Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Są to równania w których występują kolejne pochodne przynajmniej rzędu pierwszego.

Równania różniczkowe rzędu pierwszego

Są to pochodne w których występują pochodne tylko rzędu pierwszego.

Metoda rozdzielania zmiennych

Ogólnym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, który rozwiązuje się metodą rozdzielania zmiennych jest równaniem w postaci:

$p(y){{dy} \over {dx}}=q(x)\;$

(1)

Jeżeli p(y) jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu $y=y_{0}\;$, także $p(y_{0})\neq 0\;$,a q(x) jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu $x=x_{0}\;$,także przez każdy punkt$(x_{1},y_{1})\;$ w tym otoczenia, w również przez punkt $(x_{0},y_{0})\;$, przechodzi dokładnie co najwyżej jedna linia równania różniczkowego określona równaniem $y=f(x)\;$,także zachodzi,że funkcja $f(x)\;$ ma ciągłą pochodną.

Nasze równanie różniczkowe rzędu pierwszego (1) można przekształcić na postać jemu odpowiedzialną, gdzie w tej postaci występują różniczki dx i dy:

$p(y)dy=q(x)dx\;$

(2)

Zadziałajmy obie strony równania różniczkowego (2) całką nieokreśloną, wtedy dochodzimy do wniosku, że powinno być:

$\int p(y)dy=\int q(x)dx\;$

(3)

Widzimy, że lewa strona naszego równania jest zależna tylko od y a prawa tylko od x, a więc metoda rozdzielania zmiennych w tym przypadku zadziałała.

Równanie różniczkowe y'=f(ax+by+c)

Równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, która jest zależna od zmiennych x i y, a także od parametrów a,b,c i jest to równanie, w której występuje pochodna rzędu pierwszego funkcji y względem zmiennej x i w której to równaniu różniczkowym w funkcji f występuje funkcja liniowa zmiennej x i y, zatem ten nasz obiekt przestawia się według następującego wzoru:

${{dy} \over {dx}}=f(ax+by+c)\;$

(4)

Określmy funkcję u(x), zdefiniowaną w zależności od zmiennych x i y poniżej, która jest funkcją liniową zmiennych x i y, a także jest ona zależna od parametrów a,b,c oraz jest ona napisana w następujący sposób:

$u(x)=ax+by+c\;$

(5)

Różniczkujemy obie strony równania $u(x)\;$, względem x i stąd wyznaczymy pochodną cząstkową funkcji y względem zmiennej x, a także wykorzystują równanie różniczkowe (4) i po pomnożeniu przez b i dalej po przekształceniach i na samym końcu możemy odwrócić pochodną zupełną, zatem wtedy możemy napisać:

${{du} \over {dx}}=a+b{{dy} \over {dx}}\Rightarrow {{dy} \over {dx}}={{1} \over {b}}{{du} \over {dx}}-{{a} \over {b}}\Rightarrow {{1} \over {b}}{{du} \over {dx}}-{{a} \over {b}}=f(u)\Rightarrow {{du} \over {dx}}-a=bf(u)\Rightarrow {{du} \over {dx}}=bf(u)+a\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dx} \over {du}}={{1} \over {bf(u)+a}}\;$

(6)

W końcowym wzorze (6) możemy wyznaczyć różniczkę dx, która jest przyrównana do funkcji w zmiennych u, co potem możemy metodą zmiennych rozdzielonych przecałkować obie strony w postaci nieoznaczonej, co po zcałkowaniu jako końcowy wynik poniższych obliczeń:

$dx={{du} \over {bf(u)+a}}\Rightarrow \int dx=\int {{du} \over {bf(u)+a}}\Rightarrow x+C=\int {{du} \over {bf(u)+a}}\;$

(7)

Równania różniczkowe jednorodne względem y'=f(x/y)

Naszym równaniem różniczkowym jednorodnym teraz względem zmiennych x i y, które jest zależne od pochodnej pierwszego rzędu funkcji y względem zmiennej x , a także od funkcji f, którego argumentem jest iloraz zmiennej y względem zmiennej x i jest równanie typu:

${{dy} \over {dx}}=f\left({{y} \over {x}}\right)\;$

(8)

Określmy nową zmienną u w postaci poniżej, którego definicja jest taka, że jest to iloraz starej zmiennej y względem zmiennej x i z tak napisanej definicji wyznaczmy z niego starą zmienną y, która jest zależna od starej zmiennej x i od nowej zmiennej u, wtedy po tych przekształceniach dochodzimy do wniosku:

$u={{y} \over {x}}\Rightarrow y=xu\;$

(9)

Po zróżniczkowaniu względem x funkcję u(x,y) równania końcowego (9), a następnie wykorzystując wzór (8), dalej tak przenosimy wyrazy, by każda jego strona zależała od innej zmiennej, wtedy nasze różniczkowe równanie będzie nam później łatwo przecałkować obustronnie, tzn. by znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego (8), czyli możemy napisać, że:

${{du} \over {dx}}=u+x{{du} \over {dx}}\Rightarrow u+x{{du} \over {dx}}=f(u)\Rightarrow x{{du} \over {dx}}=f(u)-u\Rightarrow {{du} \over {f(u)-u}}={{dx} \over {x}}\;$

(10)

Niech funkcja f(u)-u jest zawsze nierówna zero, wtedy możemy przecałkować obie strony końcowego równania (10) w sposób nieoznaczony, tzn. biorąc całkę nieoznaczona po obu jego stronach, wtedy po zcałkowaniu przeprowadzając przez kolejne etapy obliczeń, wtedy otrzymujemy końcowe równanie uwikłane, które jest rozwiązaniem rozważanego równania różniczkowego:

$\int {{du} \over {f(u)-u}}=\int {{dx} \over {x}}\Rightarrow \int {{du} \over {f(u)-u}}=\ln x+C\;$

(11)

Równanie różniczkowe typu funkcji y'=f((a x+b y+c)/(d x+e y+f))

Następnym naszym rozważanym równaniem pierwszego rzędu jest równanie zależne od zmiennych x i y i od pochodnej zmiennej y względem zmiennej x i które jest zależne od parametrów a₁, b₁ i c₁ (licznik w argumencie funkcji f), a także od parametrów a₂, b₂, c₂ (mianownik w argumencie funkcji f), które przestawiamy wedle schematu:

${{dy} \over {dx}}=f\left({{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}} \over {a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}}\right)\;$

(12)

Rozwiążmy układ równań określonych przez dwa liniowe równania a₁x+b₁y+c₁=0 i a₂x+b₂=0, z stąd otrzymamy jedno parę rozwiązań i tylko jedną, co wynika z praw algebry, czyli rozwiązania x=α i y=β, zatem wtedy dochodzimy, że w funkcji zapisanych w tytule tego rozdziału jako argument, gdzie licznik i mianownik są wyrażeniami liniowymi, zatem wtedy możemy napisać, że zachodzi:

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=a_{1}(x-\alpha )+b_{1}(y-\beta )\;$ (13)

$a_{2}x+b_{2}y+c_{1}=a_{1}(x-\alpha )+b_{1}(y-\beta )\;$ (14)

Obierzmy nowe zmienne u zależne od zmiennej x i parametru α, też także na nową zmienną v zależną od parametru y i parametru β, czyli oba te zmienne przestawiamy wzorami poniżej, które tam nowe zmienne będą nam potrzebne do rozwiązania równania różniczkowego (12), które będzie nam później łatwo rozwiązać:

$u=x-\alpha \;$ (15)

$v=y-\beta \;$ (16)

Mając związki (15) (zmienna u) i (16) (zmienna v), i możemy napisać pochodną zmiennej z względem zmiennej x, używając definicji nowych zmiennych, to możemy napisać wtedy tożsamość przy stałych parametrach α i β i ostatecznie otrzymujemy, że pochodna zmiennej y względem zmiennej x jest równa pochodnej zmiennej v względem zmiennej u, co matematycznie piszemy wzorem:

${{dy} \over {dx}}={{d(v+\beta )} \over {d(u+\alpha )}}={{dv} \over {du}}\;$

(17)

Równanie różniczkowe (12) przy pomocy udowodnionej wcześniej tożsamości (17), możemy przestawić wspomniane równanie różniczkowe poniżej, i dochodzimy do wniosku, że równanie (12) przy wprowadzonych parametrach (15) i (16) piszemy równoważnie, którego wynik jest zapisano wcześniej występuje poniżej:

${{dv} \over {du}}=f\left({{a_{1}u+b_{1}v} \over {a_{2}u+b_{2}v}}\right)\;$

(18)

Równanie końcowe (18) jest równaniem typu (4), którego typ już poznaliśmy. bo zamiast zmiennych tutaj u i v, występują w równaniu w ostatnio wspomnianym rzędzie występują zmienne "x" i "y".

Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Nowym naszym równaniem różniczkowym jest równanie rzędu pierwszego zależne od pochodnej zmiennej y względem zmiennej x, i która jest zależna od funkcji p(x) i q(x) i to nasze rozważane równanie jest w postaci:

${{dy} \over {dx}}+p(x)y=q(x)$

(19)

Jeśli nasze funkcje p(x) i q(x) są ciągłe dla przedziału $a\leq x\leq b$, to przez każdy punkt $(x_{0},y_{0})$, taki że $a<x_{0}<b$, przechodzi dokładnie jedna linia $y=f(x)$, ale funkcja $y=f(x)$ jest ciągłą pochodną.

Jeśli $q(x)=0$, to nasze równanie nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym a w przeciwnym przypadku nazywamy równanie różniczkowym niejednorodnym.

Równanie różniczkowe liniowe jednorodne

Niech w równaniu różniczkowym (19) funkcja q(x) jest równa zero, wtedy mamy do czynienia z równaniem różniczkowym jednorodnym i w której występuje pierwsza pochodna zmiennej y względem zmiennej x, a także sama zmienna y, zatem otrzymujemy równanie różniczkowe jednorodne rzędu pierwszego:

${{dy} \over {dx}}+p(x)y=0$

(20)

Równanie różniczkowe (19) możemy przekształcić do postaci poniżej, z której otrzymamy równanie różniczkowe, którego rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych, tzn. na tak otrzymane równanie różniczkowe należy podziałać całką nieoznaczoną na obie jego strony i w ten sposób otrzymujemy równanie uwikłane w zmiennych x i y, które jest rozwiązaniem równania (20)

${{dy} \over {dx}}=-p(x)y\Rightarrow {{dy} \over {y}}=-p(x)dx\Rightarrow \int {{dy} \over {y}}=-\int p(x)dx$

(21)

Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne

Równanie różniczkowe (19), gdy ono nie jest równaniem jednorodnym, tzn. dla której funkcja q(x) jest nierówna zero i w której występuje pierwsza pochodna zmiennej y względem x, a także sama zmienna y, a ponadto jest tam funkcja p(x), która jest zależna od zmiennej x:

${{dy} \over {dx}}+p(x)y=q(x)$, gdzie $q(x)\neq 0$

(22)

Rozwiązaniem równania jednorodnego (20) jest funkcja B(x), wtedy zakładamy, że całkowitym rozwiązaniem naszego równania niejednorodnego jest funkcja, która jest iloczynem funkcji B(x) (która jest rozwiązaniem równania (19)), a także przez funkcję A(x), którą mamy zamiar wyznaczyć w toku dalszych obliczeń, zatem wtedy możemy napisać, że:

$y=A(x)B(x)\;$

(23)

Jeśli rozwiązaniem równania różniczkowego (23) podstawimy do równania różniczkowego (19), wtedy korzystając z definicji równania jednorodnego (20), którego rozwiązaniem jest funkcja B(x), zatem wtedy dochodzimy do następujących przekształceń:

${{dA(x)} \over {dx}}B(x)+A(x){{dB(x)} \over {dx}}+p(x)A(x)B(x)=q(x)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow A(x)\left[{{dB(x)} \over {dx}}+p(x)B(x)\right]+{{dA(x)} \over {dx}}B(x)=q(x)$

(24)

Jeśli skorzystamy, że B(x) jest rozwiązaniem równania różniczkowego (20), co powiedzieliśmy wcześniej, to wtedy (24) piszemy wedle bardzo prostego schematu, który jest napisany poniżej, co można w sposób bardzo trywialny można udowodnić takie przejście:

${{dA(x)} \over {dx}}B(x)=q(x)$

(25)

Co (25) jest równaniem o rozdzielonych zmiennych. Zatem znając funkcją A(x) wyznaczonej z równania (25) i funkcję B(x) wyznaczoną z równania (20), co w końcowych rozważaniach możemy napisać rozwiązanie (23).

Równania różniczkowe typu y'+ay=b exp(cx), gdzie a,b,c to stałe

Równanie różniczkowe (19), którego szczególny przypadek jest opisany wzorem poniżej i jest ona wyrażona przez pierwszą pochodną funkcji y względem zmiennej x, a także jest zapisana przy pomocy samej zmiennej y, a funkcją q(x) jest funkcją eksponecjalną, którego argumentem jest zmienna x:

${{dy} \over {dx}}+ay=be^{cx}\;$

(26)

Do równania (26) dokonajmy następującego podstawienia poniżej, która jest funkcją eksponecjalną o argumencie x i przed tą funkcją występuje stała n, którego schemat tego rozwiązania jest opisany wzorem:

$y_{1}=ne^{cx}\;$

(27)

Zatem po tym podstawieniu (27) do (26) i rozważeniu przypadku $mc-am-b\neq 0\;$ dochodzimy do następującego wniosku, co zapisujemy poniżej

$nce^{cx}+ane^{cx}=be^{cx}\Rightarrow e^{cx}(nc+an-b)=0\Rightarrow nc+an-b=0\Rightarrow n={{b} \over {c+a}}\;$

(28)

Natomiast, gdy mc-am-b=0, to (27) nie jest rozwiązaniem równania (26), wtedy do równania różniczkowego (26) musimy dokonać następującego podstawienia poniżej, który jest iloczynem funkcji eksponecjalnej i funkcji liniowej, tzn. pierwszego rzędu:

$y=(mx+n)e^{cx}\;$

(29)

Po podstawieniu (29) do równania (26), wtedy dochodzimy więc do wniosku, że następnie biorąc funkcję eksponencjalną $e^{cx}\;$ przed nawias i dalej dzieląc przez nią, wtedy idąc dalej gdy m=0, wtedy mamy przypadek (27), a gdy zachodzi warunek przeciwny, wtedy możemy napisać:

$me^{cx}+(mx+n)ce^{cx}+a(mx+n)e^{cx}=be^{cx}\Rightarrow e^{cx}(m+mcx+nc+amx+an-b)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow m+mcx+nc+amx+an-b=0\;$

(30)

We końcowym wzorze (30) musimy założyć, że c=-a, aby uniezależnić się od x w przypadku wspomnianej tożsamości, wtedy możemy wyznaczyć parametr m=b, a parametr n jest dowolny.

Równania rożniczkowe typu y'+ay=W_n(x), gdzie a jest liczbą,a W_n(x) jest wielomianem stopnia n

Rozważmy teraz równanie różniczkowe pierwszego rzędu (19), w którym występuje wielomian W_n(x) stopnia n-tego, który jest tutaj funkcją jakoby q(x). To nasze rozważane poniżej równanie rózniczkowe jest zależna od pierwszej pochodnej zmiennej y względem zmiennej x i samej zmiennej y

$y^{'}+ay=W_{n}(x)\;$

(31)

Obierzmy równanie różniczkowe, w której zmienna y jest wielomianem rzędu n-tego, czyli mamy y=W_n(x) i podstawmy to rozważane rozwiązanie do równania (31), wtedy możemy wyznaczyć wspomnianego współczynniki wielomianu n-tego stopnia.

Równanie różniczkowe typu y'+by=c sin ax+d cos ax

Określmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu (19), w której funkcja q(x) jest kombinacją funkcji trygonometrycznych, zapisanej przy pomocy współczynników c i d i to nasze szczególne równanie różniczkowego zapisujemy wedle sposobu poniżej:

$y'+by=c\sin ax+d\cos ax\;$

(32)

Postulujemy rozwiązanie równania różniczkowego (32) jako kombinacji dwóch podstawowych funkcji trygonometrycznych jako rozwiązanie szczególne wspomnianego równania różniczkowego:

$y_{1}=m\sin ax+n\cos ax\;$

(33)

Po podstawieniu (33) do równania różniczkowego (32), wtedy dochodzimy do wniosku, że następuje:

$ma\cos ax-na\sin ax+bm\sin ax+nb\cos ax=c\sin ax+d\cos ax\;$

(34)

Grupujemy teraz funkcje trygonometryczne w równaniu (34), wtedy możemy napisać, że:

$\sin(ax)(-na+bm-c)+\cos(ax)(ma+nb-d)=0\;$

(35)

Aby równanie różniczkowe (35) było tożsamościowo równe zero, wtedy musimy napisać, że następuje -na+bm-c=0, a następnie ma+nb-d=0 rozwiązując te nasze równanie otrzymujemy współczynniki m i n.

Równanie różniczkowe Bernoulliego

Rozważmy inne równanie różniczkowe zwane równaniem Bernoulliego zależne od pierwszej pochodnej zmiennej y względem x, a także od funkcji potęgowej zmiennej y o wykładniku n, również zawiera ona funkcje p(x) i q(x), które nie są funkcjami na ogół tożsamosciowo równe zero, co to równanie różniczkowe piszemy wedle sposobu:

${{dy} \over {dx}}+p(x)+q(x)y^{n}=0$

(36)

Aby rozwiązać równanie różniczkowe (36), czyli należy dokonać zamiany zmiennych, czyli musimy zdefiniować zmienną y poprzez zmienną z jako funkcję potęgową o wykładniku potęgi 1/(1-n), co to podstawienie zapisujemy wedle następującego sposobu:

$y^{1-n}=z\Rightarrow y=z^{{1} \over {1-n}}$

(37)

Następnym krokiem jest podstawienie podstawienia (37) do równania różniczkowego (36), wtedy możemy napisać:

${{1} \over {1-n}}z^{{{1} \over {1-n}}-1}+p(x)z^{{1} \over {1-n}}+q(x)z^{{{1} \over {n-1}}n}=0\Rightarrow {{1} \over {1-n}}z^{{1-1+n} \over {1-n}}+p(x)z^{{1} \over {1-n}}+q(x)z^{{{1} \over {n-1}}n}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{1} \over {1-n}}z^{{n} \over {1-n}}{{dz} \over {dx}}+p(x)z^{{1} \over {1-n}}+q(x)z^{{{1} \over {n-1}}n}=0$

(38)

Pomnóżmy teraz obie strony tożsamości końcowego równania (38) przez funkcję potęgową $z^{-{{n} \over {1-n}}}$, wtedy dochodzimy do równania różniczkowego zapisanej według wniosku:

${{1} \over {1-n}}{{dz} \over {dx}}+p(x)z+q(x)=0$

(39)

Równanie różniczkowe (39), które nam wyszło można rozwiązać metodą uziemiania stałej, czyli otrzymujemy równanie postaci (19) z równania (36), a potem mając funkcję z w zależności od zmiennej x, to na podstawie (37) możemy napisać co następuje, tzn. jakie jest rozwiązanie funkcji y względem zmiennej x.

Równanie różniczkowe Riccatiego

Rozważmy nowy typ równania różniczkowego pierwszego rzędu przy znajomości funkcji p(x), q(x) i r(x) oraz w którym występują pierwsze pochodne funkcji y względem x, a także kwadrat funkcji y, zatem co to owe równanie piszemy wedle wzoru:

${{dy} \over {dx}}=p(x)y^{2}+q(x)y+r(x)$

(40)

Jeśli znamy jedno szczególne rozwiązanie y₁(x), to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego (40) w zależności od zmiennej u jest rozwiązaniem w postaci następującego wzoru:

$y=y_{1}(x)+{{1} \over {u}}$

(41)

Rozwiązanie (41) rozważonego równania różniczkowego (40) podstawiamy do ostatnio wspomnianego obiektu, wtedy dochodzimy do wniosku:

${{dy_{1}(x)} \over {dx}}-{{1} \over {u^{2}}}{{du} \over {dx}}=p(x)(y_{1}(x)+{{1} \over {u}})^{2}+q(x)(y_{1}(x)+{{1} \over {u}})+r(x)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dy_{1}} \over {dx}}-{{1} \over {u^{2}}}{{du} \over {dx}}=p(x)y_{1}^{2}(x)+p(x){{1} \over {u^{2}}}+2{{p(x)y_{1}(x)} \over {u}}+q(x)y_{1}(x)+{{q(x)} \over {u}}+r(x)$

(42)

Następnym krokiem jest przegrupowanie wyrazów (42), zatem teraz dochodzimy do następującej tożsamości:

${{dy_{1}} \over {dx}}-p(x)y_{1}^{2}(x)-q(x)y_{1}(x)-r(x)={{1} \over {u^{2}}}{{du} \over {dx}}+p(x){{1} \over {u^{2}}}+2{{p(x)y_{1}(x)} \over {u}}+{{q(x)} \over {u}}$

(43)

Jeśli y₁(x) jest szczególnym przypadkiem rozwiązania naszego równania różniczkowego (40), wtedy dla szczególnego rozwiązania równania y₁ możemy napisać:

${{dy_{1}} \over {dx}}-p(x)y_{1}^{2}(x)-q(x)y_{1}(x)-r(x)=0$

(44)

Po uwzględnieniu (44), które jest jakoby tożsamością po podstawieniu rozwiązania szczególnego y₁ do (40), która ta tożsamość jest równa zero, wtedy końcowe równanie (43) po zapisaniu naszego wniosku o wspomnianej tożsamości, wtedy (43) piszemy sposobem:

${{1} \over {u^{2}}}{{du} \over {dx}}+p(x){{1} \over {u^{2}}}+2{{p(x)y_{1}(x)} \over {u}}+{{q(x)} \over {u}}=0$

(45)

Tożsamość (45) pomnóżmy przez u², gdzie ta zmienna u jest funkcją zawsze niezerową, bo w (45) występuje odwrotność funkcji u, zatem wtedy możemy napisać wynik końcowy:

${{du} \over {dx}}+p(x)+2p(x)y_{1}(x)u+q(x)u=0\Rightarrow {{du} \over {dx}}+(2p(x)y_{1}(x)+q(x))u=-p(x)$

(46)

Równanie różniczkowe (46) jest równaniem typu (19), które jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, którego jak rozwiązać rozpatrywaliśmy wcześniej.

Równanie różniczkowe Clairauta

Przejdźmy do następnego typu równania różniczkowego zwanego równaniem różniczkowym Clairauta, ale pierwszego rzędu, która jest zależna od pierwszej pochodnej zmiennej y względem zmiennej x, a także od zmiennej x i y:

$y=xy^{'}+f(y^{'})\;$

(47)

Aby rozwiązać powyższe równanie, należy zróżniczkować rozważane równanie względem x i dalej wyłączając przed nawias y, wtedy można napisać:

$y^{'}=y^{'}+xy^{''}+f^{'}(y^{'})y^{''}\Rightarrow 0=xy^{''}+f^{'}(y^{'})y^{''}\Rightarrow 0=y^{''}(x+f^{'}(y^{'}))\;$

(48)

Końcowo rozważany wynik (48) jest równy zero, zatem z zasady alternatywy równań otrzymujemy, że poszczególne jej czynniki mogą być równe zero każda z osobna, ale nie jednocześnie, zatem otrzymujemy dwa równania rózniczkowe. Pierwsze zależne od drugiej pochodnej zmiennej y względem zmiennej x, a drugie od pierwszej pochodnej zmiennej y względem zmiennej x i zmiennej x, czyli ta alternatywa równań przestawia się następującymi wzorami:

$y^{''}=0\;$ (49)

$x+f^{'}(y^{'})=0\;$ (50)

Z pierwszego rozwiązania (49) otrzymujemy, że y'=C i podstawione do równania różniczkowego (47), wtedy dostajemy, że funkcja y jest napisana bardzo prostym wzorem w postaci:

$y^{'}=C\Rightarrow y=Cx+f(C)\;$

(51)

Drugie rozwiązaniem równania (47), czyli (50) jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, którego można łatwo rozwiązać.

Równanie różniczkowe Lagrange'a-D'Alemberta

Następnym równaniem rózniczkowym zwanym równaniem rózniczkowym Lagrange'a-D'Alemberta jest równaniem zależnym od pierwszej pochodnej zmiennej y względem zmiennej x, a także od zmiennej y i x, a także jest zależna od funkcji g i f.

$y=xf(y^{'})+g(y^{'})\;$

(52)

Zróżniczkujmy obie strony równanie (52) względem zmiennej x, korzystając przy tym z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy możemy napisać:

$y^{'}=f(y^{'})+xf^{'}(y^{'})y^{''}+g^{'}(y^{'})y^{''}\;$

(53)

Obierzmy nową zmienną p, dzięki której możemy napisać, że następuje $_{y^{'}=p}\;$, a także $_{y^{''}={{dp} \over {dx}}}\;$, a zatem (53) wtedy można napisać w postaci:

$p=f(p)+xf^{'}(p){{dp} \over {dx}}+g^{'}(p){{dp} \over {dx}}\Rightarrow p-f(p)={{dp} \over {dx}}(xf^{'}(p)+g^{'}(p))\Rightarrow {{dp} \over {dx}}={{p-f(p)} \over {xf^{'}(p)+g^{'}(p)}}\;$

(54)

Końcowe równanie wynikowe (54) jest to równaniem różniczkowym rzędu pierwszego, którego możemy łatwo rozwiązać z metody zmiennych rozdzielonych.

Równanie różniczkowe zupełne

Rozważmy teraz równanie różniczkowe zupełne, którego postać jest napisana wedle schematu poniżej i która jest zależna od funkcji P(x,y) i Q(x,y) i oczywiście zawiera pierwszą pochodną funkcji y względem zmiennej x, i które jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu:

$P(x,y)+Q(x,y){{dy} \over {dx}}=0$

(55)

Jeśli nasze równanie ma być zupełne to musi być spełniony na pewno warunek, która jest opisana za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji P(x,y) i Q(x,y), tzn. pochodna cząstkowa funkcji P(x,y) względem zmiennej y równa jest pochodnej cząstkowej funkcji Q(x,y) względem zmiennej x, zatem:

${{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}={{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}$

(56)

Jeśli zachodzi warunek na zupełność (56) dla równania zupełnego różniczkowego (55), to wtedy pochodna różniczkowa naszej funkcji F(x,y) względem zmiennej x jest równa funkcji P(x,y), a także pochodna cząstkowa tej samej funkcji względem zmiennej y jest równna Q(x,y), to powinno zachodzić:

${{\partial F(x,y)} \over {\partial x}}=P(x,y)$ (57)

${{\partial F(x,y)} \over {\partial y}}=Q(x,y)$ (58)

A zatem na podstawie tożsamości (57) i tożsamości (58), wtedy piszemy równanie (55) troszeczkę w inne postaci, ale równoważnej:

$0=P(x,y)dx+Q(x,y)dy={{\partial F(x,y)} \over {\partial x}}dx+{{\partial F(x,y)} \over {\partial y}}dy=dF(x,y)\Rightarrow F(x,y)=C$

(59)

Czynnik całkujący

Mamy równanie różniczkowe w postaci (55), i załóżmy, że nie spełnione jest równanie na zupełność wspomnianego równania różniczkowego (56),tzn. pochodna cząstkowa funkcji P(x,y) względem zmiennej y nie jest równa pochodnej cząstkowej funkcji Q(x,y) względem zmiennej x, zatem wtedy pomnóżmy nasze rozważane równanie różniczkowe przez czynnik całkujący μ(x,y), wtedy przechodzimy do następującego równania różniczkowego pierwszego rzędu:

$\mu (x,y)P(x,y)+\mu (x,y)Q(x,y){{dy} \over {dx}}=0$

(60)

Aby równanie (60) było równaniem różniczkowym zupełnym, wtedy na podstawie równości na zupełność (56), tzn. pochodna cząstkowa funkcji μ(x,y)P(x,y) względem zmiennej y równa jest pochodnej cząstkowej funkcji μ(x,y)Q(x,y) względem zmiennej x, zatem wtedy dochodzimy do wniosku, że:

${{\partial (\mu (x,y)P(x,y))} \over {\partial y}}={{\partial (\mu (x,y)Q(x,y))} \over {\partial x}}$

(61)

Wyznaczmy później w późniejszych rozważaniach ten współczynnik μ(x,y), by owe to równanie różniczkowe (60) dało się rozwiązać jako równanie tym razem zupełne.

Przykłady czynników całkujących

W równaniu (61) możemy dokonać pewnych różniczkować, korzystając z twierdzenia o pochodnych iloczynu, zatem stosując to twierdzenie dochodzimy do wsniosku:

$\mu (x,y){{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}+P(x,y){{\partial \mu (x,y)} \over {\partial y}}=\mu (x,y){{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}+Q(x,y){{\partial \mu (x,y)} \over {\partial x}}$

(62)

Jeśli μ(x,y) zależy tylko od zmiennej x, to nazwijmy ją jako μ(x)=μ(x,y), wtedy ona nie zależy od zmiennej y, czyli jego pochodna cząstkowa względem y jest równa zero, wtedy (62) można zapisać w następującej postaci:

$\mu (x,y){{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}=\mu (x,y){{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}+Q(x,y){{\partial \mu (x,y)} \over {\partial x}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \mu (x)\left({{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}-{{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}\right)=Q(x,y){{\partial \mu (x)} \over {\partial x}}$

(63)

Z końcowego równania (63) wyznaczmy czynnik całkujący μ(x), wtedy dochodzimy do wniosku poniżej:

$\mu (x)=e^{\int {{1} \over {Q(x,y)}}\left({{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}-{{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}\right)dx}$

(64)

Powyższy wzór można stosować, jeśli funkcja $_{{{1} \over {Q(x,y)}}\left({{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}-{{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}\right)}\;$ jest zależna tylko od zmiennej x (iksowej). W równaniu (62) załóżmy, że czynnik całkujący μ(x,y) jest zależny tylko od zmiennej y, wtedy pochodna cząstkowa wspomnianego czynnika całkującego jest równa zero względem zmiennej x, zatem równanie (62) przechodzi w równość różniczkową:

$\mu (y){{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}+P(x,y){{\partial \mu (y)} \over {\partial y}}=\mu (y){{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \mu (y)\left({{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}-{{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}\right)=-P(x,y){{\partial \mu (y)} \over {\partial y}}$

(65)

I ostatecznie z końcowego równania wynikowego (65), co można bardzo łatwo udowodnić wyznaczając funkcję μ(x), wtedy dochodzimy do motywu:

$\mu (y)=e^{\int {{1} \over {P(x,y)}}\left({{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}-{{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}\right)dy}$

(66)

Powyższy wzór można stosować, jeśli funkcja $_{{{1} \over {P(x,y)}}\left({{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}}-{{\partial P(x,y)} \over {\partial y}}\right)}$ jest zależna tylko od y (igreka).

Równanie różniczkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego sprowadzane do równań rzędu pierwszego

Są to równania które można przekształcić z rzędu drugiego w rząd pierwszy za pomocą ściśle określonych podstawień.

Równania różniczkowe typu 0=F(x,y',y'')

Mamy oto równanie różniczkowe drugiego rzędu w której występują pierwsze i drugie pochodne cząstkowe zmiennej y, a także zmienna x, którego schemat naszego równania różniczkowego w postaci funkcji uwikłanej wiążący te wspomniane składniki przestawiamy wzorem:

$F(x,y^{'},y^{''})=0\;$

(67)

Dokonajmy podstawienia wedle idei p(x)=y', czyli w której pierwsza pochodna funkcji y względem zmiennej x jest równa funkcji p(x), do równania (67), wtedy możemy dojść do wniosku, że następuje:

$F(x,p(x),p^{'}(x))=0\;$

(68)

Doprowadziliśmy nasze równanie różniczkowe drugiego typu (67) do równania różniczkowego rzędu pierwszego, którego typ jak mamy rozwiązać poznaliśmy wcześniej.

Równania różniczkowe jednorodne typu 0=F(y,y',y'')

Naszym równaniem różniczkowym uwikłanym, w której występują zmienna y i pierwsza i druga pochodna zmiennej y względem zmiennej x, wtedy to nasze równanie piszemy wedle sposobu:

$F(y,y^{'},y^{''})=0\;$

(69)

Obierzmy podstawienie wedle schematu y'=u(y), czyli pierwsza pochodna funkcji y względem zmiennej x jest równa funkcji u(y) do równanie (69). Teraz zróżniczkujmy względem x nasze ostatnio wspomniane podstawienie i wykorzystując jeszcze raz to podstawienie dochodzimy do wniosku:

$y^{''}={{du(y)} \over {dx}}={{du(y)} \over {dy}}{{dy} \over {dx}}={{du(y)} \over {dy}}u(y)\;$

(70)

Po wykorzystaniu podstawienia za pierwszą i drugą pochodną funkcji y, gdzie tym ostatnim jest (70), do równania (69), wtedy to owe równanie różniczkowe przyjmuje postać:

$F(y,u(y),u(y),u^{'}(y)u(y))=0\;$

(71)

Doszliśmy, że z równania różniczkowego (69) doszliśmy do równania różniczkowego (71), co jest równaniem różniczkowym rzędu pierwszego, które da się rozwiązać stosując metody dla tego typu równań różniczkowych.

Równanie różniczkowe jednorodne względem y,y',y''

Inną metodą rozwiązywania równania różniczkowego (69), gdy do tego ostatniego równania dokonamy podstawienia, która jest funkcją eksponecjalną, którego wykładnikiem jest funkcja u(x).

$y=e^{u(x)}\;$

(72)

Pierwsza pochodna równania (72) jest zapisana wzorem zależnym od funkcji u(x), która jest liczona przy pomocy twierdzenia dotyczące funkcji złożonej:

$y^{'}=e^{u}u^{'}\;$

(73)

Druga pochodna (72), czyli pierwsza pochodna (73) jest zapisana wzorem poniżej przy liczeniu korzystaliśmy z takiego samego twierdzenia co powyżej, ale dotyczące pochodnych:

$y^{''}=e^{u}{u^{''}}^{2}e^{u}u^{''}=e^{u}({u^{'}}^{2}+u^{''})$

(74)

Pierwszą (73) i drugą pochodną (74) oraz samą wartość funkcji (72) podstawimy do naszego rozważanego równania rzędu drugiego i do pierwszej i drugiej pochodnej:$y^{'}$ i $y^{''}$ dokonamy podstawienia, którego schemat jest zapisany wzorem $p=u^{'}$ i jednocześnie skrócimy przez $e^{u}$ w naszym równaniu różniczkowym, i jeśli da się to zrobić, to w naszym równaniu różniczkowym (69), to otrzymamy równanie pierwszego rzędu, które jest dla nasz bardzo łatwo rozwiązać.

Równanie różniczkowe liniowe o współczynnikach stałych

Są to równania różniczkowe w których występują pochodne co najwyżej rzędu drugiego wraz z pewnymi parametrami stojące przy tych wspomnianych pochodnych.

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu

Równanie różniczkowe Eulera rzędu drugiego o współczynnikach stałych nazywamy równanie różniczkowe poniżej, która jest zależna od pierwszej i drugiej pochodnej funkcji y względem zmiennej x, a także jest zależna od parametrów a,b,c, a także od funkcji f(x), która na ogół tożsamościowo jest nie równa zero.

$a{{d^{2}y} \over {dx^{2}}}+b{{dy} \over {dx}}+c=f(x)$

(75)

Równanie różniczkowe jednorodne liniowe drugie rzędu

Równaniem różniczkowym jednorodnym do równania różniczkowego ogólnie niejednorodnego (75) jest równaniem zależnym od pierwszej i drugiej pochodnej zmiennej y względem zmiennych x i jest ona zależne od parametrów "a", "b" i od "c" i jest ona równaniem jednorodnym i jest zapisana wedle sposobu:

$a{{d^{2}y} \over {dx^{2}}}+b{{dy} \over {dx}}+cy=0\;$

(76)

Do równania różniczkowego (76) dokonajmy podstawienia za zerową, pierwszą i drugą pochodną występujące w trzech równaniach, w którym zerowa pochodcna, czyli sama zmienna y jest równa funkcji eksponecjalnej zależna od argumentu x i jest zapisana poniżej:

$y=e^{rx}\;$ (77)

$y^{'}=re^{rx}\;$ (78)

$y^{''}=r^{2}e^{rx}\;$ (79)

Wartość funkcji (77) i pochodną rzędu pierwszego (78) i drugiego (79) podstawiamy do równania różniczkowego rzędu drugiego jednorodnego (76) i potem dzielimy obie strony równania różniczkowego przez e^rx, wtedy dochodzimy do równania kwadratowego, z którego będziemy wyznaczać parametr r, który będzie nam potrzebny w toku dalszych obliczeń:

$ar^{2}e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0\Rightarrow ar^{2}+br+c=0\;$

(80)

Teraz mamy równanie kwadratowe, z którego możemy wyznaczyć dwa pierwiastki rzeczywiste. Jeśli te dwa pierwiastki są różne, to rozwiązaniem naszego równanie różniczkowego jednorodnego (76) jest funkcja y zależna w sposób specyficzny od argumentu x:

$y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\;$

(81)

Jeśli dwa pierwiastki są równe liczbą zespolonym, to wtedy rozwiązanie (81) jest nadal słuszne, tzn. także dla liczb zespolonych, wtedy nasze dwa pierwiastki można je zapisać wedle dwóch wzorów poniżej, które są zależne od parametrów α i β:

$r_{1}=\alpha +\beta i\;$ (82)

$r_{2}=\alpha -\beta i\;$ (83)

Podstawiając dwa pierwiastki zespolone (82) i (83) do (81), wtedy dochodzimy do wniosku, że funkcja y jest zależna od funkcji trygonometrycznych cos i sin i jest wprost proporcjonalna do funkcji eksponecjalnej, którego argumentem jest iloczyn stałej α i argumentu x:

$y=C_{1}e^{\alpha x+\beta ix}+C_{2}e^{\alpha -i\beta }=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)\;$

(84)

Jeśli dwa pierwiastki są takie same, które są rozwiązaniem równania kwadratowego (81), to wtedy mamy:

$y=(C_{1}x+C_{2})e^{rx}\;$

(85)

Policzmy kolejne dwie pochodne funkcji y, która jest zależna od argumentu x, czyli jest to funkcja (85), tzn. pierwszą i drugą pochodną wspomnianej funkcji, wtedy po obliczeniach dochodzimy do wniosku:

$y^{'}=C_{1}e^{rx}+(C_{1}x+C_{2})re^{rx}\;$ (86)

$y^{''}=C_{1}re^{rx}+C_{1}re^{rx}+(C_{1}x+C_{2})r^{2}e^{rx}=\;$ $=(C_{1}x+C_{2})r^{2}e^{rx}+2C_{1}re^{rx}\;$ (87)

Wzór na wartość funkcji y (85) i wzór na pierwszą (86) i drugą pochodną funkcji y (87) podstawiamy do wzoru (76), którego jest równaniem drugiego rzędu, wtedy dokonując tej operacji możemy napisać:

$a[(C_{1}x+C_{2})r^{2}e^{rx}+2C_{1}re^{rx}]+b[C_{1}e^{rx}+(C_{1}x+C_{2})re^{rx}]+c(C_{1}x+C_{2})e^{rx}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow xC_{1}(ar^{2}+br+c)e^{rx}+C_{2}(ar^{2}+br+c)e^{rx}+C_{1}(2ar+b)=0\;$

(88)

Ale zachodzi równanie wynikowe końcowe (80), zatem wykorzystując tą tożsamość w równaniu (88), zatem powinien zachodzić warunek, że:

$2ar+b=0\Rightarrow r=-{{b} \over {2a}}\;$

(89)

Wyliczony parametr (89) możemy wstawić do równania na funkcję y (85), która jest zależna od argumentu x i która jest rozwiązaniem dla specyficznych parametrów a,b,c.

Równanie różniczkowe Eulera

Równaniem różniczkowym rzędu drugiego niejednorodne jest w postaci, w którym mamy $_{f(x)\neq 0}\;$ i jest jak wiadomo jest zależna od pierwszej i drugiej pochodnej zmiennej y względem parametru x, a także zależy od parametru x, i to równanie jest napisane wedle wzoru:

$ax^{2}y^{''}+bxy^{'}+cy=f(x)\;$

(90)

Równaniem różniczkowym Eulera jednorodne

Jednorodnym równaniem różniczkowym Eulera w której występują pochodne rzędu drugiego, pierwszego i zerowego rzędu, a także zależna od zmiennej y i argumentu x, a także jest zależna od parametrów a,b,c i jest ona przedstawiana w następującej postaci:

$ax^{2}y^{''}+bxy^{'}+cy=0\;$

(91)

Weźmy podstawienie dla funkcji y jako funkcję potęgową zmiennej x o wykładniku potęgi, tj. r oraz policzmy jego pierwszą i drugą pochodną:

$y=x^{r}\;$ (92)

$y^{'}=rax^{r-1}\;$ (93)

$y^{''}=r(r-1)x^{r-2}\;$ (94)

Po podstawieniu (92), (93) i (94) do równania Eulera jednorodnego (91) i stąd po podzieleniu przez x^r, wtedy otrzymujemy końcowe równanie algebraiczne, którego zmienną jest parametr r występujący w rozwiązaniu {(92), którego te etapy obliczeń przedstawiamy wedle sposobu:

$ax^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrax^{r-1}+cx^{r}=0\Rightarrow ar(r-1)+br+c=0\;$

(95)

Jego rozwiązaniem, są dla dwóch argumentów różnych od siebie, dla równania (91), który przestawia się następującym wzorem poniżej, która jest kombinacją funkcji potęgowych zmiennych x, którego wykładnikami są parametry r₁ i r₂, które one muszą się od siebie różnić:

$y=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}\;$

(96)

Gdy r₁ i r₂ są liczbami zespolonymi, które są zapisane przy pomocy stałych α i β, to wtedy możemy napisać, że:

$r_{1}=\alpha -\beta i\;$ (97)

$r_{2}=\alpha +\beta i\;$ (98)

W przypadku rozważanym powyżej, gdy (95) ma rozwiązania zespolone, czyli stosujemy wzory (97) i (98) do rozwiązania y, czyli (96), który jest rozwiązaniem równania różniczkowego (91) (równanie Eulera), wtedy dochodzimy do wniosku:

$y=C_{1}x^{\alpha -\beta i}+C_{2}x^{\alpha +\beta i}=x^{\alpha }(C_{1}x^{-i\beta }+C_{2}x^{i\beta })=\;$
$=x^{\alpha }(C_{1}e^{-i\beta \ln x}+C_{2}e^{i\beta \ln x})=x^{\alpha }(A\cos(\beta \ln(x))+B\sin(\beta \ln(x)))\;$

(99)

Gdy oba pierwiastki są równe sobie, czyli parametry r₁ i r₂, zatem oznaczmy je przez oznaczenie r, wtedy rozwiązanie równania różniczkowego Eulera (91) jest w postaci następującego wniosku:

$y=C_{1}x^{r}+C_{2}x^{r}\ln(x)\;$

(100)

Wyznaczmy pierwszą pochodną funkcji y zależnej od zmiennej x względem zmiennej x, wtedy mamy:

$y^{'}=C_{1}rx^{r-1}+C_{2}rx^{r-1}\ln(x)+C_{2}x^{r-1}=(C_{1}r+C_{2}r\ln(x)+C_{2})x^{r-1}\;$

(101)

Wyznaczmy pierwszą pochodną funkcji y zależnej od zmiennej x względem zmiennej x, wtedy mamy:

$y^{''}=(C_{1}r+C_{2}r\ln(x)+C_{2})(r-1)x^{r-1}+C_{2}rx^{r-2}\;$

(102)

Podstawmy ostatnio policzone pochodne, czyli wzór na pierwszą pochodną (101) i za drugą pochodną (102) i wzór na wartość funkcji (100) do równania różniczkowego jednorodnego Eulera, i następnie dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez funkcję potęgową x^r, wtedy powinno być:

$ax^{2}[(C_{1}r+C_{2}r\ln(x)+C_{2})(r-1)x^{r-2}+C_{2}rx^{r-2}]+bx[(C_{1}r+C_{2}r\ln(x)+C_{2})x^{r-1}]+\;$
$+c[C_{1}x^{r}+C_{2}x^{r}\ln(x)]x^{r}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow C_{1}[ar(r-1)+br+c]+C_{2}[ar(r-1)+br+c]\ln(x)+C_{2}[a(r-1)+ar+b]=0\;$

(103)

Mając końcowe równanie (95) i aby równanie końcowe (103) było tożsamościowo równe zero, wtedy powinno zachodzić na pewno:

$ar-a+ar+b=0\Rightarrow 2ar-a+b=0\Rightarrow r=-{{b-a} \over {2a}}$

(104)

We wzorze (100), która jest rozwiązaniem równania (91) występuje takie r, które jest określone przez końcowy wzór wynikowy (104). Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja