Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Pierwsza i druga zasada Lagrange'a

Pierwsza i druga zasada Lagrange'a

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu • Jak edytować artykuły

Wyprowadzimy tutaj dwie zasady Lagrange'a z zasady d'Alemberta.

Pierwsza zasada Lagrange'a zapisana dla drugiej zasady dynamiki Einsteina w postaci wektorowej i tensorowej

Wersja wektorowa

Wprowadźmy zasadę d'Alemberta wyprowadzoną dla szczególnej teorii względności w postaci, że przy wirtualnych przemieszczeniach punktu masowego siła reakcji więzów nie wykonuje pracy, w postaci:

${\vec {Z}}\delta {\vec {r}}=\left({{d{\vec {p}}} \over {dt}}-{\vec {F}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0\;$

(26.1)

Zasada (26.1) dla ruchu bez więzów jest równoważna z definicją siły w szczególnej teorii względności (19.14) przy $\delta {\vec {r}}\;$ dowolnym. Weźmy f więzów określonymi równaniami, z którego z różniczki zupełnej otrzymamy równość przy przesunięciach w czasie, co z którego dla dt=0 przy przesunięciach wirtualnych $d{\vec {r}}=\delta {\vec {r}}\wedge dt=0\;$, czyli:

$g_{i}({\vec {r}},t)=0\Rightarrow dg_{i}({\vec {r}},t)=0\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}d{\vec {r}}+{{\partial g_{i}} \over {\partial t}}=0\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\delta {\vec {r}}=0\;$

(26.2)

Wykorzystajmy równość (26.2) przy wirtualnych przesunięciach (ostatni wzór) wykorzystując do (26.1) wiedząc, że dodanie zera nic nie zmienia w wartości tego równania, otrzymamy:

$\left({{d{\vec {p}}} \over {dt}}-{\vec {F}}-\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\delta r=0\;$

(26.3)

Równość (26.3) jest równoważna równaniu wektorowemu, w którym występuje siła niezwiązana z więzami i siła reakcji więzów ${\vec {Z}}\;$, wtedy:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}-{\vec {F}}-\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}=0\Rightarrow {{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\;$

(26.4)

Dla układu globalnie (lokalnie) ogólnie nieprostokątnego równość (26.4) piszemy po zastąpieniu ${\vec {r}}\;$ dla układu prostokątnego na ${\vec {r}}^{+}\;$ dla układu ogólnie nieprostokątnego (definicja: (3.9)), którego przejście piszemy podobnie jak w (26.7), tylko ${{dC_{p}} \over {dt}}=0\;$ jest w przeciwieństwie do układu słabozakrzywionego jest dokładną tożsamością, czyli wtedy otrzymamy dokładne równanie jako:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}\;$

(26.5)

Według równości (26.4) siła reakcji więzów jest z definicji siły od więzów, które nie wykonują pracy, i jest ona zależna od stałych $\lambda _{i}\;$, które wyznaczamy biorąc równanie ruchu otrzymane z równaniami więzów, wtedy mamy 3nN-f równań więzów, i to równanie jest w postaci:

${\vec {Z}}=\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\;$

(26.6)

Równania (26.4) są słuszne w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, ale udowodnijmy, że one są słuszne w układach słabozakrzywionych według macierzy transformacji (10.1) i definicji tych układów słabozakrzywionych (21.7), wtedy tą równość transformujemy zastępując ${\vec {r}}\;$ przez ${\vec {r}}^{+}\;$ (definicja: (3.9)), co dla przestrzeni płaskiej prostokątnej nie ma znaczenia, lub korzystając z równania (26.5) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}_{p}{{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {F}}+\sum _{i}{\overline {\Lambda }}_{p}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}\Rightarrow {{d{\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {p}}} \over {dt}}-{{d{\overline {\Lambda }}_{p}} \over {dt}}{\vec {p}}={\overline {\vec {F}}}+{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {\vec {r}}}^{+}}}\Rightarrow {{d{\overline {\vec {p}}}} \over {dt}}\simeq {\overline {\vec {F}}}+{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {\vec {r}}}^{+}}}\;$

(26.7)

Końcowe równanie (26.7) jest słuszne również dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie otrzymujemy w postaci równości (26.4) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Wersja tensorowa

Jeżeli zamiast wektora siły użyjemy tensor siły to porównując ze szczególną teorią względności, tylko zamiast kolejno ${\vec {r}}\;$ i ${\vec {v}}\;$ są $x^{\mu }\;$ i $u^{\mu }\;$, a zamiast ${\vec {p}}\;$ jest $p^{\mu }\;$, a także zamiast czasu względnego (mechanika Einsteina) jest interwał czasoprzestrzenny $s\;$, wtedy otrzymamy wzór d'Alemberta dla szczególnej teorii względności w postaci tensorowej wiedząc, że zachodzi z równania więzów:

$0=g_{i}(x^{\mu })\Rightarrow 0=dg_{i}={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }+{{\partial g_{i}} \over {\partial s}}ds\Rightarrow 0={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\nu }}}\delta x^{\nu }\Rightarrow 0={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }\;$

(26.8)

więc, wtedy wzór otrzymany z równań więzów (26.8) poddstawiamy do równania d'Alemberta (ten wzór tak wygląda, że praca tensora siły reakcji więzów w czasoprzestrzeni jest równa zero) dla równań czasoprzestrzennych:

$0=Z^{\mu }\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }=\left(m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}-K^{\mu }\right)\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }\Rightarrow \left({{dp^{\mu }} \over {ds}}-K^{\mu }-\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }\right)\eta _{\mu \nu }\delta x^{\nu }=0\;$

(26.9)

Można napisać równanie więzów w postaci $g(x^{\mu })=0\;$, co z tego wynika z definicji różniczki zupełnej rozkładając funkcję $g_{i}\;$ względem współrzędnej czasowej $x^{0}\;$ i przestrzennych $x^{i}\;$, wtedy:

$0=dg={{\partial g_{i}} \over {\partial x^{j}}}dx^{j}+{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{0}}}dx^{0}\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial x^{0}}}=-{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{j}}}{{v^{j}} \over {c}}\Rightarrow {{\partial g_{i}} \over {\partial x^{0}}}=-\left({{\vec {v}} \over {c}},{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\;$

(26.10)

Wtedy pisząc równanie ruchu przy więzach, otrzymamy równanie ruchu i wzór na tensor siły reakcji więzów w postaci prawa tensorowego dla czasoprzestrzeni przy więzach w nim wykorzystując przy tym wzór wynikający z równania więzów (26.10), wtedy mając na myśli $-\lambda _{i}={{\gamma } \over {c}}\lambda _{i}^{'}\;$, w takim razie:

${{dp^{\mu }} \over {ds}}=K^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }\;$

(26.11)

$Z^{\mu }=\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial x^{\gamma }}}\eta ^{\gamma \mu }=\sum _{i}\lambda _{i}{\begin{bmatrix}-\left({{\vec {v}} \over {c}},{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\\-{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},\sum _{i}\lambda _{i}^{'}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\right)\\\sum _{i}\lambda _{i}^{'}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\vec {r}}}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {Z}}\right)\\{\vec {Z}}\end{bmatrix}}\;$

(26.12)

Co kończy dowód, pierwszej zasady d'Alemberta dla tensorowych równań ruchu, czyli z tensorowej pierwszej zasady Lagrange'a wynika wektorowa pierwsza zasada Lagrange'a i odwrotnie w szczególnej teorii względności mając wzór na tensor siły $K^{\mu }\;$ w zależności od wektora siły ${\vec {F}}\;$ przedstawiony w punkcie (30.41). Równania (26.11) są słuszne w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, ale udowodnijmy, że one są słuszne w układach słabozakrzywionych według macierzy transformacji (10.1) i definicji tych układów słabozakrzywionych (21.7), wtedy tą równość transformujemy według:

${{dp^{\mu }} \over {ds}}=K^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial x_{\mu }}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{dp^{\nu }} \over {ds}}={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }K^{\nu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{\partial g_{i}} \over {\partial x_{\nu }}}\Rightarrow {{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }} \over {ds}}-{{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {ds}}p^{\nu }={\overline {K}}^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {x}}_{\nu }}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d{\overline {p}}^{\mu }} \over {ds}}\simeq {\overline {K}}^{\mu }+\sum _{i}\lambda _{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial {\overline {x}}_{\nu }}}\;$

(26.13)

Końcowe równanie (26.13) jest słuszne dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie to otrzymujemy równość (26.11) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Przejście do układów słabozakrzywionych od układu globalnie (lokalnie) płaskiego prawej strony równości (26.11) jest oczywiste z rachunku tensorowego, którą udowodniono w punkcie (26.13), a tensorowość lewej strony równości tego równania wynika też z obliczeń, w której udowodnioną tą tensorowość w postaci (21.18) i zastosowano procedurę (Proc. 20.1) po przejściu do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne od układów globalnie (lokalnie) płaskich i potem dokonano przejście do układów krzywoliniowych lub we współrzędnych uogólnionych, a więc równość udowodnioną innym sposobem, nie korzystając bezpośrednio z układów słabozakrzywionych (ale pośrednio korzystamy) i definicji tych układów (21.7), a więc stąd wynika, że równanie na pierwszą zasadę Lagrange'a (26.11) jest przybliżonym równaniem jak udowodniono teraz. A z definicji tensora siły (30.41), wzór na pierwszą zasadę Lagrange'a w wersji wektorowej (26.5) jest też przybliżonym wzorem, co wynika wiedząc, że z wersji tensorowej tego równania można udowodnić jego wersję wektorową według obliczeń (26.12) i definicji tensora siły (30.41).

Druga zasada Lagrange'a zapisana w postaci wektorowej i tensorowej

Wersja wektorowa

Weźmy f więzów i niech mamy układ współrzędnych prostokątnych $x_{a}\;$ w układzie współrzędnym uogólnionym o współrzędnych $q_{k}\;$, w tym układzie jest N mas, nasz układ jest n-wymiarowy, tzn. wymiar przestrzeni zwykłej jest n. Nieskończenie małe przesunięcie w przestrzeni, pochodna czasowa w przestrzeni prostokątnej położenia względem czasu i stąd wynikający wniosek piszemy:

$\delta x_{a}=\sum _{k=1}^{f}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\delta q_{k}\wedge {\dot {x}}_{a}=\sum _{k=1}^{f}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{{\partial x_{a}} \over {\partial t}}\Rightarrow {{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}={{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(26.14)

Przedstawiając wektor pędu w postaci (19.13) biorąc równanie d'Alemberta (26.1), wtedy mamy:

$\sum _{a=1}^{nN}\left({{d(m_{0}\gamma v_{a})} \over {dt}}-F_{a}\right)\delta x_{a}=\sum _{a=1}^{nN}\left({{dp_{a}} \over {dt}}-F_{a}\right)\sum _{k=1}^{f}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\delta q_{k}=0\;$

(26.15)

Z rachunku różniczkowego zachodzi w układzie n-wymiarowym prostokątnym mamy lagrangian masowy w zależności od wektora współrzędnych prędkości w układzie prostokątnych i masy spoczynkowej N mas:

$L_{m}=-\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{\sqrt {1-{{{\vec {v}}_{a}^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(26.16)

Wtedy możemy napisać wykorzystując ostatnią tożsamość w (26.14) i wzór na lagrangian masowy (26.16), czyli policzmy pochodną cząstkową lagrangianu masowego względem współrzędnych uogólnionych położenia, i pochodną cząstkową tego samego lagrangianu względem prędkości uogólnionej:

${{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(26.17)

${{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(26.18)

Policzmy pochodną zupełną obustronną wyrażenia pochodnej cząstkowej lagrangianu masowego względem prędkości uogólnionej (26.18) względem czasu:

${{d} \over {dt}}{{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}{{dp_{a}} \over {dt}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}+\sum _{a=1}^{nN}m_{0a}\gamma _{a}v_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}{{dp_{a}} \over {dt}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}+{{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}{{dp_{a}} \over {dt}}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(26.19)

Wykorzystując otrzymaną równość w (26.19) podstawiamy do tożsamości (26.15), w takim razie przy dowolnych wariacjach przesunięcia wirtualnego $\delta x_{a}\;$, mamy:

$\sum _{k=1}^{f}\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}-\sum _{a=1}^{nN}F_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}=0\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{nN}F_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(26.20)

Zdefiniujmy siłą uogólnioną jako sumę iloczynu nN współrzędnych siły o składowej a i pochodnej cząstkowej położenia o składowej a w układzie prostokątnym względem położenia w układzie we współrzędnych uogólnionych o składowej k:

$Q_{k}=\sum _{a=1}^{nN}F_{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{N}{\vec {F}}_{a}{{\partial {\vec {r}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{N}{\vec {F}}_{a}{\vec {e}}_{ak}g_{ak}=\sum _{a=1}^{N}({\vec {F}}_{a},{\vec {e}}_{ak})g_{ak}=\sum _{a=1}^{N}{\mathcal {F}}_{ak}g_{ak}\;$

(26.21)

Na podstawie definicji siły uogólnionej przedstawionej w równaniu (26.21) końcowa tożsamość (26.20) przedstawia się:

${{d} \over {dt}}{{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}=Q_{k}\;$

(26.22)

Równość (26.22) jest równaniem ruchu w układzie we współrzędnych uogólnionych znając wzór na siłę uogólnioną $Q_{k}\;$ (26.21) i wzór na lagrangian masowy dla dla układu mas (26.16). Weźmy lagrangian $L=L_{m}+L_{o}\;$, wtedy napiszmy zamiast $L_{m}\;$ jego wersję $L\;$, zatem wzór (26.22) w wersji jeszcze nie udowodnionej przedstawia się wzorem w zależności od siły zewnętrznej uogólnionej $Q_{zk}\;$:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\;$

(26.23)

Wiedząc, że zachodzi pewien wzór na $L\;$ podany wcześniej możemy powiedzieć wynikająco z (26.23):

${{d} \over {dt}}{{\partial L_{m}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{m}} \over {\partial q_{k}}}=Q_{za}-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(26.24)

Porównując wzory (26.24) z (26.22) dostajemy, że wzór (26.23) jest ogólnie spełniony i zachodzi wzór na siłę uogólnioną od oddziaływania i wzór na siłę uogólnioną, jako:

$Q_{ok}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(26.25)

$Q_{k}=Q_{zk}+Q_{ok}\;$

(26.26)

Weźmy we wzorze (26.22) zamiast $L_{m}\;$ wyrażenie $L\rightarrow L+L_{o}\;$, wtedy ten wzór nadal jest spełniony na podstawie udowodnionej spełniowości (26.23), wtedy też jest spełniony wzór na siłę uogólnioną (26.25) i addytywność sił uogólnionych (26.26). Równość (26.23) jest słuszna w układach globalnie (lokalnie) płaskich, ale udowodnijmy go w układach słabozakrzywionych korzystając z macierzy transformacji (10.1) i z własności tej macierzy w postaci (21.7), wtedy:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}={{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}Q_{zk}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}{{d{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}} \over {dt}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{i}}}={\overline {Q}}_{zi}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{i}}}\simeq {\overline {Q}}_{zi}\;$

(26.27)

Końcowe równanie (26.27) jest słuszne również dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie to otrzymujemy równość (26.23) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych, jako równość przybliżoną, nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Równanie (26.23) załóżmy, że jest słuszne dla układów płaskich prostokątnych, wtedy z definicji stałości macierzy transformacji $C_{p}\;$, tzn. ${{dC_{p}} \over {dt}}=0\;$ wynika, że jest spełniona równość dla dowolnych układów odniesienia płaskich ogólnie nieprostokątnych, według (26.23), a to równanie udowadnia się podobnie jak dla układu słabozakrzywionego (26.27), tylko że obliczenia są dokładne, wtedy:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\vec {r}}}^{+}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}={\vec {Q}}_{z}\;$

(26.28)

Wersja tensorowa

Równanie (26.23) jest ogólnie spełnione w szczególnej teorii względności, weźmy interwał czasoprzestrzenny w mechanice Newtona (16.12) i na podstawie przedstawienia tensora siły w tej teorii (30.42) mamy, że element tensora siły czasowy jest równy zero, a lagrangian jest niezależny od czasu i elementu czasowego tensora prędkości, a więc przepiszmy równanie Eulera-Lagrange'a (26.23) dla tej teorii zastępują zamiast kolejno $t\;$, ${\dot {q}}_{k}\;$ i $Q_{zk}\;$ na $s=ct\;$, na wielkość kowariantną ${\dot {q}}_{\mu }\;$ i $Q_{z}^{\mu }\;$, wtedy otrzymamy równanie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich prostokątnych, wtedy pisząc dla czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej wynikająco dla teorii Newtona przedstawionej we współrzędnych nieuogólnionych $q^{\mu }\;$ układu prostokątnego, wtedy dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q_{\mu }}}=Q_{z}^{\mu }\wedge Q_{z}^{\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K_{z}^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q_{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\vec {K}}_{z}^{a}{{\vec {e}}_{a}}^{\mu }{g_{a}}^{\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\mathcal {K}}_{z}^{a}{g_{a}}^{\mu }\Leftrightarrow \;$
$\Leftrightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q^{\mu }}}=Q_{z\mu }\wedge Q_{z\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{nN}K_{z}^{a}{{\partial x_{a}} \over {\partial q^{\mu }}}=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\vec {K}}_{z}^{a}{\vec {e}}_{a\mu }g_{a\mu }=\mp c\sum _{a=1}^{N}{\mathcal {K}}_{z}^{a}g_{a\mu }\;$

(26.29)

• Powyższe równości są również słuszne nie tylko w mechanice Newtona, ale i też w szczególnej teorii względności dla dowolnych współrzędnych uogólnionych (tensorowych).

Udowodnijmy niezmienniczość lagrangianu masowego (26.16) bez względu na układ odniesienia w szczególnej teorii względności, wykorzystując lagrangian masowy mechaniki Newtona i definicję tensora prędkości, w tej teorii, według (30.9), wtedy w układzie z prędkościami dążącymi do zera, liczymy dla obu sygnatur jednocześnie z dokładnością do stałego składnika:

$L_{m}=\sum _{a=1}^{N}m_{0a}{{v_{a}^{2}} \over {2}}=\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{{v_{a}^{2}} \over {2c^{2}}}=-\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left({{1} \over {2}}-{{v_{a}^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=-{{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left(u_{a}^{0}u_{a}^{0}-u_{a}^{i}u_{a}^{i}\right)=\;$
$=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}\left(u_{a}^{0}u_{a0}+u_{a}^{i}u_{ai}\right)=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\mu }u_{a\mu }=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\mu }\eta _{a\mu \nu }u_{a}^{\nu }\Rightarrow L_{m}=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\mu }\eta _{a\mu \nu }u_{a}^{\nu }\;$

(26.30)

Udowodnijmy niezmienniczość lagrangianu masowego szczególnej teorii względności z teorii transformacji i też wykorzystując definicję jedynki (30.10):

${\overline {L}}_{m}=-{{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}{\overline {u}}_{a}^{\mu }{\overline {\eta }}_{a\mu \nu }{\overline {u}}_{a}^{\nu }=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\alpha }{\overline {\eta }}_{a\mu \nu }u_{a}^{\beta }{{\overline {\Lambda }}_{a}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}_{a}^{\nu }}_{\beta }=\mp {{1} \over {2}}\sum _{a=1}^{N}m_{0a}c^{2}u_{a}^{\alpha }\eta _{a\alpha \beta }u_{a}^{\beta }=L_{m}\;$

(26.31)

Na podstawie (26.31) lagrangian masowy w starym układzie odniesienia jest równy lagrangianowi masowemu w nowym układzie odniesienia, czyli równania (26.29) z definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (16.12) są spełnione w mechanice Newtona. Gdy dodamy dalsze składniki do lagrangianu masowego, wtedy staje się on nie masowy, tylko całkowity, wtedy lagrangian jest taki sam z definicji teori transformacji, czyli nadal lagrangian jest niezmienniczy ze względu na układów współrzędnych uogólnionych (przywoliniowych). Równania (26.29) są słuszne w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, ale udowodnijmy, że one są słuszne w układach słabozakrzywionych według macierzy transformacji (10.1) i definicji tych układów słabozakrzywionych (21.7), wtedy te równości transformujemy według:

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q_{\mu }}}=Q_{z}^{\mu }\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\nu }}}-{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{\partial L} \over {\partial q_{\nu }}}={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }Q_{z}^{\nu }\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\nu }}}-{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\nu }}}{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}\simeq {\overline {Q}}_{z}^{\mu }\;$

(26.32)

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q^{\mu }}}=Q_{z\mu }\Rightarrow {\Lambda ^{\nu }}_{\mu }{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\nu }}}-{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial q^{\nu }}}={{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }Q_{z\nu }\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\nu }}}-{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\nu }}}{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}={\overline {Q}}_{z\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}\simeq {\overline {Q}}_{z\mu }\;$

(26.33)

Końcowe równania w (26.32) są słuszne również dla układów słabozakrzywionych, co przepisując bez nadkreśleń to równanie to otrzymujemy równość (26.29) słuszną dla wszystkich układów odniesienia słabozakrzywionych nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Równość jest spełniona na razie dla prędkości małych, a mówiąc matematycznie dla prędkości ${\dot {q}}^{i}\rightarrow 0\;$, ale udowodnijmy, że on jest słuszny również dla dowolnych prędkości nawet w układach o współrzędnych uogólnionych choćby w przybliżeniu:

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial q_{\mu }}}=Q_{z}^{\mu }\Rightarrow e_{\mu }{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-e_{\mu }{{\partial L} \over {\partial q_{\mu }}}=Q_{z}^{\mu }e_{\mu }\Rightarrow {{d} \over {ds}}\left(e_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}\right)-e_{\mu }{{\partial L} \over {\partial q_{\mu }}}=Q_{z}^{\mu }e_{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {ds}}\left({\overline {e}}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\mu }}}\right)-{\overline {e}}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }{\overline {e}}_{\mu }\Rightarrow \left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\mu }}}\right)_{;\nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }{\overline {e}}_{\mu }-{\overline {e}}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }{\overline {e}}_{\mu }\Rightarrow \left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\mu }}}\right)_{;\nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\mu }}}\right)_{;\nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}={\overline {Q}}_{z\mu }$

(26.34)

W (26.34) przeszliśmy z układu z mechaniki Newtona (układy o małej prędkości) do prędkości o dowolnej wartości $v<c\;$ za pomocą teorii transformacji (za pomocą transformacji Lorentza), ale oba układy są słabozakrzywione we współrzędnych uogólnionych lub krzywoliniowych. Równanie (26.34) przepiszmy korzystając z definicji pochodnej tensorowej:

$\left[\left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\mu }}}\right)_{,\nu }+{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\mu }}_{\alpha \nu }\right]{\dot {\overline {q}}}^{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }\wedge \left[\left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\mu }}}\right)_{,\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\alpha }}_{\mu \nu }\right]{\dot {\overline {q}}}^{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}={\overline {Q}}_{z\mu }\;$

(26.35)

Napiszmy pewne wyrażenie występujące w (26.35) wykorzystując, że symbole Christoffela w szczególnej teorii względności są prawdopodobnie tensorami, ale nie wiadomo (tak może zachodzić tylko dla układów słabozakrzywionych we współrzędnych uogólnionych, które są w przybliżeniu płaskie we współrzędnych uogólnionych, a dla układów zakrzywionych już tak nie jest), wtedy możemy powiedzieć przechodząc z układów słabozakrzywionych w przybliżeniu płaskich uważanych za płaskie do innych:

${\overline {e}}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\mu }}_{\alpha \nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }={\overline {e}}_{\omega }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\gamma }}}{{\overline {\Lambda }}^{\omega }}_{\zeta }{\Lambda ^{\zeta }}_{\xi }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{{\overline {\Lambda }}^{\sigma }}_{\alpha }{{\overline {\Gamma }}^{\xi }}_{\sigma \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\xi }{\Lambda ^{\xi }}_{\eta }{\dot {\overline {q}}}^{\eta }=e_{\zeta }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\alpha }}}{\Lambda ^{\zeta }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}^{\sigma }}_{\alpha }{{\overline {\Gamma }}^{\xi }}_{\sigma \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\eta }q^{\eta }\wedge \;$
$\wedge {\overline {e}}^{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\alpha }}_{\mu \nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }={\overline {e}}^{\omega }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\gamma }}}{\Lambda ^{\xi }}_{\omega }{{\overline {\Lambda }}^{\zeta }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}^{\gamma }}_{\alpha }{\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }{{\overline {\Gamma }}^{\beta }}_{\zeta \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\xi }{\Lambda ^{\xi }}_{\eta }{\dot {\overline {q}}}^{\eta }=e^{\xi }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\alpha }}}{{\overline {\Lambda }}^{\zeta }}_{\xi }{\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }{{\overline {\Gamma }}^{\beta }}_{\zeta \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\eta }{\dot {q}}^{\eta }\;$

(26.36)

Wyrażenie napisane na samym początku w (26.36) ma taką samą postać w każdym układzie współrzędnym, więc transformacja symboli Christoffela przedstawia się pomiędzy układami ogólnie słabozakrzywionymi o współrzędnych ogólnie uogólnionych w formie:

${\Lambda ^{\zeta }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}^{\sigma }}_{\alpha }{{\overline {\Gamma }}^{\xi }}_{\sigma \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\eta }={\Gamma ^{\zeta }}_{\alpha \eta }\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\zeta }}_{\xi }{\Lambda ^{\sigma }}_{\alpha }{\Gamma ^{\xi }}_{\sigma \nu }{\Lambda ^{\nu }}_{\eta }={{\overline {\Gamma }}^{\zeta }}_{\alpha \eta }\;$

(26.37)

Transformacja (26.37) jest transformacją przybliżoną, ale tensorową, bo symbole Christoffela są w przybliżeniu tam tensorami, ale nie dokładnie. Na podstawie obliczeń w punkcie wyraz w (26.36) wynika, że on ma taką samą postać we wszystkich układach współrzędnych nawet uogólnionych, a symbole Christoffela są w przybliżeniu tensorami dla układów słabozakrzywionych we współrzędnych ogólnie uogólnionych w układach przybliżeniu płaskich według (26.37), a symbole Christoffela dla układów słabozakrzywionych w przybliżeniu płaskich ogólnie nieprostokątnych są bardzo małe, co dalej:

${\overline {e}}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\mu }}_{\alpha \nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }=e_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{\alpha }}}{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \nu }{\dot {q}}^{\nu }\simeq 0\Rightarrow {\overline {e}}_{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\mu }}_{\alpha \nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }\simeq 0\wedge {\overline {e}}^{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\alpha }}_{\mu \nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }=e^{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }\simeq 0\Rightarrow {\overline {e}}^{\mu }{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\alpha }}}{{\overline {\Gamma }}^{\alpha }}_{\mu \nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }\simeq 0\;$

(26.38)

Na podstawie obliczeń (26.38) wzory (26.35) przedstawiają się w formie:

$\left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\mu }}}\right)_{,\nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}_{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}_{\mu }}}={\overline {Q}}_{z}^{\mu }\wedge \left({{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\mu }}}\right)_{,\nu }{\dot {\overline {q}}}^{\nu }-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}={\overline {Q}}_{z\mu }\Rightarrow {{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\overline {q}}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial {\overline {q}}^{\mu }}}={\overline {Q}}_{z\mu }\;$

(26.39)

Równanie (26.39) możemy napisać bez nadkreśleń, wtedy mamy równości (26.29). Na podstawie obliczeń dla równania Eulera-Lagrange'a dla (26.29) przechodząc z zakresu stosowalności od mechaniki Newtona do mechaniki Einsteina spełnionej w układzie słabozakrzywionym, otrzymany wzór o takiej samej postaci, co (26.29), jest również dobrze spełniona dla dużych prędkości (mechanika Einsteina) i małych prędkości (mechanika Newtona), z której pierwotnie przechodziliśmy, by udowodnić ten wzór dla mechaniki Einsteina z teorii transformacji dla układów słabozakrzywionych, ale opisanych we współrzędnych uogólnionych.

Inny dowód: Udowodnijmy równanie (26.39) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie nieprostokątne, wtedy dochodzimy do ostatniej równości (26.34), stosując procedurę (Proc. 20.1) możemy zastąpić w nim średnik przecinkiem, a tak można robić w układach ogólnie słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy dochodzimy do pierwszej równości w (26.39), według tej procedury układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne transformujemy na układy słabozakrzywione uważane za układy płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub we współrzędnych uogólnionych, wtedy dochodzimy do równości ostatniej (26.34), ale z definicji pochodnej tensorowej i równości ostatniej (26.34) wynika (26.35), a potem z tensorowości symboli Christoffela (26.37) i istnienia układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne mamy ostatnią równość (26.39), a więc ta równość jest przybliżonym równaniem drugiej zasady Lagrange'a w wersji tensorowej dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych.

Druga zasada Lagrange'a w wersji wektorowej i tensorowej, ale dla układów rozciągłych

W równaniu (26.23) napisanej w wersji wektorowej i (26.29) napisane w wersji tensorowej, wtedy pisząc lagrangian nieskończenie małego elementu zastąpmy $L\;$ przez $\delta L\;$, wtedy napiszmy:

${\mathfrak {L}}={{\delta L} \over {\delta V}}\;$

(26.40)

wykorzystując wnioski zastąpieniowe i podzieleniu tych równań obustronnie przez $\delta V\;$ otrzymujemy równania drugiej zasady Lagrange'a kolejno dla wersji wektorowej i tensorowej dla układów rozciągłych:

${{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q_{k}}}={\mathfrak {Q}}_{zk}\;$
${\mathfrak {Q}}_{zk}=\sum _{a=1}^{N}{\mathfrak {\vec {F}}}_{za}{{\partial {\vec {r}}_{a}} \over {\partial {\vec {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{N}{\mathtt {F}}_{zak}g_{ak}\;$

(26.41)

${{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q_{\mu }}}={\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }\wedge {{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\mu }}}={\mathfrak {Q}}_{z\mu }\;$
${\mathfrak {Q}}_{z\mu }=-c\sum _{\nu =1}^{nN}{\mathfrak {K}}_{z}^{\nu }{{\partial x_{\nu }} \over {\partial q_{\mu }}}=-c\sum _{a=1}^{N}{\mathtt {K}}_{z}^{a\mu }{g_{a}}^{\mu }\wedge {\mathfrak {Q}}_{z\mu }=-c\sum _{\nu =1}^{nN}{\mathfrak {K}}_{z}^{\nu }{{\partial x_{\nu }} \over {\partial q^{\mu }}}=-c\sum _{a=1}^{N}{\mathtt {K_{z\mu }^{a}}}g_{a\mu }\;$

(26.42)

• gdzie niektóre wielkości występujące we wzorach (26.41) i (26.42), zatem:

${\mathfrak {Q}}_{zk}\;$ to jest k-ta współrzędna gęstości siły uogólnionej zewnętrznej,

${\mathfrak {\vec {\mathtt {F}}}}_{zak}\;$ to jest gęstość wektora siły zewnętrznej a-tego ciała k-tej współrzędnej w układzie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych),

${\mathfrak {\mathtt {K}}}_{z\mu }^{a}\;$ to jest gęstość tensora siły zewnętrznej a-tego ciała μ-tej współrzędnej w układzie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych),

${\mathfrak {\vec {F}}}_{za}\;$ to jest gęstość wektora siły zewnętrznej a-tego ciała,

${\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }={{dQ_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$ i ${\mathfrak {Q}}_{z\mu }={{dQ_{z\mu }} \over {dV}}\;$ to są gęstości tensora siły uogólnionej zewnętrznej, pierwszy kontrawariantny i drugi kowariantny,

${\mathfrak {K}}_{z}^{\nu }={{dK_{z}^{\nu }} \over {dV}}\;$ to jest $\nu \;$ współrzędna gęstości tensora siły kontrawariantnej zewnętrznej współrzędnych N-tych ciał.

Wzór na tensor sił uogólnionych i jego addytywność

We wzorze tensorowym na drugą zasadę Lagrange'a dla szczególnej teorii względności (26.29) weźmy $L\rightarrow L_{o}+L\;$, wtedy otrzymujemy wzór na tensor siły uogólnionej i jego addytywność dla wskaźników górnych:

$Q_{o}^{\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}_{\mu }}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q_{\mu }}}\right)\;$

(26.43)

$Q^{\mu }=Q_{z}^{\mu }+Q_{o}^{\mu }\;$

(26.44)

$Q_{o\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{o}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial L_{o}} \over {\partial q^{\mu }}}\right)\;$

(26.45)

$Q_{\mu }=Q_{z\mu }+Q_{o\mu }\;$

(26.46)

Czyli stąd wiemy, że jak siła (22.6), czy tensor sił (22.15), to podobnie tensor siły uogólnionej też jest addytywny na podstawie (26.44) (wskaźniki na górze) i (26.46) (wskaźniki na dole).

Wzór na gęstość tensora sił uogólnionych i jego addytywność

Wzory (26.43), (26.44), (26.45) i (26.46) są też spełnione, gdy zamiast wielkości $L_{o}\;$, $Q_{o}^{\mu }\;$, $Q_{z}^{\mu }\;$ i $Q^{\mu }\;$ występują ich gęstości objętościowe, tzn. przedstawiają się w postaci:

${\mathfrak {Q}}_{o}^{\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial {\dot {\mathfrak {q}}}_{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial q_{\mu }}}\right)\;$

(26.47)

${\mathfrak {Q}}^{\mu }={\mathfrak {Q}}_{z}^{\mu }+{\mathfrak {Q}}_{o}^{\mu }\;$

(26.48)

${\mathfrak {Q}}_{o\mu }=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial {\dot {q}}^{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial q^{\mu }}}\right)\;$

(26.49)

${\mathfrak {Q}}_{\mu }={\mathfrak {Q}}_{z\mu }+{\mathfrak {Q}}_{o\mu }\;$

(26.50)

Czyli na podstawie (26.48) (wskaźniki na górze) i (26.50) (wskaźniki na dole) gęstość tensora siły uogólnionej jest wielkością addytywną.