Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy się tutaj zajmowali macierzą bazy w starym i nowym układzie odniesienia w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Teoria transformacji bazy w transformachach LorentzaEdytuj

Będziemy tutaj badać transformacje Lorenza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatniaEdytuj

Napiszmy transformacje macierzy bazy z układu współrzędnych starego do nowego wiedząc, że zachodzi dla wersora czasowego , którego długość musi być równa jeden z definicji tensora Minkowskiego (16.4), i biorąc bazę w nowym układzie odniesienia , w którym będziemy oznaczać macierz przejścia przez , oraz wiedząc, że macierz bazy w przestrzeni absolutnej przedstawia się jako:

(17.1)

Z macierzą transformacji zdefiniowaną według (11.3) na podstawie (2.12) możemy napisać wzór w przestrzeni absolutnej, co z niego otrzymamy transformację macierzy bazy ze starego układu odniesienia do nowego:

(17.2)

Na podstawie (17.1) widzimy, że istnieje dwa rodzaje baz ze względu na wersor czasowy, w których każdy ten rodzaj odpowiada nieskończeniu wiele takich baz , przy ściśle określonym , napisane według (17.1). Wykorzystując wzór (17.2) na transformacje bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego i macierz bazy w starym układzie odniesienia (17.1), wtedy na podstawie tego możemy napisać:

(17.3)

Na podstawie (17.3) przestrzeń (n-wymiarową przestrzeń bez wymiaru czasowego) w nowym układzie odniesienia nie znajduje się dokładnie w przestrzeni starego układu odniesienia. Ale mamy w nowym układzie odniesienia , które niech będą współrzędnymi bazy w układzie absolutnym o wersorach ortonormalnych. Przetransformujmy bazę absolutną starą w nową w taki sposób by wybrać nową bazę absolutną o wersorach ortonormalnych, wtedy:


(17.4)

Napiszmy transformację bazy współrzędnych absolutnych starych w nowe wykorzystując tożsamości (4.17) pisząc transformacje do bazy absolutnej podobnej do (17.1) w sposób:





(17.5)

Napiszmy macierz na na podstawie macierzy (17.5) zamieniając skalary i macierze w wierszach i kolumnach w nim bez primów na primy i odwrotnie, co dalej będziemy przekształcać tą macierz wykorzystując (7.17):

(17.6)

bo zachodzi tożsamość na podstawie twierdzeń (3.11), (3.12) i (4.1):




Teraz sprawdźmy, czy macierz (17.6) jest macierzą odwrotną do macierzy (17.5) wykorzystując tożsamość (4.17), wtedy możemy napisać:


A oto dowód:







(17.7)

Stąd rzeczywiście macierz (17.6) jest macierzą odwrotną do macierzy (17.5) na podstawie dowodu (17.7). Ale można zauważyć na podstawie (17.5) i (17.6), że zachodzi:

(17.8)

co na tej podstawie dowiedliśmy, że zachodzi (17.4). Stąd udowodniliśmy, że twierdzenie (4.17) nie jest wcale sprzeczne ze stwierdzeniem według (17.4), (bo dowód (17.7)) i (17.8). Możemy również powiedzieć, że zachodzi:


(17.9)

Stwierdzenie (17.9) jest prawdziwe na podstawie (16.9). Dla transformacji Galileusza bazy do , które również przyjmujemy w szczególnej teorii względności, mamy , gdzie jest to macierz dla i , co stąd , co stąd na tej podstawie otrzymujemy transformacje na wzór (4.18), czyli wzór na transformacje Galileusza bazy z jednego układu odniesienia do drugiego dla bazy podstawowej . Dla mamy macierz transformacji na podstawie wniosków:


(17.10)

A także policzmy iloczyn macierzy , i , czyli:

(17.11)

Stąd na podstawie (17.5) mamy , czyli otrzymujemy taką samą transformację jak przy transformacji bazy Galileusza (4.18) jak powinno na pewno być. Napiszmy (17.5) wykorzystując własności macierzy:





(17.12)

Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy (17.1) dla i , czyli:

(17.13)

(17.14)

(17.15)

Na podstawie obliczeń (17.13), (17.14) i (17.15) dla (17.12) dostajemy:

(17.16)

A teraz policzmy macierz transformacji (17.6), zatem:

(17.17)

a także policzmy dla , , i , co:

(17.18)

A teraz policzmy (17.16) podstawiając za macierz (17.17), wiedząc, że zachodzi i z definicji wersora czasowego, bo jego długość ma być równa jeden, czyli:




(17.19)

Równość (17.19) zachodzi na podstawie (17.12), bo to przejście da się tylko udowodnić przy założeniu, że jest spełniona zależność (4.18), co kończy dowód zależności . Policzmy transformację macierzy do , wiedząc, że ogólnie dla macierzy transformacji zachodzi związek (17.4):



(17.20)

Dla transformacji bazy (17.1) w inną bazę podobną do niego według (17.5) tensor metryczny transformuje się według (17.9), a w bazie (17.1) w podobną do niego w bazę dla , , i tensor metryczny transformuje się według (17.20).

Sygnatura ujemnaEdytuj

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci:

(17.21)
  • Gdzie i jest dowolne.

Transformacja z bazy (17.1) ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie przedstawienia transformacji przedstawia się według wzoru (17.5). Pomnóżmy macierz bazy starego i nowego układu odniesienia, tzn. (17.1) przez jednostkę urojoną we wzorze transformacyjnym tej bazy (17.5), znając macierz i , które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz , wtedy zastąpmy w naszym równaniu według , a tam minus weźmy pod macierze i , wtedy otrzymamy transformację bazy (17.21) o takiej samej macierzy jak dla sygnatury dodatniej, tzn. (17.6). Napiszmy transformację tensora metrycznego ze starego układu odniesienia do nowego przy dowolnym i i , zatem:

(17.22)

Weźmy i , wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest o postaci:

(17.23)

W takim razie transformacja bazy starego układu współrzędnych do nowego układu przedstawia się:

(17.24)

Wtedy transformacja tensora metrycznego jest:



(17.25)

Czyli w (17.25) udowodniliśmy transformację tensora metrycznego Minkowskiego w sygnaturze ujemnej.

Teoria bazy transformacji GalileuszaEdytuj

Będziemy tutaj badać transformacje Galileusza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatniaEdytuj

Weźmy sobie bazę taką samą jak w szczególnej teorii względności (17.1), wtedy jest spełnione (17.2). Weźmy Galileuszowską macierz transformacji (11.17), wtedy możemy zapisać:

(17.26)

Weźmy inną bazę absolutną, której współrzędne przetransformujemy macierzą , wtedy możemy powiedzieć:


(17.27)

Wtedy macierz bazy na podstawie obliczeń macierzowych (17.27) piszemy wynikającą z tego na podstawie tożsamości transformacji bazy przestrzennej (4.18):

(17.28)

Na podstawie analogii do macierzy napiszmy macierz odwrotną do niego zastępując wielkości primowane wielkościami bez primów i odwrotnie, dostajemy wzór na macierz :

(17.29)

Policzmy czy rzeczywiście macierz (17.29) jest macierzą odwrotną do macierzy (17.28), tzn. czy właściwie obraliśmy tą macierz, wykorzystajmy wtedy wzór na transformacje bazy przestrzennej Galileusza (4.18):


(17.30)

Zatem macierz jest macierzą odwrotną do macierzy jak przypuszczaliśmy. Napiszmy jaki wyjdzie wynik z wyrażenia macierzowego dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, zakładając, że i , wtedy:

(17.31)

Dla teorii transformacji Galileusza iloczyn macierzy (17.29) przez jego macierz transponowaną daje nam macierz w przybliżeniu jedynkową, czyli baza absolutna w nowym i starym układzie odniesienia jest w przybliżeniu ogólnie ortonormalna. Napiszmy tożsamość macierzową, którą przepiszemy jako transformację bazy wymiarowej ze starego układu współrzędnych do nowego, to wtedy tożsamość:




(17.32)

Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy (17.1) dla i wykorzystując wynikającego z wyprowadzona w poprzednim rozdziale, czyli:

(17.33)
(17.34)
(17.35)

Macierz przedstawia się:

(17.36)

Dokończy obliczenia z punktu (17.32) wyznaczając wzór na transformacje bazy z bazy w starym układzie współrzędnych dla i na bazę w nowym układzie współrzędnych dla i , zatem:



(17.37)

Transformacja bazy wielowymiarowej w teorii transformacji Galileusza, czyli dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, przedstawia się w formie (17.37) i ona jest podobna bardzo do wzoru (17.27), tylko tutaj dokładnie nie da się wyznaczyć transformacji tensora metrycznego (16.4), jak w punkcie (17.20), opisująca przestrzenie wymiarowe.

Sygnatura ujemnaEdytuj

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci (17.21) w transformacji Galileusza, w którym i są dowolne. Transformacja z bazy (17.1) ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie transformacji przedstawia się według wzoru (17.27). Pomnóżmy macierz bazy starego i nowego układu odniesienia, tzn. (17.1) przez jednostkę urojoną we wzorze transformacyjnym tej bazy (17.27) znając macierz i , które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz , wtedy zastąpmy w naszym równaniu według , a tam minus weźmy pod macierze i , wtedy otrzymamy transformację bazy (17.21) o takiej samej macierzy , jak dla sygnatury dodatniej, tzn. (17.29). Weźmy i , wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest napisana formułą (17.23). W takim razie transformacja jest dla bazy starego i nowego układu odniesienia napisana dla tego przypadku wzorem (17.24).