Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 2.1

Spis treści

Dany jest układ równań:

W zapisie macierzowym powyższy układ wygląda następująco:

Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami oraz , zależnymi od jednej zmiennej niezależnej .

Wartości własne macierzy współczynników edytuj

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych   macierzy współczynników  :

 

 

 

 

 

 

 

 

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

 

Zatem rozwiązaniem równania kwadratowego

 

jest sprzężona para liczb zespolonych   oraz  

Zespolone wartości własne edytuj

Szukamy wektorów własnych   odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej   wraz z wartością sprzężoną do niej  .

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną   bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

 

zatem

 

 

 

co ostatecznie daje układ równań:

 

Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech   będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość   w zależności od parametru  .

 

 

Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:

 

Ostatecznie otrzymujemy:

 

Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym  

 

możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

 

Wzór Eulera

 

Korzystając ze wzoru Eulera, otrzymamy:

 

 

W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone

 

Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego edytuj

Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona   została włączona do stałej  ).

 

W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:

 

Wyznacznik macierzy Wrońskiego edytuj

Dla pewności możemy sprawdzić, czy  .