Tensor napięć a równania ruchu cieczy Naviera-Stokesa
edytuj
Wexmy sobie teraz objętość zamkniętą, w której znajdować sie będzie ciecz ogólnie ścisliwa, wtedy siła powierzchniowa działająca na elementarny element tejże objętości zapisanej w drugiej zasadzie dynamiki Netwona zapisujemy formalnie:
∫
d
V
ρ
d
v
i
d
t
=
∫
P
i
d
S
→
⇒
∫
d
V
ρ
d
v
i
d
t
=
∫
∇
P
i
d
V
{\displaystyle \int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int P_{i}d{\vec {S}}\Rightarrow \int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int \nabla P_{i}dV\;}
(1)
Ale ponieważ zachodzi dla współrzednej siły powierzchniowej, który jest definicją tensorów naprężeń zapisujemy wiedząc, że wektor
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}\;}
jest wektorem jednostkowym na zewnatrz powierzchni w danym punkcie powierzchni zamkniętej, jest w postaci:
P
i
=
σ
i
j
n
j
{\displaystyle P_{i}=\sigma _{ij}n_{j}\;}
(2)
Wtedy równania ruchu przestawiamy podstawiając (2 ) do końcowego wzoru (3 ), i zamieniając prawą stronę równości na całkę powierchniową z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy mamy:
∫
d
V
ρ
d
v
i
d
t
=
∫
σ
i
j
d
S
j
⇒
∫
d
V
ρ
d
v
i
d
t
=
∫
d
V
∂
σ
i
j
∂
x
j
⇒
ρ
d
v
i
d
t
=
∂
σ
i
j
∂
x
j
{\displaystyle \int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int \sigma _{ij}dS_{j}\Rightarrow \int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int dV{{\partial \sigma _{ij}} \over {\partial x_{j}}}\Rightarrow \rho {{dv_{i}} \over {dt}}={{\partial \sigma _{ij}} \over {\partial x_{j}}}\;}
(3)
Tensdor naprężeń jest zdefiniowany w punkcie (2 ), pomocy skalaru ciśnienia i tesnora tarcia Rij i delty Kroneckera, w postaci:
σ
i
j
=
−
p
δ
i
j
+
R
i
j
{\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+R_{ij}\;}
(4)
w którym definicja tensora tarcia jest tak skonstruowana, by poszczególne jego elementy prędkości powinny zależeć od pochodnych prędkości względem połozeń, bo równe elementy cieczy poruszające się z różnymi prędkościami, oddiziałuwują między sobą przy pomocy tracia. Jeśli gradienty prędkości nie są zbyt wielkie, to tesnor tracia powinien zależweć od pierwszych pochodnych predkości. Gdy ciecz wykonuje ruch obrotowy z prędkościami zależnymi od połozenia
v
→
=
Ω
→
×
r
→
{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\;}
, to poszczególne elementy cieczy niedodziaływują ze sobą, wtedy
∂
v
i
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
i
{\displaystyle _{{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}}\;}
powinno być równe zero.
R
i
k
=
η
(
∂
v
i
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
i
−
2
3
δ
i
k
∂
v
l
∂
x
l
)
+
ξ
δ
i
k
∂
v
l
∂
x
l
{\displaystyle R_{ik}=\eta \left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}-{{2} \over {3}}\delta _{ik}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right)+\xi \delta _{ik}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\;}
(5)
Tensor tracia jest tak zdefiniowany by sumowaniu i=k wyraz występujący w nawiasie by równy zero. Jak można udowodnić, że współczynniki lepkości η i ξ są zawsze większe od zera. Jeśli tesnor tarcia (5 ) postawimy do tensora napięć, a to do równania ruchu cieczy, i w ten sposób otrzymamy równość:
ρ
(
∂
v
i
∂
t
+
v
k
∂
v
i
∂
x
k
)
=
−
∂
p
∂
x
i
+
∂
∂
x
k
[
η
(
∂
v
i
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
i
−
2
3
δ
i
k
∂
v
l
∂
x
l
)
]
+
∂
∂
x
i
(
ξ
∂
v
l
∂
x
l
)
{\displaystyle \rho \left({{\partial v_{i}} \over {\partial t}}+v_{k}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}\right)=-{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\left[\eta \left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}-{{2} \over {3}}\delta _{ik}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right)\right]+{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\left(\xi {{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right)\;}
(6)
Rółnanie ruchu (6 ) możemy perzepisać w postaci wektorowej, które nazwiemy równaniem Navbiera-Stokesa, i którego wygląd jest w postaci skalarnej w postaci trzech równań:
ρ
(
∂
v
→
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
→
)
=
−
grad
p
+
η
Δ
v
→
+
(
ξ
+
η
3
)
grad
div
v
→
{\displaystyle \rho \left({{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}\right)=-\operatorname {grad} p+\eta \Delta {\vec {v}}+\left(\xi +{{\eta } \over {3}}\right)\operatorname {grad} \operatorname {div} {\vec {v}}\;}
(7)
Jeśli weźniemy prztypadek cieczy nieścisliwej, to wtedy dywergecja z prędkości jest równa zero
div
v
→
=
0
{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0\;}
, i wtedy równanie (7 ) przechodzi w dla naszego przypadku:
∂
v
→
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
→
=
−
1
ρ
grad
p
+
η
ρ
Δ
v
→
{\displaystyle {{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=-{{1} \over {\rho }}\operatorname {grad} p+{{\eta } \over {\rho }}\Delta {\vec {v}}\;}
(8)
Tensor napięć dla cieczy nieściśliwej, patrząć na wzór (5 ), przyjmuje bardziej prostą postać zależna od cisnienia "p" i tensora prędkości występującej jako drugi wyraz pod nawiasem ponoższego wzoru po jego prawej stronie:
σ
i
k
=
p
δ
i
k
+
η
(
∂
v
l
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
l
)
{\displaystyle \sigma _{ik}=p\delta _{ik}+\eta \left({{\partial v_{l}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{l}}}\right)\;}
(9)
Zdefiniujemy teraz współczynnik leppkości kinematycznej, która jest stosunkiem zwykłej leppkości i gęstości cieczy, którego definicja jest:
ν
=
η
ρ
{\displaystyle \nu ={{\eta } \over {\rho }}\;}
(10)
Jeśli wykorzystamy obliczenia (Niedopasowany uchwyt: 1.13 ), wtedy równania dla acieczy nieściśliwej i wykorzystując tożsamość termodynamiczną (Niedopasowany uchwyt: 1.11 ) przyjmuje wtedy postać:
∂
v
→
∂
t
−
v
→
×
rot
v
→
=
−
grad
(
w
+
v
2
2
)
+
ν
Δ
v
→
{\displaystyle {{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}=-\operatorname {grad} \left(w+{{v^{2}} \over {2}}\right)+\nu \Delta {\vec {v}}\;}
(11)
Na równanie (9 ) działamy równanie operatorem rotacji, i wtedy danej wszystko możemy powiedzieć przy definicji leppkości kinematycznej ν (10 ):
∂
∂
t
rot
v
→
=
rot
(
v
→
×
rot
v
→
)
+
ν
Δ
rot
v
→
{\displaystyle {{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}=\operatorname {rot} \operatorname {(} {\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})+\nu \Delta \operatorname {rot} {\vec {v}}\;}
(12)
Przy definicji współrzędnych prędkości vx (Niedopasowany uchwyt: 1.54 ), i vy (Niedopasowany uchwyt: 1.55 ) możemy napisać tożsamości (Niedopasowany uchwyt: 1.57 ) i (Niedopasowany uchwyt: 1.59 ), zatem na podstawie tychże tożsamości możemy napisać tożsamość fizyczną (12 ) w postaci:
∂
Δ
ψ
∂
t
−
∂
ψ
∂
x
∂
Δ
ψ
∂
y
+
∂
ψ
∂
y
∂
Δ
ψ
∂
x
−
ν
Δ
Δ
ψ
=
0
{\displaystyle {{\partial \Delta \psi } \over {\partial t}}-{{\partial \psi } \over {\partial x}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial y}}+{{\partial \psi } \over {\partial y}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial x}}-\nu \Delta \Delta \psi =0\;}
(13)
Równanie (12 ) możemy zapisać w troszeczkę innej postaci wykorzuystując, że mamy nieścisliwą ciecz, tzn. dywergencja prędkości pozostaje równa zero, wykorzustując obliczenia przy definicji symboli Leviego-Civity (Niedopasowany uchwyt: 1.33 ):
rot
(
v
→
×
rot
v
→
)
=
ϵ
i
j
k
ϵ
k
l
m
∇
j
v
l
a
m
=
(
δ
i
l
δ
j
m
−
δ
i
m
δ
j
l
)
∇
j
v
l
a
m
=
∇
m
v
i
(
rot
v
→
)
m
−
∇
l
v
l
(
rot
v
→
)
i
=
{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\nabla _{j}v_{l}a_{m}=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\nabla _{j}v_{l}a_{m}=\nabla _{m}v_{i}(\operatorname {rot} {\vec {v}})_{m}-\nabla _{l}v_{l}(\operatorname {rot} {\vec {v}})_{i}=\;}
=
(
rot
v
→
⋅
∇
)
v
→
−
(
v
→
⋅
∇
)
rot
v
→
{\displaystyle =(\operatorname {rot} {\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}-({\vec {v}}\cdot \nabla )\operatorname {rot} {\vec {v}}\;}
(14)
Tożąsamość udowodniona w punkcie (14 ) możemy wykorzystać w tożsamości (12 ), która jest słuszna przy bezródłowości cieczy, tzn. dywergecja prędkości jest równa zero, i w ten sposób:
∂
∂
t
rot
v
→
+
(
v
→
⋅
∇
)
rot
v
→
−
(
rot
v
→
⋅
∇
)
v
→
=
ν
Δ
rot
v
→
{\displaystyle {{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )\operatorname {rot} {\vec {v}}-(\operatorname {rot} {\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=\nu \Delta \operatorname {rot} {\vec {v}}\;}
(15)
Tensory naprężeń w dowolnym układzie współrzędnych
edytuj
Tensor naprężeń (9 ) jest zdefiniowany w układzie kartezjańskim. Z definicji transformacji tensora z jednych współrzędnych do drugich możemy zrobić według sposobu:
σ
α
β
=
∂
x
i
∂
q
α
∂
x
j
∂
q
β
σ
i
j
=
−
p
∂
x
i
∂
q
α
∂
x
j
∂
q
β
δ
i
j
+
η
∂
x
i
∂
q
α
∂
x
j
∂
q
β
(
∂
v
i
∂
x
j
+
∂
v
j
∂
x
i
)
=
{\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }={{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\sigma _{ij}=-p{{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\delta _{ij}+\eta {{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x^{j}}}+{{\partial v_{j}} \over {\partial x^{i}}}\right)=\;}
=
−
p
δ
α
β
+
η
(
∂
x
i
∂
q
α
∂
v
i
∂
q
β
+
∂
v
j
∂
q
α
∂
x
j
∂
q
β
)
{\displaystyle =-p\delta _{\alpha \beta }+\eta \left({{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial v_{i}} \over {\partial q^{\beta }}}+{{\partial v_{j}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\right)\;}
(16)
Tensory naprężeń w układzie cylindrycznym
edytuj
Przy liczeniu tensora naprężeń w układzie cylindrycznym wyrazimy współrzędne vi układu kartezjańskiego względem współrzędnych cylindrycznych przy definicji wersorów w panujących w tym układzie (Niedopasowany uchwyt: 7.12 ), (Niedopasowany uchwyt: 7.15 ), (Niedopasowany uchwyt: 7.18 ), wtedy możemy przstąpić do ich liczenia:
σ
r
r
=
−
p
+
2
η
[
cos
θ
∂
∂
r
(
cos
θ
v
r
−
sin
θ
v
θ
)
+
sin
α
∂
∂
r
(
v
r
sin
θ
+
v
θ
cos
θ
)
]
=
−
p
+
2
η
∂
v
r
∂
r
{\displaystyle \sigma _{rr}=-p+2\eta \left[\cos \theta {{\partial } \over {\partial r}}\left(\cos \theta v_{r}-\sin \theta v_{\theta }\right)+\sin \alpha {{\partial } \over {\partial r}}\left(v_{r}\sin \theta +v_{\theta }\cos \theta \right)\right]=-p+2\eta {{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\;}
(17)
σ
θ
θ
=
−
p
+
2
η
r
2
[
−
r
sin
θ
(
∂
v
r
∂
θ
cos
θ
−
sin
θ
v
r
−
∂
v
θ
∂
θ
sin
θ
−
v
θ
cos
θ
)
+
{\displaystyle \sigma _{\theta \theta }=-p+{{2\eta } \over {r^{2}}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta v_{r}-{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -v_{\theta }\cos \theta \right)+\;}
+
r
cos
θ
(
∂
v
r
∂
θ
sin
θ
+
cos
θ
θ
v
r
+
∂
v
θ
∂
θ
cos
θ
−
v
θ
sin
θ
)
]
=
−
p
+
2
η
(
1
r
∂
v
θ
∂
θ
+
v
r
r
)
{\displaystyle +r\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta v_{r}+{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -v_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}=-p+2\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{v_{r}} \over {r}}\right)\;}
(18)
σ
z
z
=
−
p
+
2
η
∂
v
z
∂
z
{\displaystyle \sigma _{zz}=-p+2\eta {{\partial v_{z}} \over {\partial z}}\;}
(19)
σ
r
θ
=
η
r
[
−
r
sin
θ
(
∂
v
r
∂
r
cos
θ
−
∂
v
θ
∂
r
sin
θ
)
+
r
cos
θ
(
∂
v
r
∂
r
sin
θ
+
∂
v
θ
∂
r
cos
θ
)
+
{\displaystyle \sigma _{r\theta }={{\eta } \over {r}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\cos \theta -{{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\sin \theta +{{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}\cos \theta \right)+\;}
+
cos
θ
(
∂
v
r
∂
θ
cos
θ
−
sin
θ
v
r
−
∂
v
θ
∂
θ
sin
θ
−
v
θ
cos
θ
)
+
{\displaystyle +\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta v_{r}-{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -v_{\theta }\cos \theta \right)+\;}
+
sin
θ
(
∂
v
r
∂
θ
sin
θ
+
cos
θ
θ
v
r
+
∂
v
θ
∂
θ
cos
θ
−
v
θ
sin
θ
)
]
=
η
(
∂
v
θ
∂
r
−
v
θ
r
+
1
r
∂
v
θ
∂
θ
)
{\displaystyle +\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta v_{r}+{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -v_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}=\eta \left({{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}-{{v_{\theta }} \over {r}}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right)\;}
(20)
σ
r
z
=
η
[
∂
u
z
∂
z
+
cos
θ
(
∂
v
r
∂
z
cos
θ
−
∂
v
θ
∂
z
sin
θ
)
+
sin
θ
(
∂
v
r
∂
z
sin
θ
+
∂
v
θ
∂
z
cos
θ
)
]
=
{\displaystyle \sigma _{rz}=\eta \left[{{\partial u_{z}} \over {\partial z}}+\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right)\right]=\;}
=
η
[
∂
v
z
∂
r
+
∂
v
r
∂
z
]
{\displaystyle =\eta \left[{{\partial v_{z}} \over {\partial r}}+{{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\right]\;}
(21)
σ
θ
z
=
η
r
[
∂
v
z
∂
θ
−
r
sin
θ
(
∂
v
r
∂
z
cos
θ
−
∂
v
θ
∂
z
sin
θ
)
+
r
cos
θ
(
∂
v
r
∂
z
sin
θ
+
∂
v
θ
∂
z
cos
θ
)
]
=
{\displaystyle \sigma _{\theta z}={{\eta } \over {r}}{\Bigg [}{{\partial v_{z}} \over {\partial \theta }}-r\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right){\Bigg ]}=\;}
=
η
(
1
r
∂
v
z
∂
θ
+
∂
v
θ
∂
z
)
{\displaystyle =\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{z}} \over {\partial \theta }}+{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\right)\;}
(22)
Równanie ciągłości dla układu cylindrycznego dla cieczy nieścisliwej
edytuj
Będziemy tutaj korzystali z definicji operatora ∇ we współrzędnycyh kulistych (Niedopasowany uchwyt: 7.19 ) i przestawienia wektora prędkości bazie układu cylindrycznego w postaci wzoru:
v
→
=
v
r
e
→
r
+
v
θ
e
→
θ
+
v
z
e
→
z
{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}{\vec {e}}_{r}+v_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }+v_{z}{\vec {e}}_{z}\;}
(23)
By potem napisać dywregencję zapisanej względem współrzędnych cylindrycznych względem wektora prędkości (23 ), który jest równaniem ciągłości dla cieczy nieściśliwej:
div
v
→
=
0
⇒
0
=
(
e
→
r
∂
∂
r
+
e
→
θ
∂
r
∂
θ
+
e
→
z
∂
∂
z
)
(
e
→
r
v
r
+
e
→
θ
v
θ
+
e
→
z
∂
∂
z
)
=
{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0\Rightarrow 0=\left({\vec {e}}_{r}{{\partial } \over {\partial r}}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial } \over {r\partial \theta }}+{\vec {e}}_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)\left({\vec {e}}_{r}v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)=\;}
=
∂
v
r
∂
r
+
v
r
r
+
1
r
∂
v
θ
∂
θ
+
∂
v
z
∂
z
=
1
r
∂
(
r
v
r
)
∂
r
+
1
r
∂
v
θ
∂
θ
+
∂
v
z
∂
z
{\displaystyle ={{\partial v_{r}} \over {\partial r}}+{{v_{r}} \over {r}}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}={{1} \over {r}}{{\partial (rv_{r})} \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}\;}
(24)
Równanie Nawiera Stokesa we współrzędnych cylindrycznych
edytuj
Tutaj wyznaczmy równanie Nawiera-Stokesa we współrzędnych cylindrycznych, ale najpierw wykorzystajmy z definicji operatora ∇ w tych współrzędnych (Niedopasowany uchwyt: 7.36 ) mając na uwadze wersory w tych samych współrzędnych (Niedopasowany uchwyt: 7.12 ), (Niedopasowany uchwyt: 7.15 ) i (Niedopasowany uchwyt: 7.18 ) mając na uwadze zdefiniowaną predkość w tychże współrzędnych (21 ):
∇
v
→
=
(
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
∂
θ
2
+
∂
2
∂
z
2
)
(
v
r
e
→
r
+
v
θ
e
→
θ
+
v
z
e
→
z
)
=
{\displaystyle \nabla {\vec {v}}=\left({{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)+{{1} \over {r^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}\right)\left(v_{r}{\vec {e}}_{r}+v_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }+v_{z}{\vec {e}}_{z}\right)=\;}
=
e
→
r
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
v
r
+
e
→
θ
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
v
θ
+
e
→
z
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
v
z
+
e
→
r
∂
2
∂
z
2
v
r
+
e
→
θ
∂
2
∂
z
2
v
θ
+
e
→
z
∂
2
∂
z
2
v
z
+
{\displaystyle ={\vec {e}}_{r}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{z}+{\vec {e}}_{r}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{z}+\;}
+
1
r
2
∂
∂
θ
(
v
r
e
→
θ
+
e
→
r
∂
v
r
∂
θ
−
v
θ
e
→
r
+
e
→
θ
∂
v
θ
∂
θ
+
e
→
z
∂
v
z
∂
z
)
=
{\displaystyle +{{1} \over {r^{2}}}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left(v_{r}{\vec {e}}_{\theta }+{\vec {e}}_{r}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}-v_{\theta }{\vec {e}}_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{\vec {e}}_{z}{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}\right)=\;}
=
e
→
r
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
v
r
+
e
→
θ
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
v
θ
+
e
→
z
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
v
z
+
e
→
r
∂
2
∂
z
2
v
r
+
e
→
θ
∂
2
∂
z
2
v
θ
+
e
→
z
∂
2
∂
z
2
v
z
+
{\displaystyle ={\vec {e}}_{r}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{z}+{\vec {e}}_{r}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{z}+\;}
+
−
e
→
r
v
r
r
2
+
e
→
θ
2
r
2
∂
v
r
∂
θ
+
e
→
r
1
e
2
∂
2
v
r
∂
θ
2
−
e
→
r
2
r
2
∂
v
θ
∂
θ
−
v
θ
r
2
+
e
→
r
1
r
2
∂
2
v
θ
∂
θ
2
+
e
→
z
∂
2
v
z
∂
z
2
=
{\displaystyle +-{\vec {e}}_{r}{{v_{r}} \over {r^{2}}}+{\vec {e}}_{\theta }{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}+{\vec {e}}_{r}{{1} \over {e^{2}}}{{\partial ^{2}v_{r}} \over {\partial \theta ^{2}}}-{\vec {e}}_{r}{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}-{{v_{\theta }} \over {r^{2}}}+{\vec {e}}_{r}{{1} \over {r^{2}}}{{\partial ^{2}v_{\theta }} \over {\partial \theta ^{2}}}+{\vec {e}}_{z}{{\partial ^{2}v_{z}} \over {\partial z^{2}}}=}
=
e
→
r
(
Δ
v
r
−
v
r
r
2
−
2
r
2
∂
v
θ
∂
θ
)
+
e
→
θ
(
Δ
v
θ
−
v
θ
r
2
−
2
r
2
∂
v
r
∂
θ
)
+
e
→
z
Δ
v
z
{\displaystyle ={\vec {e}}_{r}\left(\Delta v_{r}-{{v_{r}} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right)+{\vec {e}}_{\theta }\left(\Delta v_{\theta }-{{v_{\theta }} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\right)+{\vec {e}}_{z}\Delta v_{z}\;}
(25)
Dalej policzmy inne wyrażenie wektorowe:
(
v
→
∇
)
v
→
=
(
v
r
∂
∂
r
v
r
+
v
θ
∂
r
∂
θ
+
v
z
∂
∂
z
)
(
v
r
e
→
r
+
v
θ
e
→
θ
+
v
z
e
→
z
)
=
{\displaystyle ({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=\left(v_{r}{{\partial } \over {\partial r}}v_{r}+v_{\theta }{{\partial } \over {r\partial \theta }}+v_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)\left(v_{r}{\vec {e}}_{r}+v_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }+v_{z}{\vec {e}}_{z}\right)=\;}
=
e
→
r
(
v
→
∇
)
+
e
→
θ
v
θ
v
r
r
+
e
→
r
(
v
→
∇
)
v
θ
−
v
θ
2
r
e
→
r
+
e
→
z
(
v
→
∇
)
v
z
{\displaystyle ={\vec {e}}_{r}({\vec {v}}\nabla )+{\vec {e}}_{\theta }{{v_{\theta }v_{r}} \over {r}}+{\vec {e}}_{r}({\vec {v}}\nabla )v_{\theta }-{{v_{\theta }^{2}} \over {r}}{\vec {e}}_{r}+{\vec {e}}_{z}({\vec {v}}\nabla )v_{z}\;}
(26)
Na sam koniec możemy sformułować równania Naviera-Stokesa (8 ) we współrzędnych cylindrycznych wykorzystując obliczenia (25 ) i (26 ):
∂
v
r
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
r
−
v
θ
2
r
=
−
1
ρ
∂
p
∂
r
+
ν
(
Δ
v
r
−
v
r
r
2
−
2
r
2
∂
v
θ
∂
θ
)
{\displaystyle {{\partial v_{r}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{r}-{{v_{\theta }^{2}} \over {r}}=-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}+\nu \left(\Delta v_{r}-{{v_{r}} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right)\;}
(27)
∂
v
θ
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
θ
+
v
r
v
θ
r
=
−
1
ρ
r
∂
p
∂
θ
+
ν
(
Δ
v
θ
−
v
θ
r
2
+
2
r
2
∂
v
r
∂
θ
)
{\displaystyle {{\partial v_{\theta }} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{\theta }+{{v_{r}v_{\theta }} \over {r}}=-{{1} \over {\rho r}}{{\partial p} \over {\partial \theta }}+\nu \left(\Delta v_{\theta }-{{v_{\theta }} \over {r^{2}}}+{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\right)\;}
(28)
∂
v
z
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
z
=
−
1
ρ
∂
p
∂
z
=
ν
Δ
v
z
{\displaystyle {{\partial v_{z}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{z}=-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial z}}=\nu \Delta v_{z}\;}
(29)
Tensory naprężeń w układzie kulistym
edytuj
Tensory naprężeń względem współrzędnych kulistych dla cieczy nieścisliwej:
σ
r
r
=
−
p
+
2
η
∂
v
r
∂
r
{\displaystyle \sigma _{rr}=-p+2\eta {{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\;}
(30)
σ
θ
θ
=
−
p
+
2
η
(
1
r
sin
ϕ
∂
v
θ
∂
θ
+
v
r
r
+
v
ϕ
ctg
ϕ
r
)
{\displaystyle \sigma _{\theta \theta }=-p+2\eta \left({{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{v_{r}} \over {r}}+{{v_{\phi }\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}\right)\;}
(31)
σ
ϕ
ϕ
=
−
p
+
η
(
1
r
∂
v
ϕ
∂
ϕ
+
v
r
r
)
{\displaystyle \sigma _{\phi \phi }=-p+\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{\phi }} \over {\partial \phi }}+{{v_{r}} \over {r}}\right)\;}
(32)
σ
r
ϕ
=
η
(
1
r
∂
v
r
∂
ϕ
+
∂
v
ϕ
∂
r
−
v
ϕ
r
)
{\displaystyle \sigma _{r\phi }=\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \phi }}+{{\partial v_{\phi }} \over {\partial r}}-{{v_{\phi }} \over {r}}\right)\;}
(33)
σ
ϕ
θ
=
η
(
1
r
sin
ϕ
∂
v
ϕ
∂
θ
+
1
r
∂
v
θ
∂
ϕ
−
v
θ
ctg
ϕ
r
)
{\displaystyle \sigma _{\phi \theta }=\eta \left({{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{\phi }} \over {\partial \theta }}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \phi }}-{{v_{\theta }\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}\right)\;}
(34)
σ
θ
r
=
η
(
∂
v
θ
∂
r
+
1
r
sin
ϕ
∂
v
r
∂
θ
−
v
θ
r
)
{\displaystyle \sigma _{\theta r}=\eta \left({{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}+{{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}-{{v_{\theta }} \over {r}}\right)\;}
(35)
Równanie ciągłości w ukłądzie kulistym
edytuj
1
r
2
∂
(
r
2
v
r
)
∂
r
+
1
sin
ϕ
∂
(
sin
ϕ
v
ϕ
)
∂
ϕ
+
1
r
sin
ϕ
∂
v
θ
∂
θ
=
0
{\displaystyle {{1} \over {r^{2}}}{{\partial (r^{2}v_{r})} \over {\partial r}}+{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial (\sin \phi v_{\phi })} \over {\partial \phi }}+{{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}=0\;}
(36)
Rówwnanie Nawiera-Stokesa we współrzędnych kulistych
edytuj
∂
v
r
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
r
−
v
θ
2
+
v
ϕ
2
r
=
−
1
ρ
∂
p
∂
r
+
ν
[
Δ
v
r
−
2
v
r
r
2
−
2
r
2
sin
2
ϕ
∂
(
v
ϕ
sin
ϕ
)
∂
ϕ
−
2
r
2
sin
ϕ
∂
v
θ
∂
θ
]
{\displaystyle {{\partial v_{r}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{r}-{{v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}} \over {r}}=-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}+\nu \left[\Delta v_{r}-{{2v_{r}} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial (v_{\phi }\sin \phi )} \over {\partial \phi }}-{{2} \over {r^{2}\sin \phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right]\;}
(37)
∂
v
ϕ
∂
r
+
(
v
→
∇
)
v
ϕ
+
v
r
v
ϕ
−
v
θ
2
ctg
ϕ
r
=
−
1
ρ
r
∂
p
∂
ϕ
+
ν
[
Δ
v
ϕ
+
2
r
2
∂
v
r
∂
ϕ
−
v
ϕ
r
2
sin
2
ϕ
−
2
cos
ϕ
r
2
sin
2
ϕ
∂
v
θ
∂
θ
]
{\displaystyle {{\partial v_{\phi }} \over {\partial r}}+({\vec {v}}\nabla )v_{\phi }+{{v_{r}v_{\phi }-v_{\theta }^{2}\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}=-{{1} \over {\rho r}}{{\partial p} \over {\partial \phi }}+\nu \left[\Delta v_{\phi }+{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \phi }}-{{v_{\phi }} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}-{{2\cos \phi } \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right]\;}
(38)
∂
v
θ
∂
t
+
(
v
→
∇
)
v
θ
+
v
r
v
θ
+
v
ϕ
v
θ
ctg
ϕ
r
=
{\displaystyle {{\partial v_{\theta }} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{\theta }+{{v_{r}v_{\theta }+v_{\phi }v_{\theta }\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}=\;}
=
−
1
ρ
r
sin
ϕ
∂
p
∂
θ
+
ν
[
Δ
v
θ
+
2
r
2
sin
ϕ
∂
v
r
∂
θ
+
2
cos
ϕ
r
2
sin
2
ϕ
∂
v
ϕ
∂
θ
−
v
θ
r
2
sin
2
ϕ
]
{\displaystyle =-{{1} \over {\rho r\sin \phi }}{{\partial p} \over {\partial \theta }}+\nu \left[\Delta v_{\theta }+{{2} \over {r^{2}\sin \phi }}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}+{{2\cos \phi } \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial v_{\phi }} \over {\partial \theta }}-{{v_{\theta }} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}\right]\;}
(39)
Straty energii w cieczy nieściśliwej
edytuj
Istnienie ciepła prowadzi do zamienienia energii mechanicznej na ciepło. Całkowita energia kinetyczna dla cieczy nieścisliwej możemy przestawić licząc całkę po prędkopściach względem objętości tejże cieczy:
E
k
i
n
=
1
2
ρ
∫
v
2
d
V
{\displaystyle E_{kin}={{1} \over {2}}\rho \int v^{2}dV\;}
(40)
Weźmy sobie pod oszczał wyrażenie, które zapiszemy poniżej:
∂
∂
t
ρ
v
2
2
=
ρ
v
i
∂
v
i
∂
t
{\displaystyle {{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}=\rho v_{i}{{\partial v_{i}} \over {\partial t}}\;}
(41)
Do równania (41 ) podstawiamy równanie Naviera-Stokesa dla cieczy nieścisliwej (6 ), które przestawimy w postaci trzech równań skalarnych, za pochodną prędkości względem czasu , które to równanie najpierw przestawiamy jako:
∂
v
i
∂
t
=
−
v
k
∂
v
i
∂
x
k
−
1
ρ
∂
p
∂
x
i
+
∂
R
i
k
∂
x
k
{\displaystyle {{\partial v_{i}} \over {\partial t}}=-v_{k}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial R_{ik}} \over {\partial x_{k}}}\;}
(42)
Wtedy w takim wypadku:
∂
∂
t
ρ
v
2
2
=
−
ρ
v
→
(
v
→
∇
)
v
→
−
v
→
∇
p
+
v
i
∂
R
i
k
∂
x
k
=
−
ρ
(
v
→
∇
)
(
v
2
2
+
p
2
ρ
)
+
div
(
v
→
R
)
−
R
i
k
∂
v
i
∂
x
k
{\displaystyle {{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}=-\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}-{\vec {v}}\nabla p+v_{i}{{\partial R_{ik}} \over {\partial x_{k}}}=-\rho ({\vec {v}}\nabla )\left({{v^{2}} \over {2}}+{{p^{2}} \over {\rho }}\right)+\operatorname {div} ({\vec {v}}\mathbf {R} )-R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}\;}
(43)
Ponieważ w cieczy nieścisliwej dywergencja prędkości jest równa zero, wtedy pierwszey wyraz po prawej stronie równości (15 ) prędkość możemy przenieść pod znak dywergencji, i w ten sposób:
∂
ρ
v
2
∂
t
=
−
div
[
ρ
v
→
(
v
2
2
+
p
ρ
)
−
v
→
R
]
−
R
i
k
∂
v
i
∂
x
k
{\displaystyle {{\partial \rho v^{2}} \over {\partial t}}=-\operatorname {div} \left[\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+{{p} \over {\rho }}\right)-{\vec {v}}\mathbf {R} \right]-R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}\;}
(44)
Wyznaczmy teraz całkę obustronną wyrażenia (44 ) względem objętości i potem skorzystajmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, by zamienić pierwszy wyraz po prawej stronie w całkę całkowanie po objetości na całkowanie po powierzchni:
d
d
t
∫
ρ
v
2
2
d
V
=
−
∮
[
ρ
v
→
(
v
2
2
+
p
ρ
)
−
v
→
R
]
d
S
→
−
∫
R
i
k
∂
v
i
∂
x
k
d
V
{\displaystyle {{d} \over {dt}}\int {{\rho v^{2}} \over {2}}dV=-\oint \left[\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+{{p} \over {\rho }}\right)-{\vec {v}}\mathbf {R} \right]d{\vec {S}}-\int R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}dV\;}
(45)
Pierwsza całka po prawej stronie równości (45 ) możemy rozszerzyć do nieskończoności, wtedy prędkości w neiskończonościach sa równe zero, zatem znika pierwsza całka, która jest całką powierzchniową i pozostaje tylko jego drugi wyraz, w takim wypadku wykorzystując z symetryczności tensora tarcia i z jego definicji otrzymujemy:
E
˙
k
i
n
=
−
∫
R
i
k
∂
v
i
∂
x
k
d
V
=
−
1
2
∫
R
i
k
(
∂
v
i
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
i
)
d
V
=
−
η
2
∫
(
∂
v
i
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
i
)
2
d
V
{\displaystyle {\dot {E}}_{kin}=-\int R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}dV=-{{1} \over {2}}\int R_{ik}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)dV=-{{\eta } \over {2}}\int \left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)^{2}dV\;}
(46)