Wikipedysta:Persino/Ciecz z tarciem wewnętrznym (ciecz leppka)

Tensor napięć a równania ruchu cieczy Naviera-Stokesa

Wexmy sobie teraz objętość zamkniętą, w której znajdować sie będzie ciecz ogólnie ścisliwa, wtedy siła powierzchniowa działająca na elementarny element tejże objętości zapisanej w drugiej zasadzie dynamiki Netwona zapisujemy formalnie:

$\int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int P_{i}d{\vec {S}}\Rightarrow \int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int \nabla P_{i}dV\;$

(1)

Ale ponieważ zachodzi dla współrzednej siły powierzchniowej, który jest definicją tensorów naprężeń zapisujemy wiedząc, że wektor ${\vec {n}}\;$ jest wektorem jednostkowym na zewnatrz powierzchni w danym punkcie powierzchni zamkniętej, jest w postaci:

$P_{i}=\sigma _{ij}n_{j}\;$

(2)

Wtedy równania ruchu przestawiamy podstawiając (2) do końcowego wzoru (3), i zamieniając prawą stronę równości na całkę powierchniową z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy mamy:

$\int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int \sigma _{ij}dS_{j}\Rightarrow \int dV\rho {{dv_{i}} \over {dt}}=\int dV{{\partial \sigma _{ij}} \over {\partial x_{j}}}\Rightarrow \rho {{dv_{i}} \over {dt}}={{\partial \sigma _{ij}} \over {\partial x_{j}}}\;$

(3)

Tensdor naprężeń jest zdefiniowany w punkcie (2), pomocy skalaru ciśnienia i tesnora tarcia R_ij i delty Kroneckera, w postaci:

$\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+R_{ij}\;$

(4)

w którym definicja tensora tarcia jest tak skonstruowana, by poszczególne jego elementy prędkości powinny zależeć od pochodnych prędkości względem połozeń, bo równe elementy cieczy poruszające się z różnymi prędkościami, oddiziałuwują między sobą przy pomocy tracia. Jeśli gradienty prędkości nie są zbyt wielkie, to tesnor tracia powinien zależweć od pierwszych pochodnych predkości. Gdy ciecz wykonuje ruch obrotowy z prędkościami zależnymi od połozenia ${\vec {v}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\;$, to poszczególne elementy cieczy niedodziaływują ze sobą, wtedy $_{{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}}\;$ powinno być równe zero.

$R_{ik}=\eta \left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}-{{2} \over {3}}\delta _{ik}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right)+\xi \delta _{ik}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\;$

(5)

Tensor tracia jest tak zdefiniowany by sumowaniu i=k wyraz występujący w nawiasie by równy zero. Jak można udowodnić, że współczynniki lepkości η i ξ są zawsze większe od zera. Jeśli tesnor tarcia (5) postawimy do tensora napięć, a to do równania ruchu cieczy, i w ten sposób otrzymamy równość:

$\rho \left({{\partial v_{i}} \over {\partial t}}+v_{k}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}\right)=-{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\left[\eta \left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}-{{2} \over {3}}\delta _{ik}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right)\right]+{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\left(\xi {{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right)\;$

(6)

Rółnanie ruchu (6) możemy perzepisać w postaci wektorowej, które nazwiemy równaniem Navbiera-Stokesa, i którego wygląd jest w postaci skalarnej w postaci trzech równań:

$\rho \left({{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}\right)=-\operatorname {grad} p+\eta \Delta {\vec {v}}+\left(\xi +{{\eta } \over {3}}\right)\operatorname {grad} \operatorname {div} {\vec {v}}\;$

(7)

Jeśli weźniemy prztypadek cieczy nieścisliwej, to wtedy dywergecja z prędkości jest równa zero $\operatorname {div} {\vec {v}}=0\;$, i wtedy równanie (7) przechodzi w dla naszego przypadku:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=-{{1} \over {\rho }}\operatorname {grad} p+{{\eta } \over {\rho }}\Delta {\vec {v}}\;$

(8)

Tensor napięć dla cieczy nieściśliwej, patrząć na wzór (5), przyjmuje bardziej prostą postać zależna od cisnienia "p" i tensora prędkości występującej jako drugi wyraz pod nawiasem ponoższego wzoru po jego prawej stronie:

$\sigma _{ik}=p\delta _{ik}+\eta \left({{\partial v_{l}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{l}}}\right)\;$

(9)

Zdefiniujemy teraz współczynnik leppkości kinematycznej, która jest stosunkiem zwykłej leppkości i gęstości cieczy, którego definicja jest:

$\nu ={{\eta } \over {\rho }}\;$

(10)

Jeśli wykorzystamy obliczenia (Niedopasowany uchwyt: 1.13), wtedy równania dla acieczy nieściśliwej i wykorzystując tożsamość termodynamiczną (Niedopasowany uchwyt: 1.11) przyjmuje wtedy postać:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}=-\operatorname {grad} \left(w+{{v^{2}} \over {2}}\right)+\nu \Delta {\vec {v}}\;$

(11)

Na równanie (9) działamy równanie operatorem rotacji, i wtedy danej wszystko możemy powiedzieć przy definicji leppkości kinematycznej ν (10):

${{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}=\operatorname {rot} \operatorname {(} {\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})+\nu \Delta \operatorname {rot} {\vec {v}}\;$

(12)

Przy definicji współrzędnych prędkości v_x (Niedopasowany uchwyt: 1.54), i v_y (Niedopasowany uchwyt: 1.55) możemy napisać tożsamości (Niedopasowany uchwyt: 1.57) i (Niedopasowany uchwyt: 1.59), zatem na podstawie tychże tożsamości możemy napisać tożsamość fizyczną (12) w postaci:

${{\partial \Delta \psi } \over {\partial t}}-{{\partial \psi } \over {\partial x}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial y}}+{{\partial \psi } \over {\partial y}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial x}}-\nu \Delta \Delta \psi =0\;$

(13)

Równanie (12) możemy zapisać w troszeczkę innej postaci wykorzuystując, że mamy nieścisliwą ciecz, tzn. dywergencja prędkości pozostaje równa zero, wykorzustując obliczenia przy definicji symboli Leviego-Civity (Niedopasowany uchwyt: 1.33):

$\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\nabla _{j}v_{l}a_{m}=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\nabla _{j}v_{l}a_{m}=\nabla _{m}v_{i}(\operatorname {rot} {\vec {v}})_{m}-\nabla _{l}v_{l}(\operatorname {rot} {\vec {v}})_{i}=\;$
$=(\operatorname {rot} {\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}-({\vec {v}}\cdot \nabla )\operatorname {rot} {\vec {v}}\;$

(14)

Tożąsamość udowodniona w punkcie (14) możemy wykorzystać w tożsamości (12), która jest słuszna przy bezródłowości cieczy, tzn. dywergecja prędkości jest równa zero, i w ten sposób:

${{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )\operatorname {rot} {\vec {v}}-(\operatorname {rot} {\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=\nu \Delta \operatorname {rot} {\vec {v}}\;$

(15)

Tensory naprężeń w dowolnym układzie współrzędnych

Tensor naprężeń (9) jest zdefiniowany w układzie kartezjańskim. Z definicji transformacji tensora z jednych współrzędnych do drugich możemy zrobić według sposobu:

$\sigma _{\alpha \beta }={{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\sigma _{ij}=-p{{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\delta _{ij}+\eta {{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x^{j}}}+{{\partial v_{j}} \over {\partial x^{i}}}\right)=\;$
$=-p\delta _{\alpha \beta }+\eta \left({{\partial x^{i}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial v_{i}} \over {\partial q^{\beta }}}+{{\partial v_{j}} \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{\beta }}}\right)\;$

(16)

Tensory naprężeń w układzie cylindrycznym

Przy liczeniu tensora naprężeń w układzie cylindrycznym wyrazimy współrzędne v_i układu kartezjańskiego względem współrzędnych cylindrycznych przy definicji wersorów w panujących w tym układzie (Niedopasowany uchwyt: 7.12), (Niedopasowany uchwyt: 7.15), (Niedopasowany uchwyt: 7.18), wtedy możemy przstąpić do ich liczenia:

$\sigma _{rr}=-p+2\eta \left[\cos \theta {{\partial } \over {\partial r}}\left(\cos \theta v_{r}-\sin \theta v_{\theta }\right)+\sin \alpha {{\partial } \over {\partial r}}\left(v_{r}\sin \theta +v_{\theta }\cos \theta \right)\right]=-p+2\eta {{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\;$

(17)

$\sigma _{\theta \theta }=-p+{{2\eta } \over {r^{2}}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta v_{r}-{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -v_{\theta }\cos \theta \right)+\;$
$+r\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta v_{r}+{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -v_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}=-p+2\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{v_{r}} \over {r}}\right)\;$

(18)

$\sigma _{zz}=-p+2\eta {{\partial v_{z}} \over {\partial z}}\;$

(19)

$\sigma _{r\theta }={{\eta } \over {r}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\cos \theta -{{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\sin \theta +{{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}\cos \theta \right)+\;$
$+\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta v_{r}-{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -v_{\theta }\cos \theta \right)+\;$
$+\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta v_{r}+{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -v_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}=\eta \left({{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}-{{v_{\theta }} \over {r}}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right)\;$

(20)

$\sigma _{rz}=\eta \left[{{\partial u_{z}} \over {\partial z}}+\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right)\right]=\;$
$=\eta \left[{{\partial v_{z}} \over {\partial r}}+{{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\right]\;$

(21)

$\sigma _{\theta z}={{\eta } \over {r}}{\Bigg [}{{\partial v_{z}} \over {\partial \theta }}-r\sin \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial v_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right){\Bigg ]}=\;$
$=\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{z}} \over {\partial \theta }}+{{\partial v_{\theta }} \over {\partial z}}\right)\;$

(22)

Równanie ciągłości dla układu cylindrycznego dla cieczy nieścisliwej

Będziemy tutaj korzystali z definicji operatora ∇ we współrzędnycyh kulistych (Niedopasowany uchwyt: 7.19) i przestawienia wektora prędkości bazie układu cylindrycznego w postaci wzoru:

${\vec {v}}=v_{r}{\vec {e}}_{r}+v_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }+v_{z}{\vec {e}}_{z}\;$

(23)

By potem napisać dywregencję zapisanej względem współrzędnych cylindrycznych względem wektora prędkości (23), który jest równaniem ciągłości dla cieczy nieściśliwej:

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0\Rightarrow 0=\left({\vec {e}}_{r}{{\partial } \over {\partial r}}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial } \over {r\partial \theta }}+{\vec {e}}_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)\left({\vec {e}}_{r}v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)=\;$
$={{\partial v_{r}} \over {\partial r}}+{{v_{r}} \over {r}}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}={{1} \over {r}}{{\partial (rv_{r})} \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}\;$

(24)

Równanie Nawiera Stokesa we współrzędnych cylindrycznych

Tutaj wyznaczmy równanie Nawiera-Stokesa we współrzędnych cylindrycznych, ale najpierw wykorzystajmy z definicji operatora ∇ w tych współrzędnych (Niedopasowany uchwyt: 7.36) mając na uwadze wersory w tych samych współrzędnych (Niedopasowany uchwyt: 7.12), (Niedopasowany uchwyt: 7.15) i (Niedopasowany uchwyt: 7.18) mając na uwadze zdefiniowaną predkość w tychże współrzędnych (21):

$\nabla {\vec {v}}=\left({{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)+{{1} \over {r^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}\right)\left(v_{r}{\vec {e}}_{r}+v_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }+v_{z}{\vec {e}}_{z}\right)=\;$
$={\vec {e}}_{r}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{z}+{\vec {e}}_{r}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{z}+\;$
$+{{1} \over {r^{2}}}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left(v_{r}{\vec {e}}_{\theta }+{\vec {e}}_{r}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}-v_{\theta }{\vec {e}}_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{\vec {e}}_{z}{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}\right)=\;$
$={\vec {e}}_{r}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(r{{\partial } \over {\partial r}}\right)v_{z}+{\vec {e}}_{r}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{r}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{\theta }+{\vec {e}}_{z}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}v_{z}+\;$
$+-{\vec {e}}_{r}{{v_{r}} \over {r^{2}}}+{\vec {e}}_{\theta }{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}+{\vec {e}}_{r}{{1} \over {e^{2}}}{{\partial ^{2}v_{r}} \over {\partial \theta ^{2}}}-{\vec {e}}_{r}{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}-{{v_{\theta }} \over {r^{2}}}+{\vec {e}}_{r}{{1} \over {r^{2}}}{{\partial ^{2}v_{\theta }} \over {\partial \theta ^{2}}}+{\vec {e}}_{z}{{\partial ^{2}v_{z}} \over {\partial z^{2}}}=$
$={\vec {e}}_{r}\left(\Delta v_{r}-{{v_{r}} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right)+{\vec {e}}_{\theta }\left(\Delta v_{\theta }-{{v_{\theta }} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\right)+{\vec {e}}_{z}\Delta v_{z}\;$

(25)

Dalej policzmy inne wyrażenie wektorowe:

$({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=\left(v_{r}{{\partial } \over {\partial r}}v_{r}+v_{\theta }{{\partial } \over {r\partial \theta }}+v_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)\left(v_{r}{\vec {e}}_{r}+v_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }+v_{z}{\vec {e}}_{z}\right)=\;$
$={\vec {e}}_{r}({\vec {v}}\nabla )+{\vec {e}}_{\theta }{{v_{\theta }v_{r}} \over {r}}+{\vec {e}}_{r}({\vec {v}}\nabla )v_{\theta }-{{v_{\theta }^{2}} \over {r}}{\vec {e}}_{r}+{\vec {e}}_{z}({\vec {v}}\nabla )v_{z}\;$

(26)

Na sam koniec możemy sformułować równania Naviera-Stokesa (8) we współrzędnych cylindrycznych wykorzystując obliczenia (25) i (26):

${{\partial v_{r}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{r}-{{v_{\theta }^{2}} \over {r}}=-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}+\nu \left(\Delta v_{r}-{{v_{r}} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right)\;$

(27)

${{\partial v_{\theta }} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{\theta }+{{v_{r}v_{\theta }} \over {r}}=-{{1} \over {\rho r}}{{\partial p} \over {\partial \theta }}+\nu \left(\Delta v_{\theta }-{{v_{\theta }} \over {r^{2}}}+{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}\right)\;$

(28)

${{\partial v_{z}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{z}=-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial z}}=\nu \Delta v_{z}\;$

(29)

Tensory naprężeń w układzie kulistym

Tensory naprężeń względem współrzędnych kulistych dla cieczy nieścisliwej:

$\sigma _{rr}=-p+2\eta {{\partial v_{r}} \over {\partial r}}\;$ (30)	$\sigma _{\theta \theta }=-p+2\eta \left({{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{v_{r}} \over {r}}+{{v_{\phi }\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}\right)\;$ (31)
$\sigma _{\phi \phi }=-p+\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{\phi }} \over {\partial \phi }}+{{v_{r}} \over {r}}\right)\;$ (32)	$\sigma _{r\phi }=\eta \left({{1} \over {r}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \phi }}+{{\partial v_{\phi }} \over {\partial r}}-{{v_{\phi }} \over {r}}\right)\;$ (33)
$\sigma _{\phi \theta }=\eta \left({{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{\phi }} \over {\partial \theta }}+{{1} \over {r}}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \phi }}-{{v_{\theta }\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}\right)\;$ (34)	$\sigma _{\theta r}=\eta \left({{\partial v_{\theta }} \over {\partial r}}+{{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}-{{v_{\theta }} \over {r}}\right)\;$ (35)

Równanie ciągłości w ukłądzie kulistym

${{1} \over {r^{2}}}{{\partial (r^{2}v_{r})} \over {\partial r}}+{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial (\sin \phi v_{\phi })} \over {\partial \phi }}+{{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}=0\;$

(36)

Rówwnanie Nawiera-Stokesa we współrzędnych kulistych

${{\partial v_{r}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{r}-{{v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}} \over {r}}=-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}+\nu \left[\Delta v_{r}-{{2v_{r}} \over {r^{2}}}-{{2} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial (v_{\phi }\sin \phi )} \over {\partial \phi }}-{{2} \over {r^{2}\sin \phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right]\;$

(37)

${{\partial v_{\phi }} \over {\partial r}}+({\vec {v}}\nabla )v_{\phi }+{{v_{r}v_{\phi }-v_{\theta }^{2}\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}=-{{1} \over {\rho r}}{{\partial p} \over {\partial \phi }}+\nu \left[\Delta v_{\phi }+{{2} \over {r^{2}}}{{\partial v_{r}} \over {\partial \phi }}-{{v_{\phi }} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}-{{2\cos \phi } \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial v_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right]\;$

(38)

${{\partial v_{\theta }} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla )v_{\theta }+{{v_{r}v_{\theta }+v_{\phi }v_{\theta }\operatorname {ctg} \phi } \over {r}}=\;$
$=-{{1} \over {\rho r\sin \phi }}{{\partial p} \over {\partial \theta }}+\nu \left[\Delta v_{\theta }+{{2} \over {r^{2}\sin \phi }}{{\partial v_{r}} \over {\partial \theta }}+{{2\cos \phi } \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial v_{\phi }} \over {\partial \theta }}-{{v_{\theta }} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}\right]\;$

(39)

Straty energii w cieczy nieściśliwej

Istnienie ciepła prowadzi do zamienienia energii mechanicznej na ciepło. Całkowita energia kinetyczna dla cieczy nieścisliwej możemy przestawić licząc całkę po prędkopściach względem objętości tejże cieczy:

$E_{kin}={{1} \over {2}}\rho \int v^{2}dV\;$

(40)

Weźmy sobie pod oszczał wyrażenie, które zapiszemy poniżej:

${{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}=\rho v_{i}{{\partial v_{i}} \over {\partial t}}\;$

(41)

Do równania (41) podstawiamy równanie Naviera-Stokesa dla cieczy nieścisliwej (6), które przestawimy w postaci trzech równań skalarnych, za pochodną prędkości względem czasu , które to równanie najpierw przestawiamy jako:

${{\partial v_{i}} \over {\partial t}}=-v_{k}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial R_{ik}} \over {\partial x_{k}}}\;$

(42)

Wtedy w takim wypadku:

${{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}=-\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}-{\vec {v}}\nabla p+v_{i}{{\partial R_{ik}} \over {\partial x_{k}}}=-\rho ({\vec {v}}\nabla )\left({{v^{2}} \over {2}}+{{p^{2}} \over {\rho }}\right)+\operatorname {div} ({\vec {v}}\mathbf {R} )-R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}\;$

(43)

Ponieważ w cieczy nieścisliwej dywergencja prędkości jest równa zero, wtedy pierwszey wyraz po prawej stronie równości (15) prędkość możemy przenieść pod znak dywergencji, i w ten sposób:

${{\partial \rho v^{2}} \over {\partial t}}=-\operatorname {div} \left[\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+{{p} \over {\rho }}\right)-{\vec {v}}\mathbf {R} \right]-R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}\;$

(44)

Wyznaczmy teraz całkę obustronną wyrażenia (44) względem objętości i potem skorzystajmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, by zamienić pierwszy wyraz po prawej stronie w całkę całkowanie po objetości na całkowanie po powierzchni:

${{d} \over {dt}}\int {{\rho v^{2}} \over {2}}dV=-\oint \left[\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+{{p} \over {\rho }}\right)-{\vec {v}}\mathbf {R} \right]d{\vec {S}}-\int R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}dV\;$

(45)

Pierwsza całka po prawej stronie równości (45) możemy rozszerzyć do nieskończoności, wtedy prędkości w neiskończonościach sa równe zero, zatem znika pierwsza całka, która jest całką powierzchniową i pozostaje tylko jego drugi wyraz, w takim wypadku wykorzystując z symetryczności tensora tarcia i z jego definicji otrzymujemy:

${\dot {E}}_{kin}=-\int R_{ik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}dV=-{{1} \over {2}}\int R_{ik}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)dV=-{{\eta } \over {2}}\int \left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)^{2}dV\;$

(46)