Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych λ {\displaystyle \lambda } macierzy współczynników A {\displaystyle \mathbb {A} } :
d e t [ A − λ I ] = 0 {\displaystyle det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0}
d e t [ − 5 − λ − 2 1 − 7 − λ ] = {\displaystyle det{\begin{bmatrix}-5-\lambda &-2\\1&-7-\lambda \end{bmatrix}}=}
= ( − 5 − λ ) ( − 7 − λ ) − ( − 2 ) = {\displaystyle =(-5-\lambda )(-7-\lambda )-(-2)=}
= 35 + 5 λ + 7 λ + λ 2 + 2 = {\displaystyle =35+5\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+2=}
Δ = 144 − 148 = − 4 {\displaystyle \Delta =144-148=-4}
Δ = ± 2 i {\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=\pm 2i}
λ 1 = − 12 + 2 i 2 = − 6 + i {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {-12+2i}{2}}=-6+i}
λ 2 = − 12 − 2 i 2 = − 6 − i {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {-12-2i}{2}}=-6-i}
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
= λ 2 + 12 λ + 37 {\displaystyle =\lambda ^{2}+12\lambda +37}
Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego
λ 2 + 12 λ + 37 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+12\lambda +37=0}
jest sprzężona para liczb zespolonych λ 1 = − 6 + i {\displaystyle \lambda _{1}=-6+i} oraz λ 2 = − 6 − i {\displaystyle \lambda _{2}=-6-i}
Zespolone wartości własne
edytuj
Szukamy wektorów własnych V {\displaystyle \mathbb {V} } odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej λ 1 = − 6 + i {\displaystyle \lambda _{1}=-6+i} wraz z wartością sprzężoną do niej λ 2 = − 6 − i {\displaystyle \lambda _{2}=-6-i} .
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną λ 2 = − 6 − i {\displaystyle \lambda _{2}=-6-i} bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.
[ A − λ 1 I ] ⋅ V = 0 {\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {V} =0}
zatem
[ − 5 − λ 1 − 2 1 − 7 − λ 1 ] ⋅ [ v 1 v 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-5-\lambda _{1}&-2\\1&-7-\lambda _{1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
[ − 5 + 6 − i − 2 1 − 7 + 6 − i ] ⋅ [ v 1 v 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-5+6-i&-2\\1&-7+6-i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
[ 2 − 2 i − 4 2 − 2 − 2 i ] ⋅ [ v 1 v 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2-2i&-4\\2&-2-2i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
co ostatecznie daje układ równań:
{ ( 2 − 2 i ) v 1 − 4 v 2 = 0 2 v 1 + ( − 2 − 2 i ) v 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}(2-2i)v_{1}-4v_{2}=0\\2v_{1}+(-2-2i)v_{2}=0\end{cases}}}
Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech v 2 = s {\displaystyle v_{2}=s} będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość v 1 {\displaystyle v_{1}} w zależności od parametru s {\displaystyle s} .
( 2 − 2 i ) v 1 − 4 s = 0 {\displaystyle (2-2i)v_{1}-4s=0}
v 1 = 4 s 2 − 2 i = 2 s 1 − i {\displaystyle v_{1}={\frac {4s}{2-2i}}={\frac {2s}{1-i}}}
Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:
v 1 = 2 s 1 − i ⋅ 1 + i 1 + i = 2 s ( 1 + i ) 1 + 1 = s ( 1 + i ) {\displaystyle v_{1}={\frac {2s}{1-i}}\cdot {\frac {1+i}{1+i}}={\frac {2s(1+i)}{1+1}}=s(1+i)}
Ostatecznie otrzymujemy:
{ v 1 = s ( 1 + i ) v 2 = s {\displaystyle {\begin{cases}v_{1}=s(1+i)\\v_{2}=s\end{cases}}}
Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
V = s [ 1 + i 1 ] {\displaystyle V=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}}
możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:
X O J = s [ 1 + i 1 ] ⋅ e ( − 6 + i ) t {\displaystyle \mathbb {X} _{OJ}=s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}\cdot e^{(-6+i)t}}
Wzór Eulera
e i φ = cos φ + i sin φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }}
Korzystając ze wzoru Eulera , otrzymamy:
= s [ 1 + i 1 ] ⋅ ( cos t + i sin t ) e − 6 t = {\displaystyle =s{\begin{bmatrix}1+i\\1\end{bmatrix}}\cdot (\cos {t}+i\sin {t})e^{-6t}=}
= s [ cos t + i sin t + i cos t − sin t cos t + i sin t ] ⋅ e − 6 t = {\displaystyle =s{\begin{bmatrix}\cos {t}+i\sin {t}+i\cos {t}-\sin {t}\\\cos {t}+i\sin {t}\end{bmatrix}}\cdot e^{-6t}=}
W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone
= s [ − sin t + cos t + i ( sin t + cos t ) cos t + i sin t ] ⋅ e − 6 t {\displaystyle =s{\begin{bmatrix}-\sin {t}+\cos {t}+i(\sin {t}+\cos {t})\\\cos {t}+i\sin {t}\end{bmatrix}}\cdot e^{-6t}}