Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Praca, moc i energia w szczególnej teorii względności w einsteinowskich układach odniesieniaEdytuj

Będziemy wyprowadzać wzór dla poszczególnych mas układów i dla ich środka mas.

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla poszczególnych elementów masowych środka mas ciał, ale nie środka masEdytuj

Wyprowadżmy wzór dla poszczególnych elementów masowych układu (nie środka mas układu ciał). Z definicji infinitezymalnej pracy znanej z fizyki klasycznej i siły relatywistycznej wyrażonej wzorem (19.14) otrzymujemy, że praca jest całką infinitezymalnej pracy względem czasu, w którym ta zmiana występuje, powiemy, że ona jest równa różnicy energii relatywistycznych w czasie t2 i t1, zatem praca wykonana przez ciało jest wyrażona:




(31.1)

Na podstawie obliczeń (31.1), praca wykonywana ze stanu 1 do stanu 2 możemy zapisać jako różnicę pewnych wielkości zależnej od prędkości ciała w tychże punktach:

(31.2)

Przyjmujemy za Einsteinem, że energia jest równoważna masie, tzn. energia relatywistyczna jest iloczynem masy relatywistycznej i kwadratu wartości prędkości światła:

(31.3)
  • gdzie m(u) jest to masa relatywistyczną występującą we wzorze (31.3) jest napisana w punkcie (19.11), zatem jeśli wykorzystamy definicję energii relatywistycznej (31.3), wtedy ten nasz wspomniany wzór na pracę wykonaną od stanu 1 do 2 jest napisana jako różnicę energii relatywistycznej zapisanej w stanach 2 i 1.
(31.4)

Za pomocą (31.2), lub (31.4), (wielkość ) i wzoru na energię relatywistyczną względem prędkości (31.3) możemy napisać moc siły korzystając z definicji mocy, tzn.:

(31.5)

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla środka mas układu ciał, ale nie poszczególnych elementów masowych środka masEdytuj

Wyprowadźmy wzór dla układu środka mas ciał (nie poszczególnych elementów masowych tego układu). Siła działająca na środek mas ciał (24.9) jest pochodną zupełną pędu relatywistycznego środka mas ciał (24.8) względem czasu. Wzory (31.3) i (31.1) są słuszne dla ciał w teorii punktów, gdzie , , i to jest wartość prędkości, prędkość, pęd i położenie pojedyńczego ciała, ale mając wielkość (24.9) (wzór na pęd środka mas ciał) i (24.1) (położenie środka masy) przedstawiamy w (31.1) zastępując: , , i , wtedy możemy napisać wzór (31.3), ale dla środka masy, i jest on dla tego prawdziwy. Jeżeli obiekt jest traktowany jako całość to wtedy on ma masę środka masy spoczynkową , energię spoczynkową środka masy , te wielkości są zależne względem siebie na podstawie (31.3) (ale dla środka mas ciał), a jeźeli będziemy traktować środek mas jako poszczególne elementy (ciała) to wtedy suma mas spoczynkowych poszczególnych elementów wyrażamy: , gdzie to numer ciała, jeżeli traktować te ciała jako poszczególne elementy, co stąd z rozważań logicznych wynika, że defekt masy układu mas jest: , a wtedy po rozdzieleniu elementów masowych wydziela się energia na podstawie definicji energii spoczynkowych poszczególnych mas i energii spoczynkowej układu mas jako całość przedstawiamy w postaci: . Masa środka masy ciał spoczynkowa jest związana w zależności od mas spoczynkowych poszczególnych elementów masowych w postaci (30.49), którymi są (masą spoczynkową i-tego elementu), (tensor prędkości i-tego elementu), a tensorem prędkości środka mas .

Wzór na całkowitą energię w zależności od pędu i masy spoczynkowejEdytuj

Wektor pędu wyrażonej wzorem napisanej w punkcie (19.13) możemy podnieść do kwadratu, wtedy dostaniemy, że kwadrat długości pędu w zależności od prędkości danego badanego ciała wyraża się:

(31.6)

Zatem możemy wyznaczyć wyrażenie poniżej wykorzystując definicję kwadratu wartości pędu przestrzennego (31.6) i definicję energii relatywistycznej (31.3) i jak się przekonamy suma kwadratu iloczynu pędu przez prędkość światła i kwadratu energii spoczynkowej ciała, wtedy opisane wyrażenie jest równe kwadratowi energii relatywistycznej danego ciała pędzącego z prędkością "V".

(31.7)

Przepisując końcowy wynik wynikającego z uzyskanego punktu (31.7), który możemy go zapisać jako funkcję wartości pędu ciała p i jego masy spoczynkowej m0.

(31.8)

Kwadrat długości tensora pędu w przestrzeni metrycznej MinkowskiegoEdytuj

Końcowy wzór z poprzedniego rozdziału, czyli wzór (31.8) można przedstawić w troszeczkę w innej postaci wyznaczając je tak by po prawej stronie tej nierówności występowały wielkości związane z masą spoczynkową danego ciała poruszających się z pędem "p".

(31.9)

Jeśli oznaczymy jako pęd czasowy ciała według (30.17), to przestrzeń Minkowskiego względem sygnatury (1,-1,-1,-1) jest taka, że wzór (31.9) przy wprowadzanych tensorze n+1 wymiarowego wektora pędu można napisać:

(31.10)
  • gdzie ημν jest tensorem metrycznym (16.5) w szczególnej teorii względności.

Wzór (31.10) na podstawie (16.9) jest również spełniony gdy mamy tensor metryczny (16.4) wychodząc z wzoru (31.10), a oto dowód:

Równość (31.10) w szczególnej teorii względności możemy zapisać równoważnie do niego, korzystając z własności ogólnie tensora metrycznego, w tym przypadku tensora Minkowskiego:

(31.11)

Można udowodnić, że jeśli przyjmować będziemy, że mamy tensor metryczny Minkowskiego jest o przeciwnej macierzy do tensora metrycznego Minkowskiego (16.4):

co wtedy wzór (31.9) przedstawia się w troszeczkę w innej postaci, ale wyrażonej przez tensor pędu (30.17) i masę spoczynkową danego badanego ciała m0:

(31.12)