Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych
λ
{\displaystyle \lambda }
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
d
e
t
[
A
−
λ
I
]
=
0
{\displaystyle det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0}
d
e
t
[
−
5
−
λ
−
2
1
−
7
−
λ
]
=
{\displaystyle det{\begin{bmatrix}-5-\lambda &-2\\1&-7-\lambda \end{bmatrix}}=}
=
(
−
5
−
λ
)
(
−
7
−
λ
)
−
(
−
2
)
=
{\displaystyle =(-5-\lambda )(-7-\lambda )-(-2)=}
=
35
+
5
λ
+
7
λ
+
λ
2
+
2
=
{\displaystyle =35+5\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+2=}
Δ
=
144
−
148
=
−
4
{\displaystyle \Delta =144-148=-4}
Δ
=
±
2
i
{\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=\pm 2i}
λ
1
=
−
12
+
2
i
2
=
−
6
+
i
{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {-12+2i}{2}}=-6+i}
λ
2
=
−
12
−
2
i
2
=
−
6
−
i
{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {-12-2i}{2}}=-6-i}
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
=
λ
2
+
12
λ
+
37
{\displaystyle =\lambda ^{2}+12\lambda +37}
Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego
λ
2
+
12
λ
+
37
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}+12\lambda +37=0}
jest sprzężona para liczb zespolonych
λ
1
=
−
6
+
i
{\displaystyle \lambda _{1}=-6+i}
λ
2
=
−
6
−
i
{\displaystyle \lambda _{2}=-6-i}
edytuj
Szukamy wektorów własnych
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
λ
1
=
−
6
+
i
{\displaystyle \lambda _{1}=-6+i}
λ
2
=
−
6
−
i
{\displaystyle \lambda _{2}=-6-i}
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną
λ
2
=
−
6
−
i
{\displaystyle \lambda _{2}=-6-i}
[
A
−
λ
1
I
]
⋅
V
=
0
{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {V} =0}
zatem
[
−
5
−
λ
1
−
2
1
−
7
−
λ
1
]
⋅
[
v
1
v
2
]
=
[
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-5-\lambda _{1}&-2\\1&-7-\lambda _{1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
[
−
5
+
6
−
i
−
2
1
−
7
+
6
−
i
]
⋅
[
v
1
v
2
]
=
[
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-5+6-i&-2\\1&-7+6-i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
[
2
−
2
i
−
4
2
−
2
−
2
i
]
⋅
[
v
1
v
2
]
=
[
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2-2i&-4\\2&-2-2i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
co ostatecznie daje układ równań:
{
(
2
−
2
i
)
v
1
−
4
v
2
=
0
2
v
1
+
(
−
2
−
2
i
)
v
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(2-2i)v_{1}-4v_{2}=0\\2v_{1}+(-2-2i)v_{2}=0\end{cases}}}
Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech
v
2
=
s
{\displaystyle v_{2}=s}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
s
{\displaystyle s}
(
2
−
2
i
)
v
1
−
4
s
=
0
{\displaystyle (2-2i)v_{1}-4s=0}
v
1
=
4
s
2
−
2
i
=
2
s
1
−
i
{\displaystyle v_{1}={\frac {4s}{2-2i}}={\frac {2s}{1-i}}}
Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:
v
1
=
2
s
1
−
i
⋅
1
+
i
1
+
i
=
2
s
(
1
+
i
)
1
+
1
=
s
(
1
+
i
)
{\displaystyle v_{1}={\frac {2s}{1-i}}\cdot {\frac {1+i}{1+i}}={\frac {2s(1+i)}{1+1}}=s(1+i)}
Ostatecznie otrzymujemy:
{
v
1
=
s
(
1
+
i
)
v
2
=
s
{\displaystyle {\begin{cases}v_{1}=s(1+i)\\v_{2}=s\end{cases}}}
Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
V
=
s
[
1
+
i
1
]
{\displaystyle V=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}}
możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:
X
O
J
=
s
[
1
+
i
1
]
⋅
e
(
−
6
+
i
)
t
{\displaystyle \mathbb {X} _{OJ}=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}\cdot e^{(-6+i)t}}
Wzór Eulera
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }}
Korzystając ze wzoru Eulera , otrzymamy:
=
s
[
1
+
i
1
]
⋅
(
cos
t
+
i
sin
t
)
e
−
6
t
=
{\displaystyle =s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}\cdot (\cos {t}+i\sin {t})e^{-6t}=}
=
s
[
cos
t
+
i
sin
t
+
i
cos
t
−
sin
t
cos
t
+
i
sin
t
]
⋅
e
−
6
t
=
{\displaystyle =s{\begin{bmatrix}\cos {t}+i\sin {t}+i\cos {t}-\sin {t}\\\cos {t}+i\sin {t}\end{bmatrix}}\cdot e^{-6t}=}
W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone
=
s
[
−
sin
t
+
cos
t
+
i
(
sin
t
+
cos
t
)
cos
t
+
i
sin
t
]
⋅
e
−
6
t
{\displaystyle =s{\begin{bmatrix}-\sin {t}+\cos {t}+i(\sin {t}+\cos {t})\\\cos {t}+i\sin {t}\end{bmatrix}}\cdot e^{-6t}}
![{\displaystyle det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de252fd8a94bf9d55904104c89ea6b05a5ba139)
![{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {V} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edca31d132e3c9742ed118d87251ffa3979f5f7)
