Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj będziemy zajmowali się macierzami transformacji w transformacjach Galileusza w mechanice Newtona i transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności.

Nazewnictwo transformacji w szczególnej teorii względności i mechanice NewtonaEdytuj

Transformacje w teorii fizycznej są to transformacje transformujące współrzędne z jednego układu współrzędnych do drugiego. Transformacje w szczególnej teorii względności nazywają się transformacjami Lorentza, a transformacje w mechanice Newtona transformacjami Galileusza. Transformacje Lorentza dla prędkości przechodzą w transformacje Galileusza.

Macierz ogólna transformacji prosta i odwrotnaEdytuj

Podamy tutaj macierze transformacji prostą i odwrotną w teorii transformacji Lorenzta (szczególna teoria względności) i Galileusza (mechanika Newtona).

Teoria transformacji LorentzaEdytuj

Będziemy tutaj liczyli macierze transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskieEdytuj

Spójrzmy na macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego, wiedząc to co wcześniej wyprowadziliśmy w punktach (6.2) i (7.10) przy wykorzystaniu pierwszej równości końcowej (7.14):

(11.1)

lub krócej używając macierzy Mp i wektora prędkości nowego układu współrzędnych:

gdzie:
(11.2)

Macierz odwrotna do (11.2) piszemy poprzez analogię do niego jako:

(11.3)

Policzmy iloczyn macierzy na (11.2) przez macierz (11.3) wiedząc, że zachodzi (3.7), (4.1), (4.16), (5.1), (7.17), (7.18), (7.19), (8.2) i (8.3), a więc:



(11.4)

Na podstawie (11.4) macierz (11.3) jest macierzą odwrotną do (11.2). Ale ponieważ powinno zachodzić, że macierz (11.2) jest odwrotną macierzą do (11.3), tzn. to według (11.4) zachodzi zawsze w szczególnej teorii względności to (4.1) (tzn. ) bez założenia (7.19), które w (11.4) przyjęto, a z takiej transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej wynika to założenie, ta transformacja jest taka, bo prędkość nowego układu odniesienia w szczególnej teorii względności względem starego jest dowolna, tzn. , co kończy dowód tej zależności. Ten dowód też można pokazać inaczej:

(11.5)

Aby wyraz w ostatniej macierzy w (11.5) (macierz po ostatniej równości) był dokładnie równy zero przy dowolnym wektorze prędkości nowego układu odniesienia względem starego to musi zachodzić (4.1) (wzór, czyli transformacja w tym przypadku, po ostatnim wynikaniu) jak transformacja macierzy iloczynu skalarnego w przestrzeni z czasem absolutnym, ale wtedy zachodzi (7.18), co na podstawie tego mamy (7.19), dalej dowód w (11.5) przebiega tak samo jak w (11.4), zatem . Co kończy dowód przy innym podejściu czemu jest równa macierz transformacji (primowana) (przejścia z układu nowego do starego znając macierz transformacji przejścia z układu starego do nowego). Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.2), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz (położenie ciała odniesienia w chwili ) i (położenie ciała odniesienia dla ) w starym układzie odniesienia:


(11.6)
  • A transformacje położenia w (11.6) piszemy, zastępując przez i przez .

W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie (11.6) według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich.

Układy słabozakrzywioneEdytuj

Weźmy macierz transformacji (11.2) z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji stosujemy wzory (10.4), (10.6), (10.11), (10.12) i (10.15), w takim razie:



(11.7)

Macierz transformacji (11.7) transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi (11.2). Zachodzi dla macierzy , tzn.:

(11.8)

z właściwości macierzy , tzn. macierzy (10.1), i macierzy (11.2). Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.7), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz (położenie ciała odniesienia w chwili ) i (położenie ciała odniesienia dla ) w starym układzie odniesienia:


(11.9)
  • A transformacje położenia w (11.9) piszemy, zastępując przez i przez .

W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie (11.9) według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w (11.9) przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich (11.6) według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.3) korzystając z macierzy transformacji (10.1), co stąd wynikającego wniosku (10.4).

  • Pewne rozważanie:

Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł:

(11.10)
(11.11)

czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako:

(11.12)

Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: ) według (11.12) otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla szczególnej teorii względności, czyli transformacje (11.2). Gdy w macierzy transformacji (11.7) to transformację są takie same jakie wyprowadził je Albert Einstein.

  • Rozważmy inaczej!

Weźmy transformację prędkości światła z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego wiedząc, że długości wektorów w przestrzeni zwykłej się nie transformują przy takiej transformacji (bo (10.9)) i mając transformację czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (pierwszy związek końcowy w (10.4)), wtedy mamy transformację:

(11.13)
  • Na podstawie (11.13) prędkość światła jest inna dla różnych (ten obiekt jest funkcją będącą liczbą uogólnioną), i dla różnych części naszego wszechświata może być tak, że prędkość światła jest ogólnie inna, czyli ta prędkość światła nie jest stałą, tylko jest funkcją.

Wtedy transformacja czasu z układu jednego inercjalnego do drugiego, słabozakrzywonych na podstawie (11.9), przedstawia się ona:

(11.14)

Weźmy zależność , w takim razie transformacja (11.14) przy tym założeniu przedstawia się jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego szczególnej teorii względności, i prędkość światła w nowym i starym układzie odniesienia w danym punkcie jest taka sama (bo nasze założenie), a także może zmieniać się z punktu do punktu, ale nie jest taka sama we całym wszechświecie (bo (11.13)), a macierz transformacji z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w (11.9) jest w (11.2), taka sama jak dla wspomnianego układu.

Teoria transformacji GalileuszaEdytuj

Będziemy tutaj wyliczali macierz transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych według transformacji Galileusza.

Układy globalnie (lokalnie) płaskieEdytuj

Macierz transformacji w porównaniu w transformacjach Lorentza ze szczególnej teorii względności w transformacjach Galileusza wiedząc jaka jest macierz i prędkość nowego układu odniesienia jest dla prędkości , co dzięki temu przechodząc z jego wersji relatywistycznej do nierelatywistycznej przedstawia się w formie:

(11.15)

Działając macierzą (11.15) na położenie w starym układzie odniesienia otrzymujemy położenie ciała w nowym układzie odniesienia nieobracającym się.

(11.16)

Na podstawie transformacji (11.16) otrzymujemy, że czas jest absolutny i spełnione są transformacje Galileusza (4.2). Odwrotną macierzą transformacji do macierzy transformacji prostej (11.15) piszemy:

(11.17)

Udowodnijmy, że macierz (11.17) jest macierzą odwrotną do macierzy (11.15) wykorzystując (4.7) i (4.8), wtedy:

(11.18)

Stąd na podstawie (11.18) macierz transformacji (11.17) jest macierzą odwrotną do macierzy (11.15), zatem zachodzi . Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.15), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz (położenie ciała odniesienia w chwili ) i (położenie ciała odniesienia dla ) w starym układzie odniesienia:


(11.19)

W transformacjach Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie (11.19) według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza (11.19) wynika ze wzoru (11.6) z teorii transformacji Lorentza dla prędkości .

Układy słabozakrzywioneEdytuj

Weźmy macierz transformacji (11.15) z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji stosujemy wzory (10.4), (10.6) i (10.15), w takim razie:


(11.20)

Macierz transformacji (11.20) transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi (11.15). Zachodzi dla macierzy , tzn.: (11.8), z właściwości macierzy , tzn. macierzy (10.1), i macierzy (11.15). Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.20), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz (położenie ciała odniesienia w chwili ) i (położenie ciała odniesienia dla ) w starym układzie odniesienia:


(11.21)
  • A transformacje położenia w (11.21) piszemy, zastępując przez i przez .

Według transformacji Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie (11.21) według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza (11.21) wynika ze wzoru (11.9) z teorii transformacji Lorentza dla prędkości . Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w (11.21) przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich (11.19) według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.3) korzystając z macierzy transformacji (10.1), co stąd wynikającego wniosku (10.4).

  • Pewne rozważanie:

Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł:

(11.22)
(11.23)

czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako:

(11.24)

Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: ) według (11.24) otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla transformacji Galileusza w mechanice Newtona, czyli transformacje (11.15). Gdy w macierzy transformacji (11.20) to transformację są takie same jakie wyprowadził je Galileusz.

  • Rozważmy inaczej!

W (11.21) weźmy , wtedy transformacja czasu na podstawie (11.21) jest tożsamościowa, czyli czas jest absolutny w mechanice Newtona, a macierz transformacji tam z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w mechanice Newtona jest w (11.15), taka sama jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie matematyczne, a fizyczne układy słabozakrzywione lokalnie płaskie fizyczneEdytuj

Transformację w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności pomiędzy układami słabozakrzywionymi udowodnialiśmy wychodząc z transformacji pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi matematycznymi, a te układy, które istnieją w ogólnej teorii względności lokalnie płaskie fizyczne są w rzeczywistości układami słabozakrzywionymi, ale innego rodzaju, niż te lokalnie płaskie matematyczne. A jeżeli będziemy pisać prędkość światła w układach słabozakrzywionych, to będziemy mieli później na myśli prędkość światła znaną z lekcji fizyki.

Transformacje pomiędzy układami we współrzędnych krzywoliniowychEdytuj

Transformacja z jednego układu współrzędnych do drugiego macierzy transformacji przedstawia się według wzoru przedstawionego w punkcie (10.15), tak też udowadniamy macierz transformacji dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi wiedząc jaka jest macierz transformacji starego i nowego układu słabozakrzywionego, które uważamy globalnie (lokalnie) płaskiego ogólnie nieprostokątne, lub globalnie (lokalnie) płaskiego ogólnie nieprostokątne do ich odpowiedników będących układami krzywoliniowych, a te dwie ostatnie macierze transformacji są w takiej samej postaci jak macierz (10.1), a więc macierz dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi tak samo się udowadnia jak macierz w szczególnej teorii względności (11.7) i mechanice Newtona (11.20) pomiędzy układami słabozakrzywionymi, tylko inna jest definicja tych dwóch macierzy dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi, niż słabozakrzywionymi, które uważamy za płaskie, lub globalnie (lokalnie) płaskimi, ale o takiej samej postaci.