Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni GalileuszaEdytuj

Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą:

(4.1)

Własność (4.1), tzn. transformację z na jest również spełniona w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Zestaw transformacji prostych i odwrotnych GalileuszaEdytuj

A jeżeli to z oczywistych powodów i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza:

Transformacje prosteTransformacje odwrotne
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)

Wzory (4.2), (4.3), (4.4) i (4.5) są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze i (gdzie ) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje (4.2), (4.3), (4.4) i (4.5) mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: .

Macierz transformacji równoległy i prostopadłyEdytuj

Przyjmujemy, że zachodzi wzór na w zależności od i , które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do , czyli:

(4.6)

We wzorze (4.6) przyjmujemy warunki na macierze i , czyli zachodzą . Związki (4.6) przyjmujemy również w szczególnej teorii względności.

Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowegoEdytuj

Przejrzyjmy się właściwości macierzy , i , którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem:

(4.7)

Macierz transformacji prosta i odwrotna - związkiEdytuj

Do (4.4) podstawmy (4.2) i (4.7), co na podstawie tego:

(4.8)

Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacjiEdytuj

Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.:

(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłegoEdytuj

Zachodzą tożsamości na iloczynach i :


(4.13)

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległychEdytuj

Weźmy wzór (4.10) i do niego podstawmy (4.9) i (4.7), zatem:


(4.14)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (4.8).

Tożsasmość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłychEdytuj

Weźmy wzór (4.12) i podstawmy do niego wzór (4.11), wtedy:


(4.15)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (4.8). Własności macierzy , i pokazane w punkcie (4.8), (4.13), (4.14) i (4.15) są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłymEdytuj

Ale:


(4.16)

Związek (4.16) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej GalileuszaEdytuj

W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek:

(4.17)

Gdzie jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza:

(4.18)

Wzór (4.18)(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a (4.17) będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako:

(4.19)

Wzór (4.19) jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z (4.8). Niech mamy (4.17) i (4.18) i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego (4.1), zatem przystępujemy do obliczeń:

(4.20)

Po wyznaczeniu macierzy ze wzoru (4.20) dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli (4.1), zatem wzory (4.17) i (4.18) są poprawne bo otrzymujemy z nich (4.1). Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną:

(4.21)

Tranformacje operatorów rzutowychEdytuj

Na podstawie (4.7) i (4.1) oraz dla operatorów rzutowych równoległych według (3.3) możemy otrzymać transformacje, które piszemy:

(4.22)

Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie (3.5) możemy otrzymać transformacje, które piszemy:

(4.23)

Transformacje dowolnych pochodnych wektora położeniaEdytuj

Na podstawie (4.2) możemy napisać transformacje, gdy zachodzi i , co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia:

(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)

Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowaEdytuj

A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza . Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy mamy

(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)

Policzmy wyrażenie (4.28) podstawiając do niego wyrażenie (4.29) na transformację położenia względem układu , która jest transformacją do układu , i wykorzystując (4.31) transformacje prędkości względem układu , która jest transformacją do układu , co w końcu otrzymujemy wzór (4.30), co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc wtedy:


(4.32)

Co końcowy wzór (4.32) zgadza się ze wzorem (4.30), te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla i , czyli wtedy , co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo.