Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Algebra/Macierze i wyznaczniki

Zapoznamy się tutaj co to są właściwie macierze, jak je do siebie się dodaje lub odejmuje, jak się mnoży je. Kiedy te działania wspomniane wcześniej są wykonywalne, a kiedy niewykonywalne. Zapoznamy się z postulatami jakie wyznacznik macierzy kwadratowej powinien spełniać. Na tej podstawie wyprowadzimy jak w sposób ogólny liczymy wartości tychże wyznaczników. Jak liczymy macierz odwrotną. zapoznamy się również z teorią rozwiązywania układu n równań o liczbie niewiadomych równych liczbie równań lub nie.

Definicja macierzy

Macierzą nazywamy obiekt o n wierszach i m kolumnach, którego matematycznie piszemy wedle:

$[a_{ij}]_{n\times m}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdot &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}_{n\times m}\;$

(1)

Mnożenie macierzy przez parametr

Pomnóżmy macierz przez parametry λ, wtedy otrzymamy końcową macierz, w którym wszystkie elementy zostaną pomnożone przez ten wspomniany parametr.

$\lambda {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdot &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}_{n\times m}={\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1m}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdot &\lambda a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{n1}&\lambda a_{n2}&\cdots &\lambda a_{nm}\end{bmatrix}}_{n\times m}\;$

(2)

W formie skróconej bardziej przejrzyściej niż (2) używając ogólnego zapisu macierzy o n wierszach i m kolumnach piszemy następująco:

$\lambda [a_{ij}]_{n\times m}=[\lambda a_{ij}]_{n\times m}\;$

(3)

Dodawanie i odejmowanie macierzy

Dodawaniem (odejmowaniem) dwóch macierzy nazywamy dodawanie (odejmowanie) elementów do siebie o takich samych wskaźnikach, i w ten sposób otrzymujemy następującą końcową macierz:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdot &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}\pm {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&\cdot &b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nm}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\pm b_{11}&a_{12}\pm b_{12}&\cdots &a_{1m}\pm b_{1m}\\a_{21}\pm b_{22}&a_{22}\pm b_{23}&\cdot &a_{2m}\pm b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}\pm b_{n1}&a_{n2}\pm b_{bn2}&\cdots &a_{nm}\pm b_{nm}\end{bmatrix}}\;$

(4)

Przy liczeniu sumy dwóch macierz w punkcie (4) ilość wierszy i kolumn w pierwszej macierzy powinna być taka sama jak w drugiej macierzy. Ogólnie dodawanie (odejmowanie) dwóch macierzy piszemy wedle sposobu;

$[a_{ij}]_{n\times m}\pm [b_{ij}]_{n\times m}=[a_{ij}\pm b_{ij}]_{n\times m}\;$

(5)

Mnożenie macierzy

Iloczynem dwóch macierzy nazywamy takie działanie matematyczne zdefiniowane następująco:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdot &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1r}\\b_{21}&b_{22}&\cdot &b_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mr}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{s=1}^{m}a_{1s}b_{s1}&\sum _{s=1}^{n}a_{1s}b_{s2}&\cdots &\sum _{s=1}^{m}a_{1s}b_{sr}\\\sum _{s=1}^{n}a_{2s}b_{s1}&\sum _{s=1}^{m}a_{2s}b_{s2}&\cdots &\sum _{s=1}^{m}a_{2s}b_{sr}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{s=1}^{m}a_{ns}b_{s1}&\sum _{s=1}^{m}a_{ns}b_{s2}&\cdots &\sum _{s=1}^{m}a_{ns}b_{sr}\end{bmatrix}}\;$

(6)

Ogólnie w postaci uproszczonej mnożenie dwóch niedowolnych macierzy zapisujemy wedle sposobu:

$\left[a_{ij}\right]_{n\times m}\cdot \left[b_{ij}\right]_{m\times r}=\left[\sum _{s=1}^{m}a_{is}b_{sj}\right]_{n\times r}\;$

(7)

Ilość kolumn w pierwszej macierzy (m) powinna być równa ilości wierszy (m) w drugiej macierzy, tak aby działanie mnożenia dwóch macierzy było w naszym przypadku wykonywalne. Czyli pierwszą macierz mamy jako n×m a drugą m× r, a końcową macierz jako wynik mnożenia dwóch wspomnianych macierzy mamy jako n×r.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Macierze spełniają prawo rozdzielności mnożeni względem dodawania, którego zapis matematyczny wygląda następująco:

$A(B+C)=AB+AC\;$

(8)

Dowód prawa (8) polega na wykorzystaniu definicji mnożenia dwóch odpowiednich macierzy (7), zatem do dzieła:

$A(B+C)=[a_{ij}]_{n\times m}([b_{ij}]_{m\times r}+[c_{ij}]_{m\times r})=[a_{ij}]_{n\times m}[b_{ij}+c_{ij}]_{m\times r}=[\sum _{s}a_{is}(b_{sj}+c_{sj})]_{n\times r}=$
$=[\sum _{s}a_{is}b_{sj}]_{m\times r}+[\sum _{s}a_{is}c_{sj}]_{m\times r}=AB+BC\;$

(9)

Na podstawie obliczeń (9) udowodniliśmy prawo (8) dotyczącej macierzy.

Łączność dodawania trzech macierzy

Łączność dodawania trzech macierzy polega na dowodzie:

$(A+B)+C=A+(B+C)\;$

(10)

Dowód prawa (10) polega na wykorzystaniu definicji dodawania dwóch macierzy, zatem udowodnijmy to twierdzenie dla macierzy. Lewa strona prawa (10):

$L=(A+B)+C=([a_{ij}]_{n\times m}+[b_{ij}]_{n\times m})+[c_{ij}]_{n\times m}=[a_{ij}+b_{ij}]_{n\times m}+[c_{ij}]_{n\times m}=[a_{ij}+b_{ij}+c_{ij}]_{n\times m}\;$

(11)

Prawa strona równania (10):

$P=A+(B+C)=[a_{ij}]_{n\times m}+([b_{ij}]_{n\times m}+[c_{ij}]_{n\times m})=[a_{ij}]_{n\times m}+[b_{ij}+c_{ij}]_{n\times m}=[a_{ij}+b_{ij}+c_{ij}]_{n\times m}\;$

(12)

Porównując obie strony wyliczeń (11) i (12) dochodzimy do wniosku, że są one tożsamościowo równe, zatem na pewno jest spełnione twierdzenie (10).

Łączność mnożenia trzech macierzy

W tym przypadku należy udowodnić następujące prawo:

$(AB)C=A(BC)\;$

(13)

Dowód prawa (10) polega na wykorzystaniu definicji mnożenia dwóch odpowiednich macierzy (7), zatem do dzieła. Lewa strona równania (13):

$L=(AB)C=([a_{ij}]_{m\times n}\cdot [b_{ij}]_{n\times r})[c_{ij}]_{r\times q}=\left[\sum _{s}a_{is}b_{sj}\right]_{m\times r}\cdot [c_{ij}]_{r\times q}=\left[\sum _{s}\sum _{p}a_{is}b_{sp}c_{pj}\right]_{m\times q}\;$

(14)

Praw strona równania (13):

$P=A(BC)=[a_{ij}]_{m\times n}\cdot ([b_{ij}]_{n\times r}\cdot [c_{ij}]_{r\times q})=[a_{ij}]_{m\times n}\cdot \left[\sum _{p}b_{ip}c_{pj}\right]_{n\times q}=\left[\sum _{s}\sum _{p}a_{is}b_{sp}c_{pj}\right]_{m\times q}\;$

(15)

Porównując (14) i (15) do siebie, dochodzimy do wniosku, że obie te strony są równe nawzajem, zatem jest spełnione prawo łączności trzech macierzy (13).

Postulaty co do właściwości wyznaczników

Weźmy sobie macierz kwadratową, którego każdą kolumną oznaczymy H_i, który ma liczbę wierszy równą n, zatem na podstawie tego możemy przystąpić do postulatów istnienia macierzy. A oto postulaty:

• Postulat pierwszy, tzn. parametr λ stojąca przy j-tej kolumnie można wycjągnąc ten przez ten wyznacznik.

$\operatorname {det} [H_{1},H_{2},...,\lambda H_{j},...,H_{n}]=\lambda [H_{1},H_{2},...,H_{j},...,H_{n}]\;$

(16)

• Postulat drugi, tzn. jeśli dwie dowolne kolumny są takie same w tejże wyznaczniku, to cały wyznacznik jest równy jeden.

$\operatorname {det} [H_{1},H_{2},...,H_{i},....,H_{i},....H_{n}]=0\;$

(17)

• Postulat trzeci, tzn. wyznacznik dowolnej macierzy jedynkowej tożsamościowo równej macierzy jedynkowej jest równa jeden.

$\operatorname {det} I=1\;$

(18)

• Postulat trzeci, tzn. zamiana miejscami kolumn wyznacznika powoduje pojawienie się przed wyznacznikiem znaku minus.

$\operatorname {det} [H_{1},H_{2},...,H_{i},...,H_{j},..,H_{n}]=-\operatorname {det} [H_{1},H_{2},...,H_{j},..,H_{i},...,H_{n}]\;$

(19)

• Postulat czwarty, tzn. dodawanie dwóch wyznaczników stopnia n-tego różniące się tylko jedną kolumną.

$\det[H_{1},H_{2},...,H_{i-1},A_{j},H_{j+1},...,H_{n}]+\det[H_{1},H_{2},...,H_{i-1},B_{j},H_{j+1},...,H_{n}]=\;$
$=\det[H_{1},H_{2},...,H_{i-1},A_{j}+B_{j},H_{j+1},...,H_{n}]\;$

(20)

Wyprowadzenie bardziej eleganckiej postaci wyznacznika, tożsamość Cauchy'ego

Aby udowodnić twierdzenie Cauchy'ego najpierw przestawmy weźmy, że H_i to są kolumny macierzy A, zatem nasz iloczyn AB możemy zapisać wedle sposobu:

$AB=[a_{ij}][b_{ij}]=\left[\sum _{s}a_{is}b_{sj}\right]=\left[\sum H_{s}b_{sj}\right]\;\;$

(21)

Wtedy wyznacznik macierzy AB, czyli (21) piszemy wedle sposobu:

$\det \left[AB\right]=\det \left[\sum _{s}H_{s}b_{s1},...,\sum _{s}H_{s}b_{sj},...,\sum _{s}H_{s}b_{sj}\right]=\;\;\;$
$=\sum _{s_{1}}\sum _{s_{2}}...\sum _{s_{n}}b_{s_{1}1}b_{s_{2}2}...b_{s_{n}n}\det[H_{s_{1}}H_{s_{2}},...,H_{s_{j}},...,H_{sn}]\;\;$

(22)

Wyznaczniku końcowym (22) elementy H_si mogą się powtarzać, a jeśli się powtarzają to wyznacznik tam występujący jest równy zero, to stąd dostajemy, że wskaźnik s_i przyjmuje swoje unikalne wartości. Ale ponieważ s_i przyjmuje wszystkie własności z zakresu od 1 do n, czyli tożsamość (22) przepiszemy wedle sposobu:

$\det \left[AB\right]=\sum _{\sigma }b_{\sigma (1)1}b_{\sigma (2)2}...b_{\sigma (n)n}\det[H_{\sigma (1)}H_{\sigma (2)},...,H_{\sigma (i)},...,H_{\sigma (n)}]\;\;$

(23)

Ponieważ elementy wyznacznika występująca we wzorze (23) są poukładane w złym porządku, zatem musimy je poukładać w dobrym porządku, zatem ten wyznacznik piszemy jako:

$\det[H_{\sigma (1)}H_{\sigma (2)},...,H_{\sigma (i)},...,H_{\sigma (n)}]=\operatorname {sqn} (\sigma )\det[H_{1},H_{2},...,H_{i},...,H_{n}]\;$

(24)

• gdzie sqn(σ) przedstawia czy permutacja liczb 1,2,3,..,i,..,n jest parzysta, wtedy ta funkcja przyjmuje wartość jeden, gdy nieparzysta, to minus jeden.

Równość (23) na podstawie tożsamości (24) piszemy wedle sposobu:

$\det \left[AB\right]=\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )b_{\sigma (1)1}b_{\sigma (2)2}...b_{\sigma (n)n}\det[H_{1},H_{2},..,H_{i}.,,,.,H_{n}]\;$

(25)

Obierzmy sobie w (23), że macierz A jest macierzą jednostkową, zatem wtedy mamy naszą jawną definicję wyznacznika macierzy A.

$\det B=\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )b_{\sigma (1)1}b_{\sigma (2)2}...b_{\sigma (n)n}\;$

(26)

Również dobrze wzór (25) przy definicji macierzy A i definicji wyznacznika (24), zatem dochodzimy do wniosku, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy, którego postać matematyczną tego prawa piszemy jako:

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\;$

(27)

Równość wyznacznika macierzy transponowanej a nie transponowaną

Mamy sobie definicję wyznacznika (26), w którym te czynniki b_σ(i) tak poukładajmy by pierwszy wskaźnik przy "b" by numerowany od jeden do n, a drugi był pewną permutacją liczb 1,2,3,...,n. Zatem ta permutacja ma taką samą parzystość, co permutacja σ, zatem powinno zachodzić sqn(σ)^{-1=sqn(σ). Matematyczny dowód wyznacznik macierzy prostej jest równa wyznacznikowi macierzy odwrotnej, zatem:}

$\det B=\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )b_{\sigma (1)1}b_{\sigma (2)2}...b_{\sigma (n)n}=\sum _{\sigma ^{-1}}\operatorname {sqn} (\sigma ^{-1})b_{1\sigma ^{-1}(1)}b_{2\sigma ^{-1}(2)}...b_{n\sigma ^{-1}(n)}=\;$
$=\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )b_{1\sigma (1)}b_{2\sigma (2)}...b_{n\sigma (n)}$

(28)

Powyżej wszystkie permutacje σ należą do zbioru S_n, zatem permutacje odwrotne σ^-1 też należą do zbioru S_n, zatem zachodzi ostatnia równość (28). W ten sposób udowodniliśmy, że wyznacznik macierzy zwykłej jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej. Co matematycznie piszemy:

$\det B=\det B^{T}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 2.29)

Wyznacznik iloczynu parametru i macierzy kwadratowej

Wykorzystując wzór (25) rozpiszmy następujące wyrażenie poniżej. Każde λ stojące przy b_σ(i)i wyłączamy przez sumę i w rezultacie otrzymujemy n-tą potęgę parametru λ przed definicją macierzy A , przy założeniu, że n jest to stopień wspomnianej macierzy.

$\det(\lambda A)=\det[\lambda a_{ij}]=\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )\lambda b_{\sigma (1)1}\lambda b_{\sigma (2)2}...\lambda b_{\sigma (n)n}=\;$
$=\lambda ^{n}\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )b_{\sigma (1)1}b_{\sigma (2)2}...b_{\sigma (n)n}=\lambda ^{n}\det A\;$

(Niedopasowany uchwyt: 2.29)

Wynik wynikający z obliczeń (Niedopasowany uchwyt: 2.29) możemy przepisać dla przejrzystości wykładu w następujący sposób:

$\det(\lambda A)=\lambda ^{n}\det A\;$

(31)

Twierdzenie Laplace'a

Naszym celem jest udowodnienie twierdzenia Laplace'a, w tym celu udowodnijmy cząstkowe lematy, by potem powiedzieć, że występują takie a nie inne ogólne wzoru Laplace'a. Wzorów Laplace'a jest dwa, tzn. rozwinięcia wyznacznika względem kolumny i jak powiemy dlaczego względem wiersza.

Napiszmy sobie wyznacznik, który napiszemy korzystając ze ogólnego wzoru na wyznacznik macierzy stopnia parzystego, tzn. z (26) i policzymy czemu on jest równy.

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )a_{11}a_{2\sigma (2)}a_{3\sigma (3)}...a_{n\sigma (n)}=\;$
$=a_{11}\sum _{\sigma }\operatorname {sqn} (\sigma )a_{2\sigma (2)}a_{3\sigma (3)}...a_{n\sigma (n)}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{22}&\ddots &\vdots \\a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}=a_{11}A_{11}\;$

(32)

Następnie załóżmy, że w pierwszej kolumnie macierzy znajduje się na jakimś wierszu niezerowy element a_i1, wtedy ten wiersz możemy zamienić z pierwszym i skorzystać już udowodnionego lematu (32), zatem wtedy mamy:

${\begin{vmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{i-12}&\cdots &a_{i-1n}\\0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{i+12}&\cdots &a_{i+1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}=a_{i1}{\begin{vmatrix}a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-12}&\cdots &a_{i-1n}\\a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{i+12}&\cdots &a_{i+1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}=\;$
$=a_{i1}(-1)^{i}{\begin{vmatrix}a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-12}&\cdots &a_{i-1n}\\a_{i+12}&\cdots &a_{i+1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}=a_{i1}(-1)^{i}A_{i1}\;$

(33)

Następnym krokiem naszego dowodu jest skorzystanie ze pierwsza kolumna składa się z ogólnie niezerowych składników, wtedy wykorzystując postulat (20), możemy taką naszą macierz rozłożyć na sumę n wyznaczników, w których każdym takim składniku w pierwszej kolumnie występuje tylko jedna wartość niezerowa, zatem dla każdego takiego składnika wykorzystując udowodniony lemat (33), wtedy będzie można wtedy powiedzieć:

$\det A=\sum _{i}a_{i1}(-1)^{i}A_{i1}\;$

(34)

Naszym następnym krokiem wyznaczniku det A jest zamienienie kolumny j-tej z pierwszą, wtedy będzie można zastosować wzór (34). Ależ już po rozwinięciu w wyznaczniku A_i1 tak zamieniamy w mim miejscami kolumny by kolejność wierszy była znów normalna (pierwszego wskaźnika ma wzrastać w stronę zwiększających się numerów), w tym celu tych przestawień jest "j". Zatem ze wzoru (34) wynika ogólne twierdzenie matematyczne zwane twierdzeniem Lapace'a rozwinięcia względem kolumny:

$\det A=\sum _{i}a_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}\;$

(35)

Ponieważ wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej, wtedy drugi wzór Laplace'a piszemy wedle sposobu, ale tym razem rozwinięcia względem wiersza.

$\det A=\sum _{j}a_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}\;$

(36)

Obliczanie macierzy drugiego i trzeciego stopnia metodą Sarrusa

Wyznacznik stopnia drugiego liczymy według następującego sposobu:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\;$

(37)

Mając już wyznacznik stopnia trzeciego wyznaczmy go z metody Laplace'a i dowiemy się, że taki sam wynik wyjdzie tez licząc tego typu wyznacznik za pomocą metody według rysunku obok zwanej metodą Sarrusa, zatem jej wartość jest wedle następującego sposobu:

Metoda Sarrusa dla wyznacznika stopnia trzeciego

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+\;$
$+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+\;$
$+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}=a_{11}a_{22}a_{33}+\;$
$+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\;$

(38)

Ten sam końcowy wzór (38) możemy wyznaczyć z definicji wyznacznika stopnia trzeciego ze wzoru (26).

Macierz odwrotna

Udowodnijmy następujący lemat, który będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń, zatem:

$\sum _{p}a_{ip}(-1)^{p+j}A_{jp}={\begin{cases}\det A&{\mbox{ dla }}i=j\\0&{\mbox{ dla }}i\neq j\\\end{cases}}=\delta _{ij}\det A\;$

(39)

Aby udowodnić (39) dla i=j, to należy skorzystać z twierdzenia Laplace'a (35), zatem dla tego przypadku mamy det A. Gdy l≠ j, zatem weźmy macierz B, który można otrzymać gdy zastąpimy j-ty wiersz i tym wierszem, wtedy oczywiste jest, tak powstały wyznacznik jest równy zero na podstawie postulatu (17), i rozwijając ten wyznacznik z macierzy B go względem j-tej kolumny, wtedy mamy tutaj na tej kolumnie wyrazy o pierwszym wskaźniku równej j, i w ten sposób otrzymaliśmy wyrażenie takie same jak dla lewejs trony (39) dla i≠ j.

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A (1) nazywamy macierz w postaci:

$A^{-1}={{1} \over {\det(A)}}\left[(-1)^{i+j}A_{ji}\right]\;$

(40)

Aby sprawdzić, czy macierz (40) jest macierzą odwrotną do A, to sprawdźmy, czy jest na pewno poniższa macierz jest równa macierzy jednostkowej korzystając już z udowodnionego lematu (39):

$AA^{-1}=[a_{ij}]{{1} \over {\det A}}\left[(-1)^{i+j}A_{jl}\right]={{\left[\sum _{p}a_{ip}(-1)^{p+j}A_{pl}\right]} \over {\det A}}={{[\delta _{ij}\det A]} \over {\det A}}=[\delta _{ij}]=I\;$

(41)

Na podstawie obliczeń (41) udowodniliśmy, że rzeczywiście macierz (40) jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Twierdzenie Cramera

Weźmy sobie układ n równań n niewiadomych w następującej postaci:

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=b_{1}\\\end{cases}}\;$

(42)

Obierzmy sobie macierz A zbudowany na podstawie współczynników strojących przy niewiadomych x_i a także macierz W_i zbudowanych na podstawie macierzy A, tyko i-ta kolumna jest zastąpiona przez wyrazy wolne b_i, zatem te macierze piszemy jako:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}\;$ (43)

$W_{i}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1i-1}&b_{1}&a_{1i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2i-1}&b_{1}&a_{2i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{ni-1}&b_{n}&a_{ni+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\;$ (44)

I-te rozwiązanie układu równań (42), gdy zachodzi na pewno det A≠ 0, wtedy piszemy go następująco:

$x_{i}={{\det W_{i}} \over {\det A}}\;$

(45)

Widzimy, że to rozwiązanie jest zbudowane przy pomocy wyznacznika macierzy W_i (44) i przy pomocy wyznacznika macierzy A (42).

Układ równań (40) możemy napisać w równoważnej postaci ale macierzowej:

$AX=B\;$

(46)

W celu sprawdzenia czy rzeczywiście (45) jest rozwiązaniem układu równań należy (45) podstawić do lewej strony (46) i sprawdźmy czy otrzymamy prawą stronę, zatem korzystając przy tym z (39) możemy wtedy napisać;

${{A}/{\det A}}{\begin{bmatrix}\det W_{1}\\\det W_{2}\\\vdots \\\det W_{i}\\\vdots \\\det W_{n}\end{bmatrix}}={{1} \over {\det A}}A{\begin{bmatrix}\sum _{p}(-1)^{p+1}b_{p}A_{p1}\\\sum _{p}(-1)^{p+2}b_{p}A_{p2}\\\vdots \\\sum _{p}(-1)^{p+i}b_{p}A_{pi}\\\vdots \\\sum _{p}(-1)^{p+n}b_{p}A_{pn}\\\end{bmatrix}}={{1} \over {\det A}}{\begin{bmatrix}\sum _{p}\sum _{k}(-1)^{p+k}b_{p}a_{1k}A_{pk}\\\sum _{p}\sum _{k}(-1)^{p+k}b_{p}a_{2k}A_{pk}\\\vdots \\\sum _{p}\sum _{k}(-1)^{p+k}b_{p}a_{nk}A_{pk}\\\end{bmatrix}}=\;$
$={{1} \over {\det A}}{\begin{bmatrix}\sum _{p}b_{p}\delta _{p1}\det A\\\sum _{p}b_{p}\delta _{p2}\det A\\\vdots \\\sum _{p}b_{p}\delta _{pn}\det A\\\end{bmatrix}}={{\det A} \over {\det A}}{\begin{bmatrix}\sum _{p}b_{p}\delta _{p1}\\\sum _{p}b_{p}\delta _{p2}\\\vdots \\\sum _{p}b_{p}\delta _{pn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=B\;$

(47)

Na podstawie obliczeń (47) udowodniliśmy, że jednak (45) jest poprawnym rozwiązaniem cramerowskim układu n-równań n-niewiadomych (42), gdy macierz A nie jest macierzą osobliwą, tzn. det A nie jest równy zero, wtedy istnieje jedno rozwiązanie według Cramera. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja