Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Analiza matematyczna/Rozmaitości liniowe i ich właściwości

Definicja prostej, płaszczyzny n-wymiarowej

Przykład prostej w przestrzeni 2-wymiarowej

Równaniem prostej w postaci kanonicznej jest to równanie przedstawione wedle następującego sposobu:

$y=ax+b\;$

(1)

• gdzie: y to wartość funkcji, a x to argument funkcji liniowej, a "a" to współczynnik kierunkowy prostej, a "b" to przesunięcie prostej, która przecina początek układu współrzędnych w kierunku osi igrekowej.

Równaniem prostej w postaci ogólnej dla prostej w przestrzeni dwuwymiarowej nazywamy równaniem, które jest zapisane wedle następującego sposobu:

$0=Ax+By+C\;$

(2)

• gdzie współczynniki $A,B,C\in R\;$ oraz zmienne w równaniu ogólnym płaszczyzny opisanej powyższym równaniem$x,y\in R\;$.

Gdy $B\neq 0$, wtedy z równania (2) możemy wyznaczyć zmienną y jako wartość pewnej funkcji w zależności od argumentu funkcji w następujący sposób;

$y=-{{A} \over {B}}x-{{C} \over {B}}$

(3)

Jeśli porównamy równania (1) z równaniem (3) możemy dojść do wniosku, że współczynnik kierunkowy prostej jest opisany wzorem$_{a=-{{A} \over {B}}}$ a współczynnik przesunięcia prostej od poczadku układu współrzędnych prostej ma się jako$_{b=-{{C} \over {B}}}$.

Gdy $B=0$, to wtedy możemy zapisać $0=Ax+C$,oraz gdy $A\neq 0$,to wtedy możemy dojść do wniosku, że następuje $_{x=-{{C} \over {A}}}$, czyli wspomniane równanie opisuje prostę prostopadłą do osi OX. Gdy dodatkowo $A=0$ i $C\neq 0$ to mamy równanie sprzeczne, ale gdy $C=0$,równaniem jest cała przestrzeń dwumiarowa.

Możemy tez mieć $A=0$ to mamy: $_{y=-{{C} \over {B}}}$, to równaniem prostej jest linia równoległa do osi OX, prostopadła do osi OY i przechodząca przez punkt $_{y=-{{C} \over {B}}}$.

Definicją płaszczyzny w n-wymiarowej przestrzeni w postaci ogólnej jest równanie napisane wedle schematu:

$0=\sum _{r=0}^{n}A_{r}x_{r}+B=0$

(4)

Lub jeszcze bardziej ogólniej, gdy mamy n wektorów niezależnych liniowo od siebie, to równaniem płaszczyzny n-wymiarowej przestrzeni zapisanej na macierzach jest przestawiona wzorem:

$Y=AX+C\;$

(5)

• gdzie A jest to macierz składająca się z wektorów liniowo niezależnych od siebie, a X jest to wektor pionowy składający się dowolnych wartości takie, że zachodzi$X\in R^{n}\;$ jako macierzowy argument funkcji,a $Y\in R^{n}\;$ jako macierzowa wartość funkcji.

Jeśli mamy równanie prostej w postaci kierunkowej (1), ale dla pewnego argumentu i wartości funkcji $y_{2}=ax_{2}+b\;$ oraz drugie równanie dla innego argumentu i wartości funkcji $y_{1}=ax_{1}+b\;$, to odejmując oba te równania dostajemy wzór na współczynnik kierunkowy prostej, które jest opisane równaniem:

$a={{y_{2}-y_{1}} \over {x_{2}-x_{1}}}$

(6)

Przedstawmy dwie równe implementacje współczynnika "a' używając zmiennej x i y i ściśle określonego punktu (x₁,y₁) i (x₂,y₂), a więc wtedy możemy zapisać jako:

${{y_{2}-y_{1}} \over {x_{2}-x_{1}}}={{y-y_{1}} \over {x-x_{1}}}\Rightarrow (y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=(y-y_{1})(x_{2}-x_{1})\;$

(7)

Jeśli określimy m=a jako nowe oznaczenie współczynnika kierunkowego, to wtedy dochodzimy do wniosku, że ona jest równa ilorazowi różnicy zmiennej y i y₁ przez różnicę zmiennej x i x₁.

$m={{y-y_{1}} \over {x-x_{1}}}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 7.8)

Wtedy równanie (7) używając wyliczonego współczynnika m i punktu (x₁,y₁), to wtedy możemy zapisać w postaci równania poniżej mając na myśli, że w końcowym etapie będziemy mieli równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie:

$y=m(x-x_{1})+y_{1}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 7.8)

Możemy zauważyć, że prosta jest nachylona pod kątem α określonym przez $\operatorname {tg} \alpha =m=a$, oczywiście do prostej OX.

Odległość punktu od płaszczyzny n-wymiarowej w przestrzeni r-wymiarowej

Przykład odległości punktu od prostej

Ogólne równanie płaszczyzny w n-wymiarowej przestrzeni, w której występują współczynniki A_i i zmienne x_i, które są współrzędnymi w omawianym układzie współrzędnym, zatem nasze równanie hiperprzestrzeni piszemy według wzoru, który następuje:

$0=\sum _{i=1}^{n}A_{i}x_{i}+B=0$

(10)

Wektorem prostopadłym do naszej hiperpłaszczyzny opisywanej wzorem (10) przedstawiamy według następującego wzoru poniżej, który jest zależny od współczynników A_i:

${\vec {U}}=[A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{i-1},A_{i},A_{i+1},..,A_{n}]$

(11)

Można udowodnić, że wektory zapisane poniżej rozpinają naszą hiperprzestrzeń i współrzędne tego wektora są oprócz współrzędnej i-tej i n-tej przedstawiona są następującym wzorem, który jak jest wektorem poziomym. Można udowodnić, że wektory zapisane tuż poniżej rozpinają całą przestrzeń opisanej wzorem (10).

$_{{\vec {u_{i}}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1_{i}\\0\\\vdots \\-{{A_{i}} \over {A_{n}}}\end{bmatrix}}}$

(12)

Wiemy jednak, po przekształceniu równania ogólnego płaszczyzny (10), oraz zakładając, że współczynnik A_n jest nierówny zero, wtedy można zapisać, że spełniony jest następujący wzór:

$x_{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}{{A_{i}} \over {A_{n}}}x_{i}-{{B} \over {A_{n}}}$

(13)

Weźmy wektor X, którego składowe są współrzędnymi dowolnego punktu w n-wymiarowym układzie współrzędnym, wtedy ten obiekt jest wyrażony według następującego schematu.

$X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\cdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{bmatrix}}$

(14)

Równanie (13) możemy przedstawić w postaci macierzowej używając wektora argumentów (14), którego współrzędne określają ściśle określony punkt i wektora współczynników (12), które rozpinają hiperprzestrzeń w n-wymiarowym układzie współrzędnych jak udowodniliśmy poniżej.

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\cdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}{\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1_{i}\\0\\\vdots \\-{{A_{i}} \over {A_{n}}}\end{bmatrix}}-{{B} \over {A_{n}}}{\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}$

(15)

W ten sposób udowodniliśmy na podstawie (15), że wektor pionowy n-wymiarowy (12) rozpina pewną hiperpłaszczyznę w n-wymiarowym układzie współrzędnych. Udowodnijmy że kombinacja liniowa${\vec {u_{i}^{'}}}$ opisanej wzorem (12), jest prostopadła do wektora ${\vec {U}}\;$ opisanej wzorem (11), zatem możemy powiedzieć:

$[A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}](\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}{\vec {u}}_{i})=\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\left([A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}]{\vec {u}}_{i}\right)=\;$
$=\left[\left(A_{1}-A_{n}{{A_{1}} \over {A_{n}}}\right)x_{1}+\left(A_{2}-A_{n}{{A_{2}} \over {A_{n}}}\right)x_{2}+\cdots +\left({A_{n-1}}-A_{n}{{A_{n-1}} \over {A_{n}}}\right)x_{n-1}\right]=0\;$

(16)

A teraz określmy odległość pewnego punktu w n-wymiarowej przestrzeni od hiperpłaszczyzny n-wymiarowej. Wiedząc ,że x_p, to są współrzędne naszego punktu. a x₀, to są punkty na naszej płaszczyźnie:

Wiadomo,że:

$d={|{[A_{1},A_{2},...,A_{n}](x_{p1}-x_{01},x_{p2}-x_{02},\cdots ,x_{pn}-x_{0n})|} \over {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}}}}$

(17)

Stąd po przekształceniach według definicji iloczynu skalarnego bo w (17) występuje iloczyn skalarny, oraz wiedząc, że współczynnik B jest zapisany wzorem$_{B=-\sum _{i=1}^{n}A_{i}x_{0i}}$ według wzoru wyprowadzonego (10), otrzymujemy, że wzór na odległość pewnego punktu x_pi od hiperpłaszczyzny jest opisana następującym wzorem:

$d={{|\sum _{i}^{n}A_{i}x_{pi}+B|} \over {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}}}}$

(18)

Prosta styczna w przestrzeni 2-wymiarowej

Przykład prostych siecznych i stycznej przechodzący przesz punkt P w przestrzeni 2-wymiarowej

Wiemy jedna, że współczynnik kierunkowy przedstawia się wzorem siecznej na naszym wykresie:

$m_{i}={{y_{Pi}-y_{P}} \over {x_{Pi}-x_{P}}}$

(19)

Zbliżajmy punkt Pi do punktu P, wtedy sieczna staje się styczną do wykresu funkcji w punkcie P. zatem dochodzimy do wniosku, że jeśli $x_{Pi}\rightarrow x_{p}$, to m_i, staje się pochodną wykresu funkcji, w tymże punkcie i równą poniżej, czyli ona jest pochodne funkcji, która opisuje dany wykres.

$m_{i}=f'(x_{P})\;$

(20)

Prosta prostopadła do krzywej w przestrzeni 2-wymiarowej

Na płaszczyźnie ogólne równanie prostej jest napisane ze wzoru wynikającego z (10), który jest równaniem hiperpłaszczyzny do wzoru w przestrzeni dwuwymiarowej, zatem wtedy możemy napisać, że:

$Ax+By+C=0\Rightarrow y=-{{A} \over {B}}x-{{C} \over {B}}$

(21)

Wiemy jednak co udowodniliśmy wcześniej, że wektor [B,-A] jest to wektor równoległy do naszej prostej. A wektor prostopadły do tej prostej jest [A,B], a więc policzmy:

$-1={{B} \over {-A}}{{A} \over {B}}=m_{||}m_{\perp }$

(22)

A zatem jeszcze raz przepisując wniosek (22) możemy dojść do wniosku, że następuje:

$-1=m_{||}m_{\perp }$

(23)

Wtedy dwie proste spełniające warunek (23) są do siebie prostopadłe.

Płaszczyzna styczna w przestrzeni n-wymiarowej do danej płaszczyzny zakrzywionej

Równanie n-wymiarowej płaszczyzny przechodzące przez punkty x¹_i i przez x¹_i przedstawiamy wedle następującego wzoru:

$\sum _{i=1}^{n}A_{i}x_{i}^{1}+B=0$ (24)

$\sum _{i=1}^{n}A_{i}x_{i}^{2}+B=0$ (25)

Możemy odejmować od siebie dwa równania (24) od (25), w ten sposób otrzymujemy równanie poniżej zależne od dwóch punktów x¹_i, x ²_i, i którego tożsamość przestawiamy równością jako sumę n wyrazów, w której poszczególne składniki są iloczynami parametru A_i i różnicy współrzędnych dwóch punktów x²_i i x¹_i, i ta suma jest przyrównywana do zera:

$\sum _{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}^{2}-x_{i}^{1})=0$

(26)

Będziemy liczyć teraz względem zmiennej x_n pochodne cząstkowej dla krzywej w punkcie styczności z tą płaszczyzną, czyli równość (26) przedstawić możemy następującym wzorem, który jest sumą sumy n-1 składników opisanej powyżej i składnika n-tego:

$\sum _{i=1}^{n-1}A_{i}(x_{i}^{2}-x_{i}^{1})+A_{n}(x_{n}^{2}-x_{n}^{1})=0$

(27)

Podzielmy teraz nasze równanie płaszczyzny (27) przez stałą A_n, która jest z założenia nierówna zero, zatem wspomniane równanie przechodzi w następującą tożsamość poniżej. Jak będziemy widzieć ostatni wyraz jest zależny od różnicy n-tej współrzędnych punktów należących do hiperpłaszczyzny:

$\sum _{i=1}^{n-1}{{A_{i}} \over {A_{n}}}(x_{i}^{2}-x_{i}^{1})+(x_{n}^{2}-x_{n}^{1})=0$

(28)

Niech x²_n oznacza wartość funkcji f zależna od argumentów x₁,...,x_n i w ten sposób dokonajmy różniczkowania względem wartości x²_i, zatem w ten sposób dochodzimy do wniosku, że jeśli mamy funkcję uwikłaną f(x_i), zatem w ten sposób dostajemy:

${{\partial f(x_{1},x_{2},..,x_{n})} \over {\partial x_{i}}}\partial _{j\neq i}x_{i}+{{\partial f(x_{1},x_{2},..,x_{n})} \over {\partial x_{n}}}dx_{n}=0\Rightarrow \left({{\partial x_{n}} \over {\partial x_{i}}}\right)_{j\neq i}=-{{{\partial f} \over {\partial x_{i}}} \over {{\partial f} \over {\partial x_{n}}}}\;$

(29)

Na podstawie powyższej tożsamości pochodna cząstkowa zmiennej x_n względem x_i jest równa z minusem ilorazowi pochodnej funkcji f względem współrzędnej x_i i przez pochodną czastkową funkcji f względem współrzędnej x_n. Zatem jeśli zachodzi tożsamość (29), która jest wynikiem z teorii funkcji uwikłanych, to można powiedzieć, że na pewno następuje:

${{A_{j}} \over {A_{n}}}=-{{\partial x_{n}^{2}} \over {\partial x_{j}^{2}}}=-\left(-{{{\partial f} \over {\partial x_{j}}} \over {{\partial f} \over {\partial x_{n}}}}\right)$

(30)

Zakładając, że A_n jest równe jeden, wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie udowodnionej tożsamości (30) można napisać następującą równość:

$A_{j}={{{\partial f} \over {\partial x_{j}}} \over {{\partial f} \over {\partial x_{n}}}}$

(31)

Na podstawie powyższej tożsamości, że i-ta stała A_i jest równa ilorazowi pochodnej funkcji f względem współrzędnej x_i i przez pochodną cząstkową funkcji f względem współrzędnej x_n.

Podstawiając poszczególne A_j (30) do naszego równania płaszczyzny (26), wtedy otrzymujemy:

$\sum _{j=1}^{n-1}{{{\partial f} \over {\partial x_{j}}} \over {{\partial f} \over {\partial x_{n}}}}(x_{j}^{2}-x_{j}^{1})+(x_{n}^{2}-x_{n}^{1})=0$

(32)

A teraz mnożymy nasze równanie (32) przez $_{{\partial f} \over {\partial x_{n}}}$, zatem otrzymujemy stąd ogólne równanie płaszczyzny n-wymiarowej stycznej w punkcje x=[x¹₁,x¹₂,...,x¹_n]:

$\sum _{j=1}^{n}{{\partial f} \over {\partial x_{j}}}(x_{j}^{2}-x_{j}^{1})=0$

(33)

Kula styczna do płaszczyzny krzywoliniowej

Załóżmy, że mamy kulę n-wymiarową, która jest styczna w punkcie S do powierzchni n-wymiarowej, wtedy oznaczając przez f wartość funkcji w tej przestrzeni, zatem ogólne równanie kuli jest sumą sumy n-1 kwadratów i-tych współrzędnych punktów sfery i kwadratu funkcji opisujących n-wymiarową sferę i wziętych z minusem sumy iloczynu współrzędnych środka kuli i-tej współrzędnych i i-tej współrzędnych punktów należącej do sfery i jeszcze raz wziętych z minusem iloczynu n-tej współrzędnej środka kuli i funkcji f i plus stałą d:

$\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}+f^{2}-2\sum ^{n-1}a_{i}x_{i}-2a_{n}f+d=0$

(34)

Gdy w równaniu (34) dokonamy zamiany zmiennych w następujący sposób, taki że $_{x_{i}:=x_{i}+dx_{i}}\;$ oraz że$_{f:=f+df({\vec {x}})}\;$, zatem wtedy możemy otrzymać następującą równość:

$\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}+dx_{i})^{2}+(f+df({\vec {x}}))^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}(x_{i}+dx_{i})-2a_{n}(f+df({\vec {x}}))^{2}+d=0$

(35)

Teraz odejmujemy równanie (34) od równania (35) i dzieląc to nasze wspomniane równanie przez (35) przez dwa, wtedy dostajemy następującą tożsamość:

$\sum ^{n-1}2x_{i}dx_{i}+2fdf({\vec {x}})-2\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}dx_{i}-2a_{n}df({\vec {x}})=0\Rightarrow \sum ^{n-1}x_{i}dx_{i}+fdf({\vec {x}})-\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}dx_{i}-a_{n}df({\vec {x}})=0\;$

(36)

Ponieważ dx_i mogą być dowolne, wiec rozbijamy to na n-1 równań wprowadzając symbol różniczki $\partial _{j\neq i}x_{i}\;$, który oznacza, że ta różniczka wystepuje przy pozostałych różniczkach równych zero, zatem równanie (36) piszemy wedle następującego wzoru:

$x_{i}\partial _{j\neq i}x_{i}+fdf({\vec {x}})-a_{i}\partial _{j\neq i}x_{i}-a_{n}\partial _{j\neq i}f({\vec {x}})=0\;$

(37)

Równanie (37) możemy również napisać wedle następującego wzoru poniżej jako iloczyn różnicy funkcji f i i n-tej współrzędnej a_n i dywergencji funkcji f, która jest równa z minusem różnicy wektorów wodzących punktów na sferze i wektora wodzącego środka kuli.

$(f-a_{n})df({\vec {x}})=-(x_{i}-a_{i})\partial _{j\neq i}x_{i}\Rightarrow (f-a_{n}){{\partial f} \over {\partial x_{i}}}=-(x_{i}-a_{i})\Rightarrow (f-a_{n})\nabla f=-({\vec {r}}-{\vec {a}})$

(38)

Wektor ${\vec {r}}\;$, który jest wektorem wodzącym punktów na sferze opisanych wzorem (34) i ${\vec {a}}\;$, który jest wektorem wodzącym punktu środka sfery opisanych przez wspomniane równanie, zatem te wektory możemy przestawić wedle następującego wzoru:

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\end{bmatrix}}$ (39)

${\vec {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n-1}\end{bmatrix}}$ (40)

$\nabla f={\begin{bmatrix}{{\partial f} \over {\partial x_{1}}}\\{{\partial f} \over {\partial x_{2}}}\\\vdots \\{{\partial f} \over {\partial x_{n-1}}}\end{bmatrix}}$ (41)

Ponieważ wszystkie wektory opisane w punktach (39), (40) i (41) są to wektory pionowe, zatem z równania (38) możemy napisać następującą tożsamość, w której występują drugie pochodne funkcji f i jest upakowana w macierz pochodnych Df, czyli wcześniej wspomnianą tożsamość piszemy wzorem:

$(f-a_{n})Df+\underbrace {[{{\partial f} \over {\partial x_{j}}}{{\partial f} \over {\partial x_{i}}}]} _{Ff}=-E\Rightarrow (f-a_{n})Df=-E-Ff\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \operatorname {det} \left[{(f-a_{n})Df}\right]=\det(-E-Ff)\Rightarrow (f-a_{n})^{n-1}|Df|=|-E-Ff|\;$

(42)

Z równości (42) możemy otrzymać wzór na f-a_n, wtedy możemy przepisać nasze wyrażenie na tą wartość i napisać wedle następującego wzoru:

$(f-a_{n})={\sqrt[{n-1}]{{|-E-Ff|} \over {|Df|}}}\;$

(43)

Do wzoru wynikającego z (38) za różnicę wartości funkcji f i n-tej współrzędnej wstawiamy wzór wynikający z (43) i w ten sposób otrzymujemy równość na współrzędne środka sfery.

${\vec {a}}={\vec {r}}+{\sqrt[{n-1}]{{|-E-Ff|} \over {|Df|}}}\nabla f$

(44)

Następnym krokiem jest wprowadzenie oznaczenia, które przestawiamy wedle następującego wzoru, które będzie dla nas ważne do toku dalszych obliczeń, czyli oznaczenie |∇,1| jest równe pierwiastkowi sumy sumy kwadratów pochodnej funkcji f względem zmiennej x_i dla każdego i na samym końcu liczby 1, zatem wtedy możemy napisać, że:

$|\nabla f,1|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}\left({{\partial f} \over {\partial x_{i}}}\right)^{2}+1^{2}}}$

(45)

Promień krzywizny danej powierzchni wyliczamy z teorii normy dla przestrzeni n-wymiarowej, który liczymy wedle nastepującego wzoru:

$r^{2}=({\vec {r}}-{\vec {a}})^{T}({\vec {r}}-{\vec {a}})+(f-a_{n})^{2}={\sqrt[{{n-1} \over {2}}]{{|-E-Ff|} \over {|Df|}}}|\nabla f|^{2}+{\sqrt[{{n-1} \over {2}}]{{|-E-Ff|} \over {|Df|}}}=$

$={\sqrt[{{n-1} \over {2}}]{{|-E-Ff|} \over {|Df|}}}|\nabla f,1|^{2}\Rightarrow r={\sqrt[{n-1}]{{|-E-Ff|} \over {|Df|}}}|\nabla f,1|$

(46)

Rozpatrzmy przestrzeń dwu-wymiarową w której liczymy wyrażenie |∇,1| zdefiniowane w punkcie (45), a w naszym przypadku przyjmuje postać:

$|\nabla f,1|={\sqrt {1+f'(x)}}\;$ (47)

$|Df|=f''(x)\;$ (48)

$|E+Ff|={1+f'^{2}(x)}\;$ (49)

Do wzoru (46) na kwadrat promienia krzywizny wstawiamy wzór na wyrażenie |∇,1| zdefiniowanego wzorem (45) i wyznaczając pierwiastek z dwóch stron naszego równania, wtedy możemy napisać, że promień krzywizny danej powierzchni w danym punkcie jest opisanym pierwszym wzorem poniżej, a wzór na krzywiznę drugim wzorem poniżej, zatem wtedy możemy pokazać matematyczną postać tych wzorów:

$r={{(1+f'^{2}(x))^{3 \over 2}} \over {|f''(x)|}}\Rightarrow K={{1} \over {r}}={{|f''(x)|} \over {(1+f'^{2}(x))^{3 \over 2}}}$

(50)

Załóżmy, że zmienne x i y zależą od zmiennych parametrycznych np. czasu, wtedy możemy napisać wzory na wyrażenia występujące w równaniu (50) wedle następujących trzech wzorów.

$f'(x)={{\dot {y}} \over {\dot {x}}}$ (51)

$1+f'^{2}(x)={{{\dot {y}}^{2}+{\dot {x}}^{2}} \over {{\dot {x}}^{2}}}$ (52)

$f''(x)={{\partial } \over {\partial x}}{{\dot {y}} \over {\dot {x}}}={{{\ddot {y}}{\dot {x}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}} \over {\dot {x^{3}}}}$ (53)

Do równanie (50) opisujących promień krzywizny powierzchni w danym punkcie rozważanego wstawiamy wzory (51) (pierwsza pochodna funkcji f względem argumentu x), (52) (suma jedynki i kwadratu pochodnej funkcji f względem zmiennej x) i (53) (druga pochodna funkcji f względem zmiennej x) możemy zapisać według następującego wzoru na krzywiznę r, czyli na odwrotność promienia krzywizny:

$K={{1} \over {r}}={{|{\ddot {x}}{\dot {y}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}|} \over {({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})^{3 \over 2}}}$

(54)

Extremum funkcji na płaszczyźnie

Ekstrema lokalne funkcji $\scriptstyle {f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-3}$ zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)

Warunkiem koniecznym ekstremum na płaszczyżnie jest zerowania się jego pierwszej podchodnej, czyli $f'(x_{0})=0$.gdy mamy ekstremum czyli maksimum dla $x<x_{0}$,to ${{0-f'(x-h)} \over {h}}<0$,bo dla funkcji rosnącej dla $x<x_{0}$, zachodzi $f'(x)>0$, a teraz dla $x>x_{0}$ i teraz $f'(x)<0$,a wiec ${{f'(x+h)-0} \over {h}}<0$, oczywiscie dla dostatecznie małego h. Czyli na maksimum mamy $f''(x)<0$,podobnie zachodzi dla minimum,a teraz tym razem mamy $f''(x)>0$. Gdy $f''(x_{0})=0$,to mamy punkt przegięcia,w którym funkcja przemienia się z wypukłej na wklęsłą, lub odwrotnie.

Extremum funkcji w przestrzeni 3-wymiarowej

A teraz wyznaczmy macierz która jest macierzą drugich pochodnej funkcji f dla przypadku dwuwymiarowego.

$Df={\begin{bmatrix}{{\partial f} \over {\partial x_{1}^{2}}}&{{\partial f} \over {\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\{{\partial f} \over {\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{{\partial f} \over {\partial x_{2}^{2}}}\end{bmatrix}}$

(55)

Teraz przejdźmy do takiego układu współrzędnych,w którym tylko diagonalne elementy są nierówne zero macierzy drugiej pochodnej. Dochodzimy do wniosku, że gdy $_{{{\partial f} \over {\partial {x'}_{1}^{2}}}>0}$ i $_{{{\partial f} \over {\partial {x'}_{2}^{2}}}>0}$, to mamy minimum funkcji, gdy odwrotnie, tzn. mniejsze niż zero to maksimum. Gdy znaki są przekładane, to występuje powierzchnia siodłowa. A zatem gdy |Df|>0 i $_{{{\partial f} \over {\partial x_{1}^{2}}}<0}$, to mamy maksimum, gdy $_{{{\partial f} \over {\partial x_{1}^{2}}}>0}$, to mamy minimum, bo według (Niedopasowany uchwyt: 6.12) nie zmienia znaku wyznacznik macierzy drugich pochodnych, co wynika ze wzoru poniżej:

${{\partial f} \over {\partial x_{1}^{2}}}{{\partial f} \over {\partial x_{1}^{2}}}-\left({{\partial f} \over {\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}>0\;$

(56)

Gdy $_{|Df|<0}\;$, to mamy powierzchnię siodłową, gdy $_{|Df|=0}\;$, to nie możemy określić na podstawie tego ekstremum. Te sentencję nagradzamy tym, że transformacja z jednego układu współrzędnych do drugiego, nie zmienia znaku, bo on jest dla nas ważny, czyli jeśli w jednym układzie mamy maksimum, to też i w drugim, także to zachodzi dla minimum, powierzchnię siodłową, czy też , czy w ogóle istnieje ekstremum w tymże punkcie.

Ekstremum w przestrzeni dla funkcji n-wymiarowej

Wiadomo jednak, że punkty w typowanych za pomocą warunku koniecznego ekstremum, nie zmieniają się ze względu na zmianę układu współrzędnych według (54). Także znak $_{|Df|}\;$wedlug (55),nie zmienia się po przejściu do innego układu współrzędnych. Niech naszym układem będzie układ współrzędnych, w którym tylko diagonalne elementy są nierówne zero. A więc występuje ekstremum, gdy wszystkie z pochodnych diagonalnych $_{{\partial f} \over {\partial {x'}_{i}^{2}}}\;$,są nie równe zero i większe od zera to mamy wtedy minimum, gdy wszystkie są mniejsze, to mamy maksimum. Gdy składowe macierzy mają różne znaki, to występuje powierzchnia siodłowa. Gdy z których składowych diagonalnych są równe zero, to nie można określić co do ekstremum w tymże punkcie. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja