrangianu, i (29.5) (29.10), wersji wektorowej kolejno lagrangianu i gęstości lagrangianu, dla szczególnej teorii względności, lub wnioski: (29.8) i (29.14) w mechanice Newtona, a gdy czasoprzestrzeń (przestrzeń zwykła) jest we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych, albo ogólnie nieprostokątnych, wtedy dochodzą dalsze wnioski: (29.7) i (29.12), w szczególnej teori względności i też: (29.9) i (29.15), aby całka działania przyjmowała nadal wartość najmniejszą w tych teoriach fizycznych, nie tylko w układach globalnie (lokalnie) płaskich.

Szczególna teoria względności (mechanika relatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskichEdytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali szczególną teorię względności w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskichEdytuj

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające szczególną teorię względnościEdytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali lagrangian dla układów punktowych (28.1) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.12) w elektromagnetostatyce lub (28.14) w elektromagmetodynamice, w wersji wektorowej oraz lagrangian dla układów punktowych (28.2) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.13), w wersji tensorowej. Będziemy tutaj rozpatrywali ruch przy macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej, dla przestrzeni ogólnie nieprostokątnej, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych) dla lagrangianu i gęstości lagrangianu, ale w wersji wektorowej, i również też będziemy opisywali te układu przy tensorze metrycznym Minkowskiego (16.4) dla układów ogólnie nieprostokątnych, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych) w przestrzeni zwykłej, dla lagrangianu i gęstości lagrangianu, w wersji tensorowej.

Wersja wektorowaEdytuj

Będziemy tutaj badać układy dla wersji wektorowej, lagrangianu dla układów punktowych i gęstości lagrangianu dla układów rozciągłych.

Układy punktoweEdytuj

Weźmy ciało punktowe, dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (28.1), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś, ale jedynek lub zer, w postaci:

(29.17)

Wstawmy jedynkę do równania (29.17) wynikającej z postaci definicji różniczki długości:

(29.18)

Wtedy lagrangian jest równy matematycznie (29.17) i on przyjmuje równoważną formę:

(29.19)

Równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (29.17) i (29.19), dla obu lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się według wzoru (29.5). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (29.19) względem wektora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.5), co:

(29.20)

Policzmy pochodną lagrangianu (29.19) względem wektora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.5), wtedy:

(29.21)

Zbierzmy nasze wyniki badań (29.21) i (29.20) (te obliczenia są dla lagrangianu (29.19), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.5)), wtedy:

(29.22)

Dla Lagrangianu (29.17) równanie Eulera-Lagrange'a (29.6), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (29.22) wynikająca z (29.19), jest w postaci:

(29.23)

Wykorzystując równość (29.23) do (29.22) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:


(29.24)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (29.24) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (29.24), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

(29.25)

Co (29.25) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli lagrangiany (29.17) i (29.19) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach globalnie płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale , prędkość jest stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłeEdytuj

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.1) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wzór na skrócenie długości (18.7), wykorzystając, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością , wtedy:


(29.26)
  • gdzie:
- jest to wymiar przestrzeni zwykłej,
- wyznacznik tensora metrycznego Minkowskiego,
(1) - pole elektromagnetostatyczne, a (2) - pole elektromagnetodynamiczne.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji interwału długości (29.18), wtedy równość (29.26) po rozpisaniu jedynki:

(29.27)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (29.26) przedstawia się w formie (29.10). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.10) wykorzystując (29.27), zatem:

(29.28)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.10) wykorzystując (29.27):



(29.29)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (29.28) i (29.29), co podstawmy je do równania (29.10):


(29.30)

Wykorzystajmy wzór (29.26) i podstawmy go do wzoru (29.10) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

(29.31)

Wykorzystajmy równość (29.31) do równości otrzymanej (29.30), co:

(29.32)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego względem długości , mamy:

(29.33)
  • dla .

Wniosek (29.33) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. Weźmy układ globalnie (lokalnie) płaski globalnie (lokalnie) spoczynkowy względem długości , w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: (wtedy , zatem ) i obierzmy z definicji nieoznaczności współrzędną zerową w postaci: , i z wniosków w niej mamy: , bo wiadomo, że tam (z (26.4) dla i ), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (29.33) w układach względem siebie spoczywających dla gęstości masy spoczynkowej, zatem pochodna gęstości spoczynkowej względem interwału długości jest równa zero w dowolnych układach globalnie (lokalnie) płaskich, ale w tych układach , stąd . W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego , wtedy na podstawie (29.33):

(29.34)

Na podstawie (29.33) i (29.32), mamy:

(29.35)

Dla równych odcinków interwału długości dla (29.35), mamy globalnie (lokalnie) stałe dążace do zera, stąd by wynikało w twierdzeniu odwrotnym, a jeśli mamy równe odcinki interwału czasu , stąd wynika, że , co na podstawie tego z definicji tensora prędkości (20.3), mamy:

(29.36)

Co (29.36) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (29.26) i (29.27) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwsza gęstość lagrangianu jest fizyczna, a druga tylko matematyczna. Wniosek (29.36) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach globalnie płaskich jest o wartości takiej samej dla dowolnego interwału czasoprzestrzennego . Wnioski (29.33) i (29.34) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor prędkości choćby lokalnie, więc dla (29.36), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi i nie zachodzi (29.34), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Wersja tensorowaEdytuj

Będziemy tutaj badać układy dla wersji tensorowej, lagrangianu dla układów punktowych i gęstości lagrangianu dla układów rozciągłych.

Układy punktoweEdytuj

Weźmy ciało punktowe, dla którego lagrangian wersja tensorowa jest przedstawiony w punkcie (28.2), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś, ale jedynek lub zer, w postaci:

(29.37)

Wstawmy jedynkę do równania (29.37) wynikającej z postaci definicji jedynki wynikającej z definicji interwału czasoprzestrzennego (20.11), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (29.37) i on przyjmuje równoważną formę:

(29.38)

Równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (29.37) i (29.38), dla obu lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się według wzoru (29.6). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (29.38) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.6), co:

(29.39)

Policzmy pochodną lagrangianu (29.38) względem tensora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.6), wtedy:

(29.40)

Zbierzmy nasze wyniki badań (29.40) i (29.39) (te obliczenia są dla lagrangianu (29.38), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.6)), wtedy:

(29.41)

Dla Lagrangianu (29.37) równanie Eulera-Lagrange'a (29.6), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (29.41) wynikająca z (29.38), jest w postaci:

(29.42)

Wykorzystując równość (29.42) do (29.41) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

(29.43)

Co (29.43) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli lagrangiany (29.37) i (29.38) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach globalnie płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale , prędkość jest stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłeEdytuj

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.13) dla ciał rozciągłych, wtedy:


(29.44)
  • gdzie - jest to wymiar przestrzeni zwykłej.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji interwału czasoprzetrzennego (20.12), wtedy równość (29.44) po rozpisaniu jedynki:

(29.45)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (29.44) przedstawia się w formie (29.11). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.11) wykorzystując (29.45), zatem:

(29.46)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.11) wykorzystując (29.45):

(29.47)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (29.46) i (29.47), co podstawmy je do równania (29.11):

(29.48)

Wykorzystajmy wzór (29.44) i podstawmy go do wzoru (29.11) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

(29.49)

Wykorzystajmy równość (29.49) do równości otrzymanej (29.48), co:

(29.50)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego względem długości, mamy:

(29.51)

Wniosek (29.51) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych względem długości według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: , i z wniosków w niej mamy: , ale też wiadomo też tam (z (26.4) dla i ), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (29.51) w układach względem siebie spoczywających dla gęstości masy spoczynkowej, zatem pochodna gęstości spoczynkowej względem interwału długości jest równa zero w dowolnych układach globalnie (lokalnie) płaskich. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego , wtedy na podstawie (29.51):

(29.52)

Na podstawie (29.51) i (29.50), mamy:

(29.53)

Co (29.53) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (29.44) i (29.45) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwsza gęstość lagrangianu jest fizyczna, a druga tylko matematyczna. Wniosek (29.53) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach globalnie płaskich jest o wartości takiej samej dla dowolnego interwału czasoprzestrzennego . Wnioski (29.51) i (29.52) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor prędkości choćby lokalnie, więc dla (29.53), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi i nie zachodzi (29.52), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywioneEdytuj

Ale zachodzi na podstawie (29.25) (układy punktowe) i (29.36) (układy rozciągłe), w wersji wektorowej lagrangianu i gęstości lagrangianu oraz (29.43) (układy punktowe) i (29.53) (układy rozciągłe), w wersji tensorowej lagrangianu i gęstości lagrangianu, zgadzające się z (15.26) (ogólny wniosek):

(29.54)

Jeśli zachodzi (29.54), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni dla naszych przypadków, tzn.: układu punktowego i rozciągłęgo dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla dowolnego, bo według (15.26) (ogólny wniosek), i (29.25) i (29.43) (układy punktowe) oraz (29.36) i (29.53) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

(29.55)

Co się zgadza z wnioskiem (21.13) o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Co stąd zachodzi też (29.25), (29.36), (29.43) i (29.53) na podstawie (21.13) i (29.54), a także (29.55), co na tej podstawie mamy, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że czasoprzestrzeń jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od interwału czasoprzestrzennego, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale interwału czasoprzestrzennego też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach słabozakrzywionych, wtedy tam panuje szczególna teoria względności dla przestrzeni słabozakrzywionych, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (29.55) (lub (21.13)) przecinek średnikiem i zamieniając (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy otrzymujemy wzór w notacji einsteinowskiej (21.15) dla , gdzie to wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzesztrzeni, czyli:

(29.56)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (21.24), co wtedy spełniona jest cała dynamika Einsteina według (29.56). Stąd dynamika Einsteina (szczególna teoria względności) jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (22.7)) dla prędkości , a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli szczególna teoria względności jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji (15.33), wtedy jest funkcją uogólnioną przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich, i wtedy symbole Christoffera są nie równe wtedy zero, a istnieją fizycznie układy lokalnie płaskie w ogólnej teorii względności, które tak naprawdę są układami słabozakrzywionymi szczególnej teorii względności, wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcoweEdytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski ze szczególnej teorii względności.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona szczególna teoria względności i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionychEdytuj

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (22.7) i (22.8).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnionąEdytuj

Wykorzystując (29.55) i tensorowość prędkości (22.1), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

(29.57)

Stąd szczególna teoria względności jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (21.6) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

(29.58)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

(29.59)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona szczególna teoria względności) pochodne cząstkowe tensora prędkości (29.58) i tensora metrycznego (29.59) względem tensora położenia w czasoprzestrzeni są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnionąEdytuj

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną, to (29.57), (29.58) i (29.59) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w szczególnej teorii względności z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.

Mechanika Newtona (nierelatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskichEdytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali mechanikę Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskichEdytuj

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w mechanice Newtona.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające mechanikę NewtonaEdytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (28.4) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.20). Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym dla układów ogólnie nieprostokątnych, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Układy punktoweEdytuj

Weźmy ciało punktowe dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (28.4), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

(29.60)

Wstawmy jedynkę do równania (29.60) w postaci definicji różniczki długości (29.18), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (29.60) i on przyjmuje równoważną formę:

(29.61)

Napiszmy równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (29.60) i (29.61), dla obu lagrangianów równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się w formie (29.8). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (29.61) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.8), co:

(29.62)

Policzmy pochodną lagrangianu (29.61) względem wektora prędkości względem interwału długości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.8), wtedy:

(29.63)

Zbierzmy nasze wyniki badać (29.63) i (29.62) do równości (29.8) (te obliczenia są dla lagrangianu (29.61), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.8)), wtedy:

(29.64)

Dla Lagrangianu (29.60) równanie Eulera-Lagrange'a (29.8), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (29.64) wynikająca z (29.61), jest w postaci:

(29.65)

Wykorzystując równość (29.65) do (29.64) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

(29.66)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (29.66) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (29.66), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

(29.67)

Co (29.67) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli langrangiany (29.60) i (29.61) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale prędkość jest lokalnie stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłeEdytuj

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.1) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wykorzystując, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością , wtedy:


(29.68)
  • gdzie:
- jest to wymiar przestrzeni zwykłej,
- to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego .

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji różniczki długości (29.18), wtedy równość (29.68) po rozpisaniu jedynki:

(29.69)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (29.68), przedstawia się w formie (29.14). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.14) wykorzystując (29.69), zatem:

(29.70)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.15) wykorzystując (29.69):

(29.71)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (29.70) i (29.71), co podstawmy je do równania (29.14):


(29.72)

Wykorzystajmy wzór (29.68) i podstawmy go do wzoru (29.8) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

(29.73)

Wykorzystajmy równość (29.73) do równości otrzymanej (29.72), co:

(29.74)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

(29.75)

Wniosek (29.75) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: , i z wniosków w niej mamy: , ale też wiadomo też tam (z (26.4) dla i ), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (29.75) z niezmienniczości czasu i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego , wtedy na podstawie (29.75):

(29.76)

Na podstawie (29.75) i (29.74), mamy:

(29.77)

Co (29.77) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (29.68) i (29.69) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Wniosek (29.77) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach płaskich jest o wartości takiej samej dla dowolnego czasu . Wnioski (29.75) i (29.76) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały wektor prędkości choćby lokalnie, więc dla (29.77), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi i nie zachodzi (29.76), bo nie da się przejść z układu słabozakrzywionego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywioneEdytuj

Ale zachodzi na podstawie (29.67) (układy punktowe) i (29.77) (układy rozciągłe) zgadzająca się z (15.26) (ogólny wniosek):

(29.78)

Jeśli zachodzi (29.78), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w przestrzeni Galileusza spełniającego (29.67) (układy punktowe) i (29.77) (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla dowolnego, bo według (15.26) (ogólny wniosek), (29.67) (układy punktowe) i (29.77) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

(29.79)

Co się zgadza z wnioskiem (21.14) o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości. Co stąd zachodzi też (29.67) na podstawie (21.14) i (29.78), a także (29.79), co na tej podstawie mamy, że przestrzeń Galileusza jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że przestrzeń Galileusza jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy też szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od czasu, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale czasu też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach słabozakrzywionych, wtedy tam panuje szczególna teoria względności dla układów słabozakrzywionych, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (29.79) (lub (21.14)) przecinek średnikiem i zamieniając (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy:

(29.80)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (21.25), co wtedy spełniona jest cała dynamika Newtona według (29.80). Stąd dynamika Newtona jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (22.9)) dla małych prędkości, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli mechanika Newtona jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji (15.31) wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcoweEdytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski z mechaniki Newtona.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona mechaniki Newtona i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionychEdytuj

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (22.9), (22.10) i (22.11).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnionąEdytuj

Wykorzystując (29.55) i tensorowość prędkości (22.1), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

(29.81)

Stąd mechanika Newtona jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (21.7) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

(29.82)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

(29.83)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona mechanika Newtona) pochodne cząstkowe tensora prędkości (29.82) i tensora metrycznego (29.83) względem tensora położenia w przestrzeni Galileusza są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem płaskich (lokalnie płaskim) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym wektorze prędkości) jest funkcją uogólnionąEdytuj

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną, to (29.81), (29.82) i (29.83) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w mechanice Newtona z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.

Dalsze rozważania dotyczące lagrangianu (gęstości lagrangianu) układów punktowych i rozciągłych dla mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkościEdytuj

Ogólny lagrangian szczególnej teorii względności dla układów punktowychEdytuj

W lagrangianie (29.17) (szczególna teoria względności) dla układów punktowych rozpiszmy według:

(29.84)

Wtedy równość na ten lagrangian ogólnie według rozpisu (29.84) przedstawia się w formie:

(29.85)
  • to jest człon kinematyczny lagrangianu szczególnej teorii względności.

Wstawmy jedynkę do sumy w (29.85) do pierwszego składnika sumy (29.84) przedstawianą według równania (20.11), wtedy ten lagrangian przyjmuje równoważną inną formę:

(29.86)

Ale funkcja jest równa z symetrii stałej, bo zachodzi (15.26), podobnie zachodzi z funkcją , a także z , stąd składniki w (29.84) i cała jego suma są równe stałym. Wtedy równanie Eurela-Lagrange'a (29.6) przedstawia się w formie po wykorzystaniu (29.86) i (29.85), wtedy:

(29.87)

Równanie Eurela-Lagrange'a dla (29.85) przyjmuje postać (29.6), wtedy równość (29.87) przedstawia się w formie po rachunku całkowym:

(29.88)

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (29.85) i (29.86) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Zróbmy operacje różniczkowania w równaniu różniczkowym (29.87), co:

(29.89)

Ale w szczególnej teori względności dla układów punktowych mamy (29.25), co na tej podstawie równość po przekształceniu i przenoszeniu wyrazów przyjmuje postać:

(29.90)

Ale prawa i lewe strona zależą od różnych wyrazów, i one są o dowolnej wartości, a więc te strony są równe stałej, ale obierzmy taki układ, w którym , stąd ta stała jest równa zero, stąd równość (29.6) jest spełniona, stąd jeśli lagrangian (29.85) jest niefizyczny, ale matematyczny, to również lagrangian lagrangian (29.86) jest niefizyczny, ale matematyczny, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Lagrangian (29.85) dla układów punktowych jest fizyczny w układach słabozakrzywionych.

Ogólna gęstość lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłychEdytuj

Rozważania dla gęstości lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (29.84).

Ogólny lagrangian mechaniki Newtona dla układów punktowychEdytuj

Rozważania dla lagrangianu mechaniki Newtona dla układów punktowych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (29.84).

Ogólna gęstość lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłychEdytuj

Rozważania dla gęstości lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (29.84).

Tensory prędkości w szczególnej teorii względności i wektory prędkości w mechanice Newtona, cząstek kolejno w czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłejEdytuj

Szczególna teoria względnościEdytuj

Weźmy lagrangian tej teorii i dodajmy do niej zero, wynikającą z definicji jedynki, z pewnym współczynnikiem, tzn. (20.11), wiedząc, że: , wtedy mamy:

(29.91)

Lagrangiany: i , mają tak samą wartość, zatem całka działania przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy równanie Eulera-Lagrange'a (29.7) przyjmuje postać:

(29.92)

Wykorzystajmy jeszcze raz wzór Eulera-Lagrange'a (29.7), wtedy (29.92) przyjmuje postać:

(29.93)

Podobnie wychodzi dla układów rozciągłych, tylko w (29.91) występuje zamiast lagrangianu gęstość lagrangianu . Czyli względna prędkość ciała w układzie globalnie płaskim jest zero względem innego ciała odniesienia o tej prędkości, bo w tym układzie globalnie ciała poruszają się z tą samą prędkością. A przypadku lokalnej prędkości lokalnie porusza się ciało ze stałą prędkością.

Mechanika NewtonaEdytuj

Weźmy lagrangian tej teorii i dodajmy do niej zero, wynikającą z definicji jedynki, z pewnym współczynnikiem, tzn. (29.18), wiedząc, że: i , wtedy mamy:


(29.94)

Lagrangiany: i , mają tak samą wartość, zatem całka działania przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy równanie Eulera-Lagrange'a (29.9) przyjmuje postać:

(29.95)
(29.96)
(29.97)
(29.98)

Wykorzystajmy jeszcze raz wzór Eulera-Lagrange'a (29.9), wtedy (29.95) i (29.96) przyjmują postać:

(29.99)
(29.100)
(29.101)
(29.102)

Podobnie wychodzi dla układów rozciągłych, tylko w (29.94) występuje zamiast lagrangianu gęstość lagrangianu . Czyli względna prędkość ciała w układzie globalnie płaskim jest zero względem innego ciała odniesienia o tej prędkości, bo w tym układzie globalnie ciała poruszają się z tą samą prędkością. A przypadku lokalnej prędkości lokalnie porusza się ciało ze stałą prędkością.

Dyskusja (dlaczego prawa fizyki są ściśle spełnione, a matematyka sprzeczna kontra niesprzeczna)Edytuj

Na podstawie (29.93) dla szczególnej teorii względności i (29.102) dla mechaniki Newtona dowiadujemy się, że w matematyce niesprzecznej tensory prędkości są wielkościami stałymi, i również zachodzi (30.5), a przecież to nie prawda w przyrodzie, a jeżeli zastosujemy twierdzenie (Twier. 30.1), to jedynka wynikająca z definicji długości w czasoprzestrzeni (szczególna teoria względności) i przestrzenie zwykłej (mechanika Newtona) już według tego twierdzenia nie zachodzi z definicji tego twierdzenia, a więc do lagrangianu (przypadek dyskretny) i gęstości langrangianu (przypadek ciągły) nie ma sensu tam dodawać żadnych jedynek i zer w takim przypadku, stąd cała przyroda spełnia matematyka sprzeczna, a nie niesprzeczna, a więc teoria najmniejszego działania i stąd wynikające równanie Eulera-Lagrange'a jest ściśle sprzecznie spełniona. W fizyce i matematycznej, niesprzecznej, błędy od niesprzeczności w stronę sprzeczności są bardzo małe, czyli nasza dotychczasowa wiedza z matematyki i fizyki jest w przybliżeniu spełniona.