Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Analiza matematyczna/Funkcje uwikłane

Pochodne cząstkowe funkcji uwikłanej względem argumentu wartości

Zauważmy, że mamy funkcje uwikłaną, którego definicja jest zapisana wzorem $f(x_{1},x_{2},...,x_{n},z)=0\;$, zatem korzystając z definicji funkcji uwikłanej według analizy matematycznej możemy napisać nastepującym wzorem poniżej, która jest sumą iloczynów pochodnych cząstkowych funkcji f względem zmiennej x_i i różniczki zupełnej zmiennej x_i, dla n wartości i, a n ma taka wartość jaką jest liczba zmiennych funkcji f:

$0={{\partial f} \over {\partial x_{2}}}dx_{1}+{{\partial f} \over {\partial x_{2}}}dx_{1}+...+{{\partial f} \over {\partial x_{2}}}dx_{2}+{{\partial f} \over {\partial z}}dz$

(1)

Załóżmy, że mamy dodatkowy warunek na dx_i, który zapisujemy wedle sposobu $dx_{i}\neq 0$, a pozotałe różniczki dla $i\neq j\;$ są równe zero dx_j=0, można to zrobić, gdyż jest taka idea różniczki cząstowej. Zatem wzór (1) da się przestawić jako:

$0={{\partial f} \over {\partial x_{i}}}\partial x_{i}+{{\partial f} \over {\partial z}}\partial z$

(2)

Wzór (2) możemy zapisać w sposób bardzo równoważny, ale trochę w innej postaci dzieląc obustronnie wspomniany wzór przez $\partial x_{i}\;$, który z założenia jest nierówny zero, zatem możemy napisać:

${{\partial z} \over {\partial x_{i}}}=-{{{\partial f} \over {\partial x_{i}}} \over {{\partial f} \over {\partial z}}}$

(3)

Transformacje pochodnych względem układu współrzędnej dla funkcji prostej

W tym rozdziale będziemy rozważać funkcję $z=f({\vec {x}})$, zatem jeśli mamy macierz transformacji współrzędnych z jednego układu współrzędnych do drugiego, zatem te transformacje piszemy wedle następującego schematu:

$x'_{i}=\sum _{i=1}^{n-1}a_{ij}x_{j}$

(4)

Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej x_i przestawimy jako kombinacja pochodnej f względem zmiennej x'_i, zakładając przy tym, że macierz ∇ jest macierzą poziomą, zatem wtedy możemy napisać:

$\nabla f_{K'}={\vec {k}}_{i}{{\partial f} \over {\partial x_{i}^{'}}}={\vec {k}}_{i}{{\partial f} \over {\partial x_{i}}}\underbrace {{\partial x_{j}} \over {\partial x_{i}^{'}}} _{\alpha _{ij}}={{\partial f} \over {\partial x_{i}}}\left({\vec {k}}_{i}\underbrace {{\partial x_{j}} \over {\partial x_{i}^{'}}} _{\alpha _{ij}}\right)=\nabla f_{K}\alpha$

(5)

Udowodniona tożsamość (5) możemy przestawić w postaci zwartej wedle następującego sposobu:

$\nabla _{K^{'}}f=\nabla _{K}f\alpha \;$

(6)

Transformacje pochodnych względem układu współrzędnej dla funkcji uwikłanej

Macierz transformującą operator ∇ z jednego układu współrzędnych do drugiego przestawiamy wedle wzoru określonego w punkcie (6), ale tu przestawiając operatorowo:

$\nabla _{K^{'}}=\nabla _{K}\alpha \;$

(7)

Transformację macierzy drugich pochodnej względem układu współrzędnych, dla funkcji prostej

Macierz drugich pochodnych funkcji f przedstawiamy wedle następującego wzoru:

$D_{K'}f=\alpha ^{T}Df_{K'}\alpha \;$

(8)

• gdzie macierz Df jest to macierz drugich pochodnych funkcji f względem n argumentów jawnych jaki ona posiada, są to pochodne cząstkowe mieszane, ale drugiego rzędu:

$Df={\begin{bmatrix}{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{1}^{2}}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{{\partial ^{2}f} \over {\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

(9)

Aby udowodnić wzór (8) musimy wykorzystać twierdzenie napisane w punkcie (6), którego dowód wzoru ostatnio wspomnianego, który transformuje drugie pochodne z jednego układu współrzędnych do drugiego przeprowadzamy wedle następującego sposobu poniżej.

$Df_{K^{'}}=\nabla ^{T}\nabla f_{K^{'}}=(\nabla \alpha )^{T}\nabla f_{K}\alpha =\alpha ^{T}\nabla ^{T}\nabla f\alpha =\alpha ^{T}Df_{K}\alpha \;$

(10)

Transformację macierzy drugich pochodnej względem układu współrzędnych, dla funkcji uwikłanej

Wyznaczmy wyznacznik macierzy drugich pochodnych w układzie K' względem układu K mając pewną macierz transformacji, zatem możemy napisać wedle (Niedopasowany uchwyt: 2.27), zatem wtedy możemy napisać, że:

$|Df_{K^{'}}|=|\alpha ^{T}||Df_{K}||\alpha |=|\alpha |^{2}Df_{K}\;$

(11)

Wzór (9) możemy w bardziej wyrazistą postać wede sposobu:

$|Df_{K'}|=|\alpha |^{2}|Df_{K}|\;$

(12)

Ale trzeba pamiętać, że $Df_{K'}$ i $Df_{K}$ są wyznacznikami pochodnych n-rzędu, a dla funkcji uwikłanej jest z n-zmiennymi. Według wzoru (12) wyznacznik drugich pochodnych funkcji f w nowym układzie współrzędnych ma ten sam znak co wstarym układzie współrzędnych bo kwadrat wyznacznika |α| jest większy od zera. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja