Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione

Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj będziemy zajmowali się macierzami transformacji w transformacjach Galileusza w mechanice Newtona i transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności.

Nazewnictwo transformacji w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Transformacje w teorii fizycznej są to transformacje transformujące współrzędne z jednego układu współrzędnych do drugiego. Transformacje w szczególnej teorii względności nazywają się transformacjami Lorentza, a transformacje w mechanice Newtona transformacjami Galileusza. Transformacje Lorentza dla prędkości $v\ll c\;$ przechodzą w transformacje Galileusza.

Macierz ogólna transformacji prosta i odwrotna

Podamy tutaj macierze transformacji prostą i odwrotną w teorii transformacji Lorenzta (szczególna teoria względności) i Galileusza (mechanika Newtona).

Teoria transformacji Lorentza

Będziemy tutaj liczyli macierze transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Spójrzmy na macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego, wiedząc to co wcześniej wyprowadziliśmy w punktach (6.2) i (7.10) przy wykorzystaniu pierwszej równości końcowej (7.14):

$M={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{V^{i}a_{i1}} \over {c}}&-\gamma {{V^{i}a_{i2}} \over {c}}&\cdots &-\gamma {{V^{i}a_{in}} \over {c}}\\-\sum _{i=1}^{n}m_{1j}{V^{j} \over c}&{m^{1}}_{1}&{m^{1}}_{2}&\cdots &{m^{1}}_{n}\\-\sum _{i=1}^{n}m_{2j}{V^{j} \over c}&{m^{2}}_{1}&{m^{2}}_{2}&\cdots &{m^{2}}_{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\sum _{i=1}^{n}m_{nj}{V^{j} \over c}&{m^{n}}_{1}&{m^{n}}_{2}&\cdots &{m^{n}}_{n}\\\end{bmatrix}}\;$

(11.1)

lub krócej używając macierzy M_p i wektora prędkości nowego układu współrzędnych:

$M={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}\;$ gdzie: $M_{p}={\begin{bmatrix}{m^{1}}_{1}&{m^{1}}_{2}&\cdots &{m^{1}}_{n}\\{m^{2}}_{1}&{m^{2}}_{2}&\cdots &{m^{2}}_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{m^{n}}_{1}&{m^{n}}_{2}&\cdots &{m^{n}}_{n}\\\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow M_{p}=C_{p}\left(P_{||}\gamma +P_{\perp }\right)=C_{p}\left[P_{||}(\gamma -1)+I\right]=\left[C_{pik}\left({{V_{k}V_{l}} \over {V^{2}}}a_{lj}(\gamma -1)+\delta _{kj}\right)\right]_{n\times n}\;$

(11.2)

Macierz odwrotna do (11.2) piszemy poprzez analogię do niego jako:

$M^{-1}=M^{'}={\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;$

(11.3)

Policzmy iloczyn macierzy na $M\;$ (11.2) przez macierz $M^{'}\;$ (11.3) wiedząc, że zachodzi (3.7), (4.1), (4.16), (5.1), (7.17), (7.18), (7.19), (8.2) i (8.3), a więc:

$MM^{'}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma ^{2}-\gamma ^{2}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A{{\vec {V}} \over {c}}&\gamma ^{2}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}C_{p}^{T}A^{'}-\gamma ^{2}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}AC_{p}^{-1}\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\gamma +M_{p}\gamma C_{p||}^{'}C_{p||}{{\vec {V}} \over {c}}&-\gamma M_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {c^{2}}}C_{p}^{T}A^{'}+M_{p}M_{p}^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}1&0\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\gamma +\gamma M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&-\gamma M_{p}P_{||}C_{p}^{'}{{V^{2}} \over {c^{2}}}+M_{p}M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\gamma ^{2}C_{p||}C_{p||}^{'}{{V^{2}} \over {c^{2}}}+\gamma ^{2}C_{p||}C_{p||}^{'}+C_{p\perp }C_{p\perp }^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p||}C_{p||}^{'}+C_{p\perp }C_{p\perp }^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I\Rightarrow MM^{'}=I\Rightarrow M^{'}=M^{-1}\;$

(11.4)

Na podstawie (11.4) macierz (11.3) jest macierzą odwrotną do (11.2). Ale ponieważ powinno zachodzić, że macierz $M\;$ (11.2) jest odwrotną macierzą do (11.3), tzn. $MM^{'}=I\;$ to według (11.4) zachodzi zawsze w szczególnej teorii względności to (4.1) (tzn. $A=C_{p}^{T}A^{'}C_{p}\;$) bez założenia $\gamma ^{'}=\gamma \;$ (7.19), które w (11.4) przyjęto, a z takiej transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej wynika to założenie, ta transformacja jest taka, bo prędkość nowego układu odniesienia w szczególnej teorii względności względem starego jest dowolna, tzn. $v<c\;$, co kończy dowód tej zależności. Ten dowód też można pokazać inaczej:

$MM^{'}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma \gamma ^{'}-\gamma \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A{{\vec {V}} \over {c}}&\gamma \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}C_{p}^{T}A^{'}-\gamma \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}AC_{p}^{-1}\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\gamma ^{'}+M_{p}\gamma ^{'}C_{p||}^{'}C_{p||}{{\vec {V}} \over {c}}&-\gamma ^{'}M_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {c^{2}}}C_{p}^{T}A^{'}+M_{p}M_{p}^{'}\end{bmatrix}}$

(11.5)

Aby wyraz $1\times 2\;$ w ostatniej macierzy w (11.5) (macierz po ostatniej równości) był dokładnie równy zero przy dowolnym wektorze prędkości ${\vec {V}}\;$ nowego układu odniesienia względem starego to musi zachodzić (4.1) (wzór, czyli transformacja w tym przypadku, po ostatnim wynikaniu) jak transformacja macierzy iloczynu skalarnego w przestrzeni z czasem absolutnym, ale wtedy zachodzi (7.18), co na podstawie tego mamy (7.19), dalej dowód w (11.5) przebiega tak samo jak w (11.4), zatem $MM^{'}=I\Rightarrow M^{'}=M^{-1}\;$. Co kończy dowód przy innym podejściu czemu jest równa macierz transformacji $M^{'}\;$ (primowana) (przejścia z układu nowego do starego znając macierz transformacji przejścia z układu starego do nowego). Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.2), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {X}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {X}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili $t\;$) i ${\vec {X}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla $t=t_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

$X_{u}^{'}=M(X_{u}-X_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}ct^{'}\\{\vec {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\gamma }}&-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c(t-t_{0})\\{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma \left(c\left(t-t_{0}\right)-{{\left({\vec {V}},{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\right)} \over {c}}\right)\\M_{p}\left({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow t^{'}=\gamma \left((t-t_{0})-{{\left({\vec {V}},{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\right)} \over {c^{2}}}\right)\wedge {\vec {X}}_{pu}={\vec {V}}(t-t_{0})+{\vec {X}}_{p0}\wedge \wedge X_{p}^{'}=M_{p}\left({\vec {X}}_{p}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)$

(11.6)

• A transformacje położenia w (11.6) piszemy, zastępując ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}\;$ i ${\vec {\overline {0}}}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}^{'}\;$.

W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie (11.6) według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich.

Układy słabozakrzywione

Weźmy macierz transformacji $M\;$ (11.2) z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji ${\overline {M}}\;$ stosujemy wzory (10.4), (10.6), (10.11), (10.12) i (10.15), w takim razie:

${\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\gamma &-\lambda ^{'}\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}\gamma &-\lambda ^{'}\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A{\overline {\Lambda }}^{-1}\\-\lambda ^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{\overline {\Lambda }}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}\gamma &-\lambda ^{'}\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}{\overline {\Lambda }}^{T}{\overline {A}}\\-\lambda ^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}(\gamma P_{||}+P_{\perp }){\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}(\gamma P_{||}+P_{\perp }){\overline {\Lambda }}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{\overline {\gamma }}&-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}({\overline {\overline {\gamma }}}{\overline {P}}_{||}+{\overline {P}}_{\perp })\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\lambda }}^{'}\lambda ^{-1}\gamma &-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {M}}_{p}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{\overline {\gamma }}&-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {M}}_{p}\end{bmatrix}}\;$

(11.7)

Macierz transformacji (11.7) transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi (11.2). Zachodzi dla macierzy ${\overline {M}}\;$, tzn.:

${\overline {M}}{\overline {M}}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}\left({\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}\right)^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}{\overline {\Lambda }}M^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}MM^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}=I\;$

(11.8)

z właściwości macierzy ${\overline {\Lambda }}\;$, tzn. macierzy (10.1), i macierzy $M\;$ (11.2). Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.7), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {\overline {X}}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili ${\overline {t}}\;$) i ${\vec {\overline {X}}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla ${\overline {t}}={\overline {t}}_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

${\overline {X}}_{u}^{'}={\overline {M}}({\overline {X}}_{u}-{\overline {X}}_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}c{\overline {t}}^{'}\\{\vec {\overline {0}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{\overline {\gamma }}&-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {M}}_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\\{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\gamma }}\left(\lambda ^{'}\lambda ^{-1}c\left({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0}\right)-\lambda ^{'}\lambda {{\left({\vec {\overline {V}}},{\vec {X}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)} \over {c}}\right)\\{\overline {M}}_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {t}}^{'}={\overline {\gamma }}\left(\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-\lambda ^{'}\lambda {{\left({\vec {\overline {V}}},{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)} \over {c^{2}}}\right)\wedge {\vec {\overline {X}}}_{pu}={\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})+{\vec {\overline {X}}}_{p0}\wedge {\overline {X}}_{p}^{'}=M_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{p}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)$

(11.9)

• A transformacje położenia w (11.9) piszemy, zastępując ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}\;$ i ${\vec {\overline {0}}}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}^{'}\;$.

W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie (11.9) według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w (11.9) przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich (11.6) według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.3) korzystając z macierzy transformacji (10.1), co stąd wynikającego wniosku (10.4).

• Pewne rozważanie:

Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł:

${\overline {t}}^{'}=\lambda ^{'}{\overline {\overline {t}}}^{'}\;$

(11.10)

$\lambda ^{-1}{\overline {t}}={\overline {\overline {t}}}\;$

(11.11)

czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako:

${\overline {\overline {t}}}=\lambda ^{-1}{\overline {t}}\;$

(11.12)

Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: ${\vec {\overline {\overline {V}}}}=\lambda {\vec {\overline {V}}}\;$) według (11.12) otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla szczególnej teorii względności, czyli transformacje (11.2). Gdy $\lambda ^{'}=\lambda =1\;$ w macierzy transformacji (11.7) to transformację są takie same jakie wyprowadził je Albert Einstein.

• Rozważmy inaczej!

Weźmy transformację prędkości światła $c\;$ z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego wiedząc, że długości wektorów w przestrzeni zwykłej się nie transformują przy takiej transformacji (bo (10.9)) i mając transformację czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (pierwszy związek końcowy w (10.4)), wtedy mamy transformację:

${\overline {c}}=\lambda ^{-1}c\;$

(11.13)

• Na podstawie (11.13) prędkość światła jest inna dla różnych $\lambda \;$ (ten obiekt jest funkcją będącą liczbą uogólnioną), i dla różnych części naszego wszechświata może być tak, że prędkość światła ${\overline {c}}\;$ jest ogólnie inna, czyli ta prędkość światła nie jest stałą, tylko jest funkcją.

Wtedy transformacja czasu z układu jednego inercjalnego do drugiego, słabozakrzywonych na podstawie (11.9), przedstawia się ona:

${\overline {t}}^{'}={\overline {\gamma }}\left(\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{{\left({\vec {\overline {V}}},{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)} \over {{\overline {c}}^{2}}}\right)\;$

(11.14)

Weźmy zależność $\lambda =\lambda ^{'}\;$, w takim razie transformacja (11.14) przy tym założeniu przedstawia się jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego szczególnej teorii względności, i prędkość światła w nowym i starym układzie odniesienia w danym punkcie jest taka sama (bo nasze założenie), a także może zmieniać się z punktu do punktu, ale nie jest taka sama we całym wszechświecie (bo (11.13)), a macierz transformacji z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w (11.9) jest w (11.2), taka sama jak dla wspomnianego układu.

Teoria transformacji Galileusza

Będziemy tutaj wyliczali macierz transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych według transformacji Galileusza.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Macierz transformacji w porównaniu w transformacjach Lorentza ze szczególnej teorii względności w transformacjach Galileusza wiedząc jaka jest macierz $C_{p}\;$ i prędkość nowego układu odniesienia jest dla prędkości $v\ll c\;$, co dzięki temu przechodząc z jego wersji relatywistycznej do nierelatywistycznej przedstawia się w formie:

$M={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}$

(11.15)

Działając macierzą (11.15) na położenie w starym układzie odniesienia otrzymujemy położenie ciała w nowym układzie odniesienia nieobracającym się.

${\begin{bmatrix}cdt^{'}\\d{\vec {r}}^{'}\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}cdt\\C_{p}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)\end{bmatrix}}$

(11.16)

Na podstawie transformacji (11.16) otrzymujemy, że czas jest absolutny i spełnione są transformacje Galileusza (4.2). Odwrotną macierzą transformacji $M^{'}\;$ do macierzy transformacji prostej (11.15) piszemy:

$M^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}$

(11.17)

Udowodnijmy, że macierz $M^{'}\;$ (11.17) jest macierzą odwrotną do macierzy $M\;$ (11.15) wykorzystując (4.7) i (4.8), wtedy:

$MM^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}-C_{p}C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}C_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I$

(11.18)

Stąd na podstawie (11.18) macierz transformacji $M^{'}\;$ (11.17) jest macierzą odwrotną do macierzy $M\;$ (11.15), zatem zachodzi $M^{'}=M^{-1}\;$. Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.15), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {\overline {X}}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili ${\overline {t}}\;$) i ${\vec {\overline {X}}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla ${\overline {t}}={\overline {t}}_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

$X_{u}^{'}=M(X_{u}-X_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}ct^{'}\\{\vec {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c(t-t_{0})\\{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c(t-t_{0})\\C_{p}\left({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow t^{'}=t-t_{0}\wedge {\vec {X}}_{pu}={\vec {V}}(t-t_{0})+{\vec {X}}_{p0}\wedge X_{p}^{'}=C_{p}\left({\vec {X}}_{p}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)$

(11.19)

W transformacjach Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie (11.19) według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza (11.19) wynika ze wzoru (11.6) z teorii transformacji Lorentza dla prędkości $v\ll c\;$.

Układy słabozakrzywione

Weźmy macierz transformacji $M\;$ (11.15) z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji ${\overline {M}}\;$ stosujemy wzory (10.4), (10.6) i (10.15), w takim razie:

${\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}&0\\-{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {C}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {C}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}\end{bmatrix}}\;$

(11.20)

Macierz transformacji (11.20) transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi (11.15). Zachodzi dla macierzy ${\overline {M}}\;$, tzn.: (11.8), z właściwości macierzy ${\overline {\Lambda }}\;$, tzn. macierzy (10.1), i macierzy $M\;$ (11.15). Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.20), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {\overline {X}}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili ${\overline {t}}\;$) i ${\vec {\overline {X}}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla ${\overline {t}}={\overline {t}}_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

${\overline {X}}_{u}^{'}={\overline {M}}({\overline {X}}-{\overline {X}}_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}c{\overline {t}}^{'}\\{\vec {\overline {0}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {C}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\\{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\\{\overline {C}}_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {t}}^{'}=\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\wedge {\vec {\overline {X}}}_{pu}={\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})+{\vec {\overline {X}}}_{p0}\wedge {\overline {X}}_{p}^{'}=C_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{p}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)$

(11.21)

• A transformacje położenia w (11.21) piszemy, zastępując ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}\;$ i ${\vec {\overline {0}}}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}^{'}\;$.

Według transformacji Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie (11.21) według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza (11.21) wynika ze wzoru (11.9) z teorii transformacji Lorentza dla prędkości $v\ll c\;$. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w (11.21) przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich (11.19) według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.3) korzystając z macierzy transformacji (10.1), co stąd wynikającego wniosku (10.4).

• Pewne rozważanie:

Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł:

${\overline {t}}^{'}=\lambda ^{'}{\overline {\overline {t}}}^{'}\;$

(11.22)

$\lambda ^{-1}{\overline {t}}={\overline {\overline {t}}}\;$

(11.23)

czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako:

${\overline {\overline {t}}}=\lambda ^{-1}{\overline {t}}\;$

(11.24)

Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: ${\vec {\overline {\overline {V}}}}=\lambda {\vec {\overline {V}}}\;$) według (11.24) otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla transformacji Galileusza w mechanice Newtona, czyli transformacje (11.15). Gdy $\lambda ^{'}=\lambda =1\;$ w macierzy transformacji (11.20) to transformację są takie same jakie wyprowadził je Galileusz.

• Rozważmy inaczej!

W (11.21) weźmy $\lambda =\lambda ^{'}\;$, wtedy transformacja czasu na podstawie (11.21) jest tożsamościowa, czyli czas jest absolutny w mechanice Newtona, a macierz transformacji tam z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w mechanice Newtona jest w (11.15), taka sama jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie matematyczne, a fizyczne układy słabozakrzywione lokalnie płaskie fizyczne

Transformację w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności pomiędzy układami słabozakrzywionymi udowodnialiśmy wychodząc z transformacji pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi matematycznymi, a te układy, które istnieją w ogólnej teorii względności lokalnie płaskie fizyczne są w rzeczywistości układami słabozakrzywionymi, ale innego rodzaju, niż te lokalnie płaskie matematyczne. A jeżeli będziemy pisać prędkość światła $c\;$ w układach słabozakrzywionych, to będziemy mieli później na myśli prędkość światła ${\overline {c}}\;$ znaną z lekcji fizyki.

Transformacje pomiędzy układami we współrzędnych krzywoliniowych

Transformacja z jednego układu współrzędnych do drugiego macierzy transformacji przedstawia się według wzoru przedstawionego w punkcie (10.15), tak też udowadniamy macierz transformacji dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi wiedząc jaka jest macierz transformacji starego i nowego układu słabozakrzywionego, które uważamy globalnie (lokalnie) płaskiego ogólnie nieprostokątne, lub globalnie (lokalnie) płaskiego ogólnie nieprostokątne do ich odpowiedników będących układami krzywoliniowych, a te dwie ostatnie macierze transformacji są w takiej samej postaci jak macierz (10.1), a więc macierz dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi tak samo się udowadnia jak macierz w szczególnej teorii względności (11.7) i mechanice Newtona (11.20) pomiędzy układami słabozakrzywionymi, tylko inna jest definicja tych dwóch macierzy dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi, niż słabozakrzywionymi, które uważamy za płaskie, lub globalnie (lokalnie) płaskimi, ale o takiej samej postaci.