Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensory w czasoprzestrzeni

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowychEdytuj

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego i kowariantnego , mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej (16.5):

(30.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeniEdytuj

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

(30.2)
  • gdzie pierwsza współrzędna jest to współrzędna czasowa, a jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeniEdytuj

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (30.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

(30.3)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (16.1) (przestrzeń nieprostokątna) i (16.2) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (16.12) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względnościEdytuj

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (30.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (16.1):

(30.4)
(30.5)

Zbierając wnioski (30.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (30.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(30.6)

Mechanika NewtonaEdytuj

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (30.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (30.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (30.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (16.12):

(30.7)
(30.8)

Zbierając wnioski (30.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (30.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(30.9)

Patrząc na (30.9) wielkości i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzennyEdytuj

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względnościEdytuj

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (30.2), zatem wzór (16.1) jest wyrażony:

(30.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (30.3), to końcową tożsamość wynikową (30.10) przepisujemy:

(30.11)

Co (30.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego ηij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

(30.12)

Mechanika NewtonaEdytuj

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego (16.6) w szczególnej teorii względności przy , które spełnia mechanika Newtona, jest (16.12) znając definicję tensora prędkości (30.3) przepiszmy:

(30.13)

Na podstawie obliczeń (30.13) w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła , co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem (30.9).

Tensor pędu w czasoprzestrzeniEdytuj

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (30.3), masy spoczynkowej badanego ciała m0 i prędkości światła w próżni:

(30.14)

Szczególna teoria względnościEdytuj

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (30.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(30.15)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(30.16)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (30.15), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (30.16), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(30.17)

Mechanika NewtonaEdytuj

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (30.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(30.18)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(30.19)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (30.18), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (30.19), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(30.20)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiegoEdytuj

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względnościEdytuj

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (30.17), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.2) przyjmuje postać:

(30.21)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (30.21) postać:

(30.22)
(30.23)

Mamy już transformację wektora pędu według (30.23), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(30.24)
(30.25)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

(30.26)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika NewtonaEdytuj

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (30.20), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.15) przyjmuje postać:

(30.27)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (30.27) postać:

(30.28)
(30.29)

Na podstawie (30.28) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (30.29), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(30.30)
(30.31)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

(30.32)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeniEdytuj

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (30.14) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (16.1) (lub (16.2)):

(30.33)

Szczególna teoria względnościEdytuj

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (30.33) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (19.14):

(30.34)

Wedle wzoru (30.22) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

(30.35)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (30.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m0c)2 i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (30.12), to:

(30.36)

Zróżniczkujmy obie strony równania (30.24) względem linii światła:

(30.37)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (30.37) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

(30.38)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (30.33) we wzorze (30.38), to:

(30.39)

W równaniu (30.33) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (30.33), właśnie ten element można zapisać:

(30.40)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (30.34) (część przestrzenna tensora siły) i (30.34) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

(30.41)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością względem układu K, i dalej ponieważ tensor jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły w (30.41) nie jest tensorem, a jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (30.41), a w mechanice Newtona według (30.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (30.9) mamy:

Mechanika NewtonaEdytuj

W mechanice Newtona według (30.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (30.9), mamy:

(30.42)

Wielkości w (30.42), tzn.: i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

(30.43)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku masEdytuj

Mając tensory położenia (30.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

(30.44)

Gdzie to tensor położenia ciała o numerze , a to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej możemy napisać w postaci podobnej do (24.2),tzn:

(30.45)

Wzór (30.45) podobnie się udowadnia jak wzór (24.2). A więc twierdzenie (30.45) zostało udowodnione. Wzory (30.44) i (30.45) są równoważne ze wzorami (24.1) i (24.2) dla i . Gdy we wzorze (30.44) mamy , gdzie w nim to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze , a także , to wtedy dostajemy:

(30.46)

Widzimy, że według wzoru (30.46) masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór (30.44) dla jest tożsamością. Stąd wzór (30.45) jest słuszny dla każdego dla . A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez , które jest zdefiniowane wzorem (19.10)(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas . Przepiszmy wzór (30.45) dla i , i , co po przekształceniu go wykorzystując (30.46) i (30.6) oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez , wtedy:

(30.47)

Stąd na podstawie (30.47) mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi i według (30.6), to możemy napisać w prawej i lewej stronie (30.46) wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości i , a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych:

(30.48)

Łącząc wzory (30.47) i (30.48) ze sobą w jeden wzór dostajemy:

(30.49)

Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas jest zdefiniowana według (30.46).

Tensor siły dla środka masEdytuj

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka (30.10) dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie (24.1) o środku mas układu cząstek, to wzory (30.33) i (30.41) są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły (24.9) ogólnie dla środka mas układów cząstek, a (24.9) udowodniliśmy wychodząc z (19.14). Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)Edytuj

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.

Twierdzenie pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych)
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji (popatrz na definicję macierzy transformacji (15.31) w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.