Wikipedysta:Persino/Teoria jądra atomowego/Model kroplowy jądra atomowego

Każde jądro wykazuje defekt masy, który jest różnicą masy składników i masy samego jądra, i którą to energia wiązania jądra w fizyce przestawimy:

$\Delta M(N,Z)=NM_{n}+ZM_{p}-M(N,Z)\;$ (5.1)

$B(N,Z)=\Delta M(N,Z)c^{2}\;$ (5.2)

Widzimy w (5.1), aby defekt jądra wystąpił i jądro takie istniało, to defekt masy musi być wielkością nieujemną i niezerową. Badając wszystkie jądra dochodzimy do wniosku, że maksymalna wartość energii wiązania B(N,Z) przypadająca na jeden nukleon wynosi 8,8MeV i przypada dla jąder o liczbach masowych A≈60. Dla ciężkich jąder, których liczba masowa jest w przybliżeniu 250, ta energia jest 7,5 MeV. Mimo dużego nie zmieniania się energii wiązania przypadającego na jeden nukleon, która wynika z wysycania sił jądrowych, to różnica energii przypadająca na jeden nukleon dla A≈100 i A≈240 jest około 1 MeV.

Formuła na energię wiązania jąder atomowych została zaproponowana przez Bethego-Weizsäckera w 1935, która opisuje naładowaną kroplę cieczy, którego parametry zostały wyznaczone fenomenologicznie. Współczesną formę zaproponował w 1953 Green i Bethe, które postać tego równania jest:

$B(N,Z)=b_{vol}A-b_{surf}A^{{2} \over {3}}-{{1} \over {2}}b_{sym}{{(N-Z)^{2}} \over {A}}-{{3} \over {5}}{{Z^{2}e^{2}} \over {r_{0}}}A^{-{{1} \over {3}}}\;$

(5.3)

Poszczególne stałe występujące we wzorze (5.3) składają się z członu objętościowego liniowego do A, powierzchniowego proporcjonalnego do A^2/3, a także z członu symetrii i kulombowskiego proporcjonalnego do A^-1/3:

• b_vol=15,56 MeV
• b_surf=17,23 MeV
• b_sym=46,57 MeV
• r₀=1,24 fm

Człon powierzchniowy zmniejsza energię wiązania jądra atomowego powodując, że nukleonu występujące na powierzchni są słabiej związane, a człon symetrii zmniejsza energie wiązania dla przypadku liczby neutronów N różnego od liczby protonów Z.

Ścieżka stabilności rozpadów β

Podstawiamy wzór na energię wiązania jądra atomowego (5.3) na masę jądra atomowego wynikającego ze wzoru (5.1), to wtedy otrzymamy:

$M(Z,N)=ZM_{p}+NM_{n}-b_{vol}A+b_{surf}A^{{2} \over {3}}+{{1} \over {2}}b_{sym}{{(N-Z)^{2}} \over {A}}+{{3} \over {5}}{{Z^{2}e^{2}} \over {r_{0}A^{{1} \over {2}}}}\;$

(5.4)

Jądra stabilne ze względu na rozpad β^±, są to jądra w których masa jądra ze względu na liczbę protonów lub neutronów przyjmuje wartość najmniejszą, tzn. spełniają warunki:

${{\partial M} \over {\partial N}}{\Bigg |}_{A=\operatorname {const} }=0\;$ (5.5)

${{\partial M} \over {\partial Z}}{\Bigg |}_{A=\operatorname {const} }=0\;$ (5.6)

Jeśli zastosujemy warunek dla jąder stabilnych ze względu na rozpad β (5.6) używając przy tym wzoru (5.4) określające masę jądra atomowego:

${{\partial } \over {\partial Z}}\left[ZM_{p}+(A-Z)M_{n}-b_{vol}A+b_{surf}A^{{2} \over {3}}+{{1} \over {2}}b_{sym}{{(A-2Z)^{2}} \over {A}}+{{3} \over {5}}{{Z^{2}e^{2}} \over {r_{0}A^{{1} \over {3}}}}\right]_{A=\operatorname {const} }=0\;$

(5.7)

Co warunek stabilności (5.7) możemy zapisać w zależności od liczby Z, która przestawia się:

$M_{p}-M_{n}-b_{sym}{{2(A-2Z)} \over {A}}+{{6} \over {5}}{{Ze^{2}} \over {r_{0}A^{{1} \over {3}}}}=0\;$

(5.8)

We wzorze (5.8) możemy podstawić za symbol Z symbol Z₀, i dalej grupując wyrazy zależne od Z₀ po prawej stronie i niezależne od niego po jego lewej stronie, w których to dla wyrazów znajdujących się po jego prawej stronie wyłączamy Z₀ przed nawias.

$A(M_{p}-M_{n})-4b_{sym}\left({{A} \over {2}}-Z_{0}\right)+{{6} \over {5}}{{e^{2}} \over {r_{0}}}Z_{0}A^{{2} \over {3}}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow A(M_{n}-M_{p}+2b_{sym})=Z_{0}\left(4b_{sym}+{{6} \over {5}}{{e^{2}} \over {r_{0}}}Z_{0}A^{{2} \over {3}}\right)$

(5.9)

Patrząc na końcowe obliczenia przeprowadzone w punkcie (5.9), z którego to możemy otrzymać wzór na liczbę atomową, której odpowiada maksymalna energia wiązania jądra atomowego:

$Z_{0}={{A(M_{n}-M_{p}+2b_{sym})} \over {4b_{sym}+{{6} \over {5}}{{e^{2}} \over {r}}A^{{2} \over {3}}}}\;$

(5.10)

Wzór (5.10) przestawia jaki ma mieć parametr Z dla trwałego jądra dla ściśle określonej liczby masowej A, dla którego w wyniku rozpadu β^± dążą sąsiednie izobary. Ścieżkę stabilności można dobrze aproksymować przez empiryczny wzór podanym przez Greena, który jest napisany:

$(N-Z)_{\beta {\mbox{ stabilne}}}={{0,4A^{2}} \over {A+200}}\;$

(5.11)

Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A=102	Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A=135

Szczałki występujące w na rysunkach obok odpowiadając kolejnym przemianom β^± (szczałki w lewo odpowiadają linią rozpadu β⁺, a w prawo odpowiadają linią rozpadu β^-), a linie żółte i niebieskie na pierwszym rysunku z lewej zwane liniami odpadania neutronów lub protonów, które odpowiadają granicę nadwyżki protonów w jądrach o danym Z lub neutronów dla danych jąder o danym N, którym odpowiadają zerowe energie separacji neutronu S_n i protonów S_p w jądrze, tzn. energią wiązania tych jąder przyjmujących wartość największą. Energie separacji definiujemy następująco:

$S_{n}(N,Z)=B(N,Z)-B(N-1,Z)\;$ (5.12)

$S_{p}(N,Z)=B(N,Z)-B(N,Z-1)\;$ (5.13)

Równania linii zerowej odpowiadające energią separacji neutronu (5.12) i protonu (5.13) są to linie, które można otrzymać biorąc pochodną cząstkową energii wiązania neutronu względem N przy stałej liczbie protonów Z lub energii wiązania protonu względem Z przy stałej liczbie neutronów N, czyli inaczej dla jąder których odpowiada zerowa wartość ich energii separacji, którego to związki są napisane wzorami:

$S_{n}(N,Z)\simeq {{\partial B} \over {\partial N}}{\Bigg |}_{Z=\operatorname {const} }=0\;$ (5.14)

$S_{n}(N,Z)\simeq {{\partial B} \over {\partial Z}}{\Bigg |}_{N=\operatorname {const} }=0\;$ (5.15)

Jądra występujące w przyrodzie, jak i też wyprodukowane sztucznie w wyniku reakcji jądrowych, grupują się między tymi liniami napisanego przez wzory (5.14) i (5.15).

Pary nukleonowe i jego energia tworzenia

Wzór (5.4) nie zawiera członu uwzględniająca silniejsze wiązanie jąder o parzystej liczbie neutronów lub protonów. Energia tworzenia naszych par nukleonów uwzględniający jednakowe spiny pary nukleonowej przeciwnie skierowanych, co tą energię można oszacować z energii separacji dla danego jadra atomowego. Weźmy sobie jądro, które posiada energię E_rdz, który jest energią parzystego rdzenia, i posiadającego parę nukleonów lub jeden nukleon na zewnętrznej powłoce, a także uwzględniając energię pary nukleonów, co zwana jest energią z języka angielskiego jako energia pairing E_oddz, a także uwzględniający energię stanów jedno-cząstkowych nukleonów walencyjnych E_sp, to całą energię jądra parzystego możemy przestawić:

$E=E_{rdz}+E_{oddz}+2E_{sp}\;$

(5.16)

Energia wiązania w pary E_oddz przypadająca na jeden nukleon możemy wyrazić przez:

$\Delta =E_{oddz}/2\;$

(5.17)

Energia separacji dla N-tego nukleonu jest zapisana:

$S_{n}(N,Z)=E_{oddz}+E_{sp}\;$

(5.18)

Energia separacji dla neutronu dla N-1, jak i dla N+1 możemy wyrazić przez:

$S_{n}(N-1,Z)=E_{sp}\;$ (5.19)

$S_{n}(N+1,Z)=E_{sp}\;$ (5.20)

Energia stanu jedno-cząstkowego nukleonów walencyjnych, na podstawie przestawień na energię separacji neutronów dla N-1 (5.19), i dla N+1 (5.20), możemy przestawić przez wspomniane energie separacji:

$E_{sp}={{1} \over {2}}\left[S_{N}(N+1,Z)+S_{n}(N-1,Z)\right]\;$

(5.21)

Energia wiązania w pary dla nukleonów E_oddz, na podstawie energii stanów jedno-cząstkowych (5.21), a także wykorzystując wzór na energię separacji dla N neutronów (5.18), przestawia się jako:

$E_{oddz}=S_{n}(N,Z)-{{1} \over {2}}\left[S_{N}(N+1,Z)+S_{n}(N-1,Z)\right]\;$

(5.22)

Energia przypadająca na jeden nukleon Δ przy wiązaniu nukleonów w pary, czyli energii pairing (5.17) przy wykorzystaniu wzoru (5.22), jest napisana:

$\Delta ={{1} \over {4}}\left[2S_{n}(N,Z)-S_{n}(N+1,Z)-S_{n}(N-1,Z)\right]\;$

(5.23)

Do energii (5.23) możemy podstawić wzór na energię separacji neutronu zdefiniowanego w punkcie (5.12), i w ten sposób przeprowadzając poniżej odpowiednie wszystkie obliczenia:

$\Delta _{n}={{1} \over {4}}{\bigg [}2B(N,Z)-2B(N-1,Z)-B(N+1,Z)+B(N,Z)-B(N-1,Z)+\;$
$+B(N-2,Z){\Bigg ]}={{1} \over {4}}\left[B(N-2,Z)-3B(N-1,Z)+3B(N,Z)-B(N+1,Z)\right]\;$

(5.24)

Wzór (5.24), który to jest słuszny dla neutronu, możemy przestawić jego odpowiednik dla protonów w postaci:

$\Delta _{p}={{1} \over {4}}\left[B(N,Z-2)-3B(N,Z)-1+3B(N,Z)-B(N,Z+1)\right]\;$

(5.25)

Wzory (5.24), (5.24) możemy jak się okazuje w przybliżeniu przestawić je jako funkcje Δ_p(Z) i Δ_n(N), którą aproksymujemy funkcją:

$\Delta \equiv \Delta _{n}=\Delta _{p}={{11} \over {\sqrt {A}}}{\mbox{MeV}}\;$

(5.26)

Wzór na energię wiązania jądra atomowego, w którym należy uwzględnić człon pairing, odpowiadające energii wiązania pairing, przestawiamy wzorem:

$\Delta E_{pair}={\begin{cases}\Delta &{\mbox{jadra parzysto-parzyste}}\\0\\-\Delta &{\mbox{jadra nieparzysto-nieparzysto}}\\\end{cases}}\;$

(5.27)

Masa jądra atomowego uwzględniająca energię pairing i dodatkowo też uwzględniający efekty powłokowe, rozważaną w następnym rozdziale, jest napisana:

$M(Z,N)=ZM_{p}+NM_{n}-b_{vol}A+b_{surf}A^{{2} \over {3}}+{{1} \over {2}}b_{sym}{{(N-Z)^{2}} \over {A}}+{{3} \over {5}}{{e^{2}} \over {r_{0}}}{{Z^{2}} \over {A^{{1} \over {3}}}}+\delta E_{pair}+\delta E_{shel}\;$

(5.28)

Poprawka Myersa-Świąteckiego uwzględniająca efekty powłokowe

Doświadczenie wskazuje, że jądra o liczbach magicznych są jądrami bardzo trwałymi o liczbie protonów lub neutronów 2,8,20,28,50,82 oraz dla neutronu 126 są jądrami bardzo trwałymi. Formuły makroskopowe nie uwzględniają tego efektu, w ten sposób nasunęła się formuła, by połączyć model kropli naładowanej z jej przeciwstawnym przestawieniem, tzn. z model powłokowym. Poprawka do masy jądra atomowego jest różnicą sumy efektów jedno-cząstkowych $e_{\nu }\;$, a energią jądra bez struktury powłokowej ${\overline {e}}_{\nu }\;$, który opisuje rozmyte poziomy jedno-cząstkowe;

$\delta E_{shell}=\sum _{\nu =1}^{A}e_{\nu }-\sum _{\nu =1}^{A}{\overline {e}}_{\nu }\;$

(5.29)

Energia gazu Fermiego, w którym obowiązuje energia Fermiego (Niedopasowany uchwyt: 4.18), który to w nim zamiast N będziemy mieli n jako poziomu obsadzonego przez n-tą cząstkę, w którym to poziomie może być maksymalnie N cząstek, zatem otrzymujemy energię stanu n cząstek:

$e(n)={{\hbar ^{2}} \over {2M}}\left({{3\pi ^{2}n} \over {\Omega }}\right)^{{2} \over {3}}={{\hbar ^{2}} \over {2M}}\left({{3\pi ^{2}N} \over {\Omega }}\right)\left({{n} \over {N}}\right)^{{2} \over {3}}=e_{F}\left({{n} \over {N}}\right)^{{2} \over {3}}\;$

(5.30)

Podzielmy widmo energii na składniki, które to N_i odpowiada kolejnym liczbą magicznym, których to różnice N_i-N_i-1 odpowiadają liczbą równej 0,2,6,12,8,22,32,44 dla i=1,2,3,... Całkowita energia w i-tym przedziale możemy określić jako całkę z wyrażenia (5.30), które to piszemy przy granicy od N_i-1 do N_i:

$E_{i}=\int _{N_{i-1}}^{N_{i}}e(n)dn={{e_{F}} \over {N^{{2} \over {3}}}}\int _{N_{i-1}}^{N_{i}}n^{{2} \over {3}}dn={{3} \over {5}}{{e_{F}} \over {N^{{2} \over {3}}}}\left(N_{i}^{{5} \over {3}}-N_{i-1}^{{5} \over {3}}\right)\;$

(5.31)

Średnia energia przypadająca na i-ty przedziale przypadająca na pojedynczy nukleon jest wyrażona jako iloraz wyrażenia (5.31) przez N_i-N_i-1, a także przestawimy wzór na ${\overline {e}}\;$, która jest średnią energią jądra atomowego o rozmytej strukturze powłokowej, który jest równy wyrażeniu (5.30):

$e_{i}={{E_{i}} \over {N_{i}-N_{i-1}}}={{3} \over {5}}{{e_{F}} \over {N^{{2} \over {3}}}}\left({{N_{i}^{{5} \over {3}}-N_{i-1}^{{5} \over {3}}} \over {N_{i}-N_{i-1}}}\right)\;$ (5.32)

${\overline {e}}={{e_{F}} \over {N^{{2} \over {3}}}}n^{{2} \over {3}}\;$ (5.33)

Sumę występująca we wzorze (5.29) zastępujemy przez całkę, i na podstawie wyznaczonego przestawienia wielkości e_i (5.32) i wielkości ${\overline {e}}_{i}\;$ (5.33), to możemy tą całkę w takim wypadku przestawić w postaci:

$\delta E_{shell}=\int _{0}^{N}(e_{i}-{\overline {e}})dn=\int _{0}^{N}{{e_{F}} \over {N^{{2} \over {3}}}}\left[{{3} \over {5}}\left({{N_{i}^{{5} \over {3}}-N_{i-1}^{{5} \over {3}}} \over {N_{i}-N_{i-1}}}\right)-n^{{2} \over {3}}\right]dn\;$

(5.34)

Całkę (5.34) możemy zapisać z dokładnością do stałych czynników w postaci wzoru:

$F(N)=\int _{0}^{N}\left[q(n)-n^{{2} \over {3}}\right]dn\;$

(5.35)

Funkcja q(n) występująca we wzorze (5.35) jest to funkcja zależna od i, tzn. których kolejne wartości ma ustalone, tzn. które są w tak zwanych w środkach ciężkości powłok, i które są zdefiniowane następująco:

$q_{i}={{3} \over {5}}\left({{N_{i}^{{5} \over {3}}-N_{i-1}^{{5} \over {3}}} \over {N_{i}-N_{i-1}}}\right)\;$

(5.36)

W całce (5.35) możemy dokonać całkowania i przestawienia jego w sposób zwarty, dla którego to N_i-1<N<N_i, wtedy tą naszą wspomnianą całkę możemy zapisać:

$F(N)=\sum _{k=1}^{i-1}\left[\int _{N_{k-1}}^{N_{k}}\left(q_{k}-n^{{2} \over {3}}\right)dn\right]+q_{i}(N-N_{i-1})-{{3} \over {5}}\left(N^{{5} \over {2}}-N_{i-1}^{{5} \over {2}}\right)=\;$
$=\sum _{k=1}^{i-1}\left[{{3} \over {5}}{{N_{k}^{{5} \over {3}}-N_{k-1}^{{5} \over {3}}} \over {N_{k}-N_{k-1}}}(N_{k}-N_{k-1})-{{3} \over {5}}\left(N_{k}^{{5} \over {3}}-N_{k-1}^{{5} \over {3}}\right)\right]+\;$
$+q_{i}(N-N_{i-1})-{{3} \over {5}}\left(N^{{5} \over {2}}-N_{i-1}^{{5} \over {2}}\right)=q_{i}(N-N_{i-1})-{{3} \over {5}}\left(N^{{5} \over {3}}-N_{i-1}^{{3} \over {5}}\right)\;$

(5.37)

W schemacie uśredniania funkcji n^2/3 istnieje zjawisko kładzenia, a wiec aby funkcje n^2/3 i q(n) biegły obok siebie, i żeby ta poprawka oscylowała wokół zera, należy obniżyć człon q(n) występujący we wzorze (5.35) o człon $_{{c} \over {2^{{2} \over {3}}}}\;$, na podstawie wcześniejszych omówień i do którego będziemy uwzględnić fakt, że jądro składa się z N neutronów i Z protonów, czyli dodając wzór (5.34) dla protonów do wzoru tego samego, ale określające neutrony, i wykorzystując fakt kładzenia przy funkcji (5.35), otrzymujemy:

$\delta E_{shell}={{e_{F}^{n}} \over {N^{{2} \over {3}}}}\left(F(N)-{{cN} \over {2^{{2} \over {3}}}}\right)+{{e_{F}^{p}} \over {Z^{{2} \over {3}}}}\left(F(Z)-{{cZ} \over {2^{{2} \over {3}}}}\right)\;$

(5.38)

Jeśli będziemy zakładać $e_{F}^{p}\simeq e_{F}^{p}=e_{F}\;$, które sa prawdziwe dla jąder bliskich ścieżce stabilności N=Z=A/2, to wtedy możemy powiedzieć, że ostateczny wzór uwzględniający poprawkę powłokową Myersa-Świąteckiego:

$\delta E_{shell}={{e_{F}} \over {\left({{A} \over {2}}\right)^{{2} \over {3}}}}\left[F(N)+F(Z)-{{cA} \over {2^{{2} \over {3}}}}\right]=e_{F}\left\{{{F(N)+F(Z)} \over {(A/2)^{2/3}}}-cA^{1/3}\right\}\equiv {\mathcal {S}}(N,Z)\;$

(5.39)

Uwzględnienie deformacji jąder w formule energii wiązania

Dalszym krokiem jest uwzględnienie deformacji kształtu jądra atomowego. Człon objętościowy nie zmienia się wraz z deformacją w zależności od kształtu jadra atomowego, że względu na stałą nieściśliwość materii jądrowej, tylko człon powierzchniowy i kulombowski zależą od kształtu jadra atomowego, i dla członu powierzchniowego w (5.3), w którym deformację jądra atomowego definiujemy jako stosunek jego powierzchni jądra po deformacji do powierzchni jądra jakoby ona była kulą, ale też o tej samej objętości co w przypadku jądra zdeformowanego. A deformacje jądra w członie kulombowskim definiujemy jako stosunek jego energii kulombowskiej dla zdeformowanego jądra do energii kulombowskiej jądra jakoby ono było kulą, ale też tutaj o tej samej objętości w przypadku jądra zdeformowanego i niezdeformowanego, zatem te definicję piszemy po kolei:

$B_{s}({\mbox{def}})={{S({\mbox{def}})} \over {S(0)}}\;$ (5.40)

$B_{c}({\mbox{def}})={{E_{Coul}({\mbox{def}})} \over {E_{Coul}(0)}}\;$ (5.41)

Biorąc formuły (5.40) i (5.41), które są zależne od deformacji jądra atomowego, to tożsamość (5.3) możemy uogólnić na przypadek jądra zdeformowanego:

$B(Z,Z)=b_{vol}A-b_{surf}A^{{2} \over {3}}B_{s}({\mbox{def}})-{{1} \over {2}}b_{sym}{{(N-Z)^{2}} \over {A}}-{{3} \over {5}}{{Z^{2}e^{2}} \over {r_{0}}}A^{-{{1} \over {3}}}B_{c}({\mbox{def}})\;$

(5.42)

Zwiększanie stopni swobody jądra atomowego, które jest spowodowane deformacją jądra atomowego, wiąże się z otrzymaniem stanów pozornych wzbudzeń jadra atomowego, ale opisywanie jądra atomowego za pomocą jej opisu makroskopowego świadczy od dużej wygodzie i popularności takiego podejścia.

Kształty jądra i jego parametryzacja

Opis kształtu jądra atomowego możemy opisać wychodząc od rozwinięcia jej powierzchni w nieskończony w szereg funkcji kulistych, ze współczynnikami a_λμ:

$R(\theta ,\phi )=R(\left\{a_{\mu \nu }\right\})\left[1+\sum _{\lambda =0}^{\infty }\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }a_{\lambda \mu }Y_{\lambda \mu }(\theta ,\phi )\right]\;$

(5.43)

R₀ jest takie, która opisuje jądro przy zachowaniu jego objętości, a parametry a_\mu\nu opisują jego najróżniejsze jego kształty, w których parametr λ opisują nasze jądra o symetrii obiciowej, a μ=0 kształty op symetri osiowej, a₂₀ opisuje deformację kwadrupolową, a_3e0- deformację oktupolową, a₄₀ deformację heksadekapolową, itd.

Kształty o symetrii elipsoidalnej o symetrii osiowej i zwierciadlanej opisuje deformacja deformacja λ=2, która jest deformacją kwadrupolową, której równanie powierzchni przybiera następujący kształt:

$R(\phi )=R_{0}(\beta )[1+\beta Y_{20}(\phi )]\;$

(5.44)

Jądra, które wykazują symetrię zwierciadlaną, ale nie osiową, ale wykazująca deformację kwadrupolową λ=2 i μ=0,±2, a równanie powierzchni przyjmuje wtedy postać;

$R(\theta ,\phi )=R_{0}\left(\left\{a_{2\mu }\right\}\right)\left[1+\sum _{\mu =-2,0,2}a_{2\mu }Y_{2\mu }(\theta ,\phi )\right]\;$

(5.45)

W powyższym równaniu nie wystąpiły wyrazy z μ=±, bo osie układu skierowane są wzdłuż osi głównych elipsoidy, Dla jądra opisująca jego kształt według (5.45) wprowadzamy jego parametryzację przy pomocy parametrów:

$a_{20}=\beta \cos \gamma \;$ (5.46)

$a_{22}=a_{2-2}={{1} \over {\sqrt {2}}}\beta \sin \gamma \;$ (5.47)

Globalna deformacja jądra atomowego charakteryzująmy przez parametr α, która jest miarą względnego odchylenia od powierzchni sfery, i którą określamy z wyniku ortogonalizacji funkcji kulistych, i które są opisywane wzorami:

$\alpha ^{2}=\int \int {{\left[R(\theta ,\phi )-R_{0}\right]^{2}d\cos \phi d\theta } \over {R_{0}^{2}}}=\sum _{\lambda \mu }\left(a_{\lambda \mu }\right)^{2}\;$

(5.48)

W przypadku jąder zdeformowanych dla współczynników deformacji opisywanej wzorami (5.46), (5.47), który to globalny współczyynnik deformacji α² opisują wzór;

$\alpha ^{2}=a_{20}^{2}+a_{22}^{2}+a_{2-2}^{2}=\beta ^{2}\;$

(5.49)

Mając globalny współczynnik deformacji jądra opisywanej w punkcie (5.49), to funkcje kształtu jądra atomowego dla członu powierzchniowego (5.40):

$B_{s}(\alpha ,\gamma )=1+{{2} \over {2}}\alpha ^{2}-{{4} \over {105}}\alpha ^{3}\cos \gamma +O(\alpha ^{4})\;$

(5.50)

I dla członu kulombowskiego (5.41), który przestawia się:

$b_{C}(\alpha ,\gamma )=1-{{1} \over {5}}\alpha ^{2}-{{4} \over {105}}\alpha ^{3}\cos \gamma +O(\alpha ^{4})\;$

(5.51)

Biorąc poprawkę deformacji dla jądra zdeformowanego możemy policzyć minimum energii jądra atomowego, który jest stanem podstawowym, i możemy policzyć jego bariere potencjału na jego rozszczepienie. Warunkeim zaistnienia bariery na rozszczepienie, jets to by energia powierzchniowa rosła szybciej niż energia energia kulombowska, którego to warunek na podstawie deformacji powierzchniowej (5.50) rosła szybciej niż człon kulombowski (5.51), którego to na podstawie (5.42) możemy powiedzieć;

$b_{surf}A^{{2} \over {3}}{{2} \over {5}}\alpha ^{2}\geq b_{Coul}{{Z^{2}} \over {A^{1/3}}}{{\alpha ^{2}} \over {5}}\Rightarrow {{b_{Copul}Z^{2}} \over {2b_{surf}A}}\leq 1\;$

(5.52)

Możemy teraz zdefiniować parametr rozszczepialności, którego to wzór na podstawie definicji stałych B_Coul i b_surf. możemy przestawić w postaci:

$x={{B_{Coul}Z^{2}} \over {2b_{surf}A}}\simeq {{Z^{2}} \over {49A}}\;$

(5.53)

Wiadomo, że parametr x (5.53) opisuje globalne makroskopowe własności jąder atomowych. Deformacja jadra atomowego niszczy strukturę powłokową jądra atomowego doprowadzając do jej asymetrii, zatem w poprawce Myersa-Świąteckiego wyrażenie (5.39) należy uwzględnić globalna deformację jądra atomowego α², co to przestawiamy wzorem:

${\mathcal {S}}(Z,N,\alpha )={\mathcal {S}}(Z,N)e^{-{{\alpha ^{2}} \over {\alpha _{0}^{2}}}}\;$

(5.54)

Ostateczny wzór na masę jądra atomowego

Wzór na masę wiązania jądra atomowego na podstawie wzoru na współczynnik deformacji jądra atomowego, którego definicje sa zapisane w punkcie (5.40) i (5.41), który jest napisany dla jąder o symetrii osiowej i zwierciadlanej (5.50) i (5.51) z uwzględnieniem energii pairing i poprawki Meyrsa-Świąteckiego, który zależy od deformacji jadra atomowego (5.54) przestawiamy wzorem:

$M(Z,N,\alpha ,\gamma )=ZM_{p}+NM_{n}-C_{1}A+C_{2}A^{{2} \over {3}}\left(1+{{2} \over {5}}\alpha ^{2}-{{4} \over {105}}\alpha ^{3}\cos \gamma \right)+\;$
$+C_{3}{{Z^{2}} \over {A^{1/3}}}\left(1-{{1} \over {5}}\alpha ^{2}-{{4} \over {105}}\alpha ^{3}\cos \gamma \right)-C_{4}{{Z^{2}} \over {A}}+\delta E_{pair}(Z,N)+{\mathcal {S}}(Z,N)e^{-{{\alpha ^{2}} \over {\alpha _{0}^{2}}}}$

(5.55)

Człon występujący we wzorze (5.55) jest to człon o wyglądzie ${{C_{4}Z^{2}} \over {A}}\;$ jest poprawką do energii kulombowskiego jądra atomowego w stosunku do wzoru (5.42), który opisuje rozmycie ładunku jądra atomowego ze względu na rozmycie gęstości ładunku na powierzchni jądra atomowego, stałe C₁ i C₂ występujące w ostatnim wzorze są zdefiniowane przy pomocy wzorów;

$C_{1}=a_{1}\left[1-\kappa \left({{N-Z} \over {A}}\right)^{2}\right]\;$ (5.56)

$C_{2}=a_{2}\left[1-\kappa \left({{N-Z} \over {A}}\right)^{2}\right]\;$ (5.57)

Energię pairing występujące we wzorze (5.55) możemy przestawić w postaci wzoru (5.27) przy definicji Δ opisywanej wzorem (5.26), a w poprawce Meyrsa-Świąteckiego, która ejst przestawiona wzorem (5.39), w której występuje stała e_F, którą tutaj oznaczymy tutaj przez C, zatem te stałe:

$a_{1}=15,4941MeV\;$	$a_{2}=17,9439MeV\;$	$C_{3}=0,7053MeV\;,$	$r_{0}=1,2249fm\;$
$C_{4}=1,21129MeV\;$	$\kappa =1,7826\;,$	$C=5,8MeV\;$	$c=0,26\;$
$\alpha _{0}=0,27\;$

Ulepszony model kroplowy

Ulepszony model jadra atomowego, który uwzględnia poprawki ze względu na fluktuację rozkładu gęstości nukloenów i protonów, a także w sobie zawierta krzywiznę jądra atomowego, którą to uzyskujemy rozkładając funkcję gęstości jadra atomowego w szereg potęgowy względem A^1/3 mając rozmytą warstwę powierzchni jadra atomowego o grubości a, tuż przy jego powierzchni zakładając przuy tym a/R<<R, gdzie R ejst promieniem jądra atomowego o liczbie masowej A. Gęstość energii jadra atomowego i gęstość energii zakładając przy tym, oznaczenia ${\hat {H}}\;$,a Ψ jest to funkcja stanu podstawowego, zatem wzory na te gęstości przestawiamy wzorami:

$\rho =A\int \int \int ...\int \Psi ^{*}\Psi d\tau _{1}d\tau _{2}...d\tau _{A}\;$ (5.58)

$\eta =\int \int \int ...\int \Psi ^{*}{\hat {H}}\Psi d\tau _{1}d\tau _{2}...d\tau _{A}\;$ (5.59)

Energię jadra atomowego możemy przestawić jako całkę objętościową z gęstości energii, który to przestawiamy w postaci członu objętościowego i poprawki jako całki po powierzchni jadra atomowego:

$B=\int _{V}\eta d^{3}{\vec {r}}=\int _{V}(\eta +b_{vol}\rho -b_{vol}\rho )d^{3}{\vec {r}}=b_{vol}\int _{V}\rho d^{3}{\vec {r}}+\int _{V}\left(\eta -b_{vol}\rho \right)d^{3}{\vec {r}}=\;$
$=b_{vol}A+\int _{V}(\eta -b_{vol}\rho )d^{3}{\vec {r}}=b_{vol}A+\int _{S}dS\int _{0}^{\infty }\left(\eta -b_{vol}\rho \right)dr\;$

(5.60)

drugi człon występujące w ostatniej równości (5.60) nazywamy całka z napięcia powierzchniowego, która jest zależna od właściwości jądra atomowego, np. jego krzywizny, i którego definicję przestawiamy wzorem;

$\gamma =\int _{0}^{\infty }\left(\eta -b_{vol}\rho \right)dr=\gamma (a\kappa ,a^{2}\Gamma )\;$

(Niedopasowany uchwyt: 5.61)

Tożsamość (Niedopasowany uchwyt: 5.61) zależy funkcji krzywizny średniej κ i krzywizny Γ, których to definicję są:

$\kappa ={{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\;$ (Niedopasowany uchwyt: 5.61)

$\Gamma ={{1} \over {R_{1}R_{2}}}\;$ (5.63)

Wielkości R₁ i R₂ występujące we powyższych wzorach są głównymi promieniami krzywizny jadra atomowego,a w tym parametr "a" przestawia rozmycie krzywizny jądra atomowego. Rozwińmy funkcję (Niedopasowany uchwyt: 5.61) w szereg Taylora wokół sfery o tej samej objętości co zdeformowane:

$\gamma (a\kappa ,a^{2}\Gamma )=\gamma +\gamma _{\kappa }^{'}\kappa a+{{1} \over {2}}\gamma _{\kappa \kappa }^{''}\kappa ^{2}a^{2}+\gamma _{\Gamma }^{'}\Gamma a^{2}+...\;$

(5.64)

Drugi człon występujący we wzorze (Niedopasowany uchwyt: t5.60), który jest członem objętościowym przy pomocy napięcia powierzchniowego (5.64), który to zdefiniowany:

$\int _{V}\left(\eta -b_{vol}\rho \right)d^{3}{\vec {r}}=\gamma \int _{S}dS+\gamma _{\kappa }^{'}a\int _{S}\kappa dS+{{1} \over {2}}\gamma _{\kappa \kappa }^{''}a^{2}\int _{S}\kappa ^{2}dS+\gamma _{\Gamma }^{'}a^{2}\int _{S}\Gamma dS+...\;$

(5.65)

Poszczególne wyrazy występujące w (5.65) możemy rozpisać w postaci trzech tożsamości, które napiszemy poniżej:

$\gamma \int _{S}dS=-b_{surf}A^{2/3}\;$ (5.66)

$\gamma _{\kappa }^{'}a\int _{S}\kappa dS=-b_{curv}A^{1/3}\;$ (5.67)

${{1} \over {2}}\gamma _{\kappa }^{''}a^{2}\int _{S}\kappa ^{2}dS+\gamma _{\Gamma }^{'}a^{2}\int \Gamma dS=-b_{0}A^{0}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 5.67)

Wielkość B (5.60), na podstawie wzoru (5.65) i tożsamości (5.66), (5.67) i (Niedopasowany uchwyt: 5.67), możemy przestawić w postaci następującego wzoru;

$B=b_{vol}A-b_{surf}A^{2/3}+b_{curv}A^{1/2}-b_{0}A^{0}+...\;$

(Niedopasowany uchwyt: 5.67)

Wyprowadzając wzór (Niedopasowany uchwyt: 5.67) braliśmy tylko pod uwagę oddziaływania jądrowe, a w żadnym wypadku nie braliśmy oddziaływań kulombowskich występujących, tzn. jego energię, którą należy odjąć od części wiązania jadra atomowego. Dłuższe rachunki dla jądra zdeformowanego, które tutaj nie będziemy przytaczać, którego będziemy liczyli energię wiązania jądra atomowego:

$B(N,Z,def)=\left[-a_{1}+J{\overline {\delta }}+{{1} \over {2}}K{\overline {\epsilon }}^{2}+{{1} \over {2}}M{\overline {\delta }}^{4}\right]A+\left[a_{2}+{{9} \over {4}}{{J^{2}} \over {Q}}+{\overline {\delta }}^{2}\right]A^{2/3}B_{s}+\;$
$+a_{3}A^{1/3}B_{k}+C_{1}Z^{2}A^{-{{1} \over {3}}}B_{c}+C_{2}Z^{2}A^{-1/3}B_{r}-C_{5}Z^{2}B_{w}-C_{3}Z^{2}A^{-1}-C_{4}2^{-1/3}Z\;$

(5.70)

gdzie poszczególne wielkości, tzn. ${\overline {\delta }}\;$ i ${\overline {\epsilon }}\;$ są następująco zdefiniowane:

${\overline {\delta }}={{I+{{3} \over {16}}{{C_{1}} \over {Q}}ZA^{-2/3}B_{v}} \over {1+{{9} \over {4}}J/QA^{-1/3}B_{S}}}\;$ (5.71)

${\overline {\epsilon }}={{2a_{2}A^{-1/3}B_{S}+L{\overline {\delta }}^{2}+C_{1}Z^{2}A^{-4/3}B_{c}} \over {K}}\;$ (5.72)

Wielkość $I=-{{N-Z} \over {A}}\;$ występujące we wzorze (5.71) nazywamy zredukowanym izospinem jadra, a wielkości występujące we wzorach (5.70), (5.71), (5.72), czyli wielkości B_s,c B_k, B_c, B_r, B_v i B_w sa to parametry opisujące kształt jądra, i którego to parametry opisują kolejno względną zmianę powierzchni jadra, krzywizny, energii kulombowskiej, i rozkładu przestrzennego związanego z odchyleniem potencjału kulombowskiego W(r) od jej wartości średniej wyznaczonej;

${\overline {W}}={{\int _{V}W(r)dV} \over {{{4} \over {3}}\pi R^{3}}}\;$

(5.73)

.

Czynniki wspomniane powyżej, które definiujemy przy pomocy potencjału kulombowskiego piszemy następująco:

$B_{s}=\int _{S}{{dS} \over {4\pi R^{2}}}\;$ (5.74)	$B_{c}={{\int _{V}W(r)dr} \over {{{32} \over {15}}\pi ^{2}R^{5}}}\;$ (5.75)	$B_{k}={{\int _{S}\left({{1} \over {R_{1}}}+{{1} \over {R_{2}}}\right)dS} \over {8\pi R}}\;$ (5.76)
$B_{r}={{\int _{V}(W(r)-{\overline {W}})^{2}dV} \over {{{64} \over {1575}}\pi ^{2}R^{7}}}\;$ (5.77)	$B_{v}={{\int _{S}(W(r)-{\overline {W}})dS} \over {-{{16} \over {15}}\pi ^{2}R^{4}}}\;$ (5.78)	$B_{w}={{\int _{S}(W(r)-{\overline {W}})^{2}dS} \over {-{{64} \over {225}}\pi ^{3}R^{6}}}\;$ (5.79)

Przez dopasowanie energii, mas, a także wysokości barier na rozczepienie oraz momentów kwadrupolowych do danych doświadczalnych otrzymujemy następujące wartości:

$J=36,5MeV\;$	$Q=17MeV\;$	$K=240MeV\;$	$L=1000MeV\;$
$M=0\;$	$r_{0}=1,175fm\;$	$b=0,99fm\;$

Współczynniki występujące we wzorach (5.70), (5.71), (5.72) są zdefiniowane następująco:

$C_{1}={{3} \over {5}}{{e^{2}} \over {r_{0}}}=0,73531\;$ (5.80)	$C_{2}={{C_{1}^{2}} \over {336}}\left({{1} \over {J}}+{{18} \over {K}}\right)=0,00016477\;$ (5.81)
$C_{3}={{5} \over {2}}C_{1}\left({{b} \over {r_{0}}}\right)^{2}=1,30501\;$ (5.82)	$C_{4}={{5} \over {4}}C_{1}\left({{3} \over {2\pi }}\right)^{2/3}=0,56149\;$ (5.83)

$C_{5}={{1} \over {64}}{{C_{1}^{2}} \over {Q}}=0,00049695\;$

(5.84)

Model makroskopowo-mikroskopowy oparty na siłach Yukawy

Model makroskopowo-mikroskopowy oparty na siłach Yukawy jest to model opisujący jądra silnie zdeformowane, któ─ryt opisuyje efektywne oddziaływanie nukleon-nukleon. Będziemy tutaj wychodzili z teroi jadra atomowego, którego gęstość objętościowa jest stała, który to między elementami jądra działają siły Yukawy określone wzorem (Niedopasowany uchwyt: 2.3). Jest to model, w którym przeprowadza się obliczenia makroskopową część energii jądra atomowego, uwzględniające poprawki powłokowe w jądrze atomowym. W naszym modelu należy uwzględnić pewne modyfikację sił Youkawy, by w tym celu otrzymać prostą postać energii wiązania. Ostateczny wzór na masę jądra atomowego uwzględniający te wnioski możemy napisać:

$M_{Y}(Z,N,def)=M_{H}Z+M_{n}N-a_{\nu }(1-k_{\nu }I^{2})A+a_{s}(1-\kappa _{s}I^{2})A^{2/3}B_{1}+C_{0}A^{)}+\;$
$+c_{1}Z^{2}A^{-1/3}B_{3}-c_{4}Z^{-4/3}A^{-1/3}+f(k_{p}r_{p})Z^{2}A^{-1}-c_{a}(N-Z)+\;$
$W\left(|I|+{\begin{cases}1/A&{\mbox{ dla Z=N nieparzystych}}\\0&{\mbox{w pozostałych przypadkach}}\end{cases}}\right)+\;$
$+{\begin{pmatrix}\Delta A^{-1/2}+{{1} \over {2}}\delta /A&{\mbox{ dla Z i N nieparzystych}}\\{{1} \over {2}}\delta /A&{\mbox{ dla Z lub N nieparzystych}}\\-\Delta A^{-1/2}-{{1} \over {2}}\delta /A&{\mbox{dla Z i N parzystych}}\end{pmatrix}}+a_{vol}Z^{2,39}\;$

(5.85)

Zdefiniujmy teraz współczynniki występujące w powyższym wzorze:

$c_{1}={{3} \over {5}}{{e^{2}} \over {r_{0}}}\;$ (5.86)

$c_{4}=c_{1}{{5} \over {4}}\left({{3} \over {2\pi }}\right)^{2/3}\;$ (5.87)

A także funkcja f(k_Fr_p), która jest określana protonowy czynnik, a także długość wektora falowego Fermiego, których to definicje są określane:

$f(k_{F}r_{p})={{1} \over {8}}{{r_{p}^{2}e^{2}} \over {r_{0}^{3}}}\left[{{145} \over {48}}-{{327} \over {2880}}(k_{F}r_{p})^{2}+{{1527} \over {1209600}}(k_{F}r_{p})^{2}\right]\;$ (5.88)

$k_{F}=\left({{9\pi Z} \over {4A}}\right)^{1/3}{{1} \over {r_{0}}}\;$ (5.89)

Nenergię powierzchniową oznaczaną symbolem B₁ dla sił o skończonym zasięgu definiujemy wzorem:

$B_{1}={{A^{-2/3}} \over {8\pi ^{2}r_{0}^{2}a^{4}}}\int _{V}\int _{V^{'}}\left(2-{{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|} \over {a}}\right)e^{{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|} \over {a}}d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\;$

(5.90)

A także względna energia kulombowska jednolicie naładowanej bryły dowolnego kształtu:

$B_{3}={{15} \over {32\pi ^{2}}}{{A^{-/5/3}} \over {r_{0}^{5}}}\int _{V}\int _{V^{'}}\left[1-\left(1+{{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|} \over {2a_{den}}}\right)e^{-|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|/a_{dem}}\right]{{d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}} \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\;$

(5.91)

Podamy teraz parametry występujące w modelu Yokawy, które podamy poniżej:

MH=7,289034MeV	defekt masy protonu
Mn=8,071431MeV	defekt masy neutronu
e2=1,4399764MeV fm	kwadrat ładunku elektronu
aden=0,99/21/2<>/sup>fm	zasięg funkcji rozkładu ładunku
ael=1,433 10-5MeV	stała wiązania elektronu
Δ=12MeV	stała przerwy energetycznej pairing
δ=20MeV	stała asymetrii pairing
rp=0,80 fm	promień protonu
as=21,13 MeV	stała energii powierzchniowej
κs=2,3	stała asymetrii powierzchni

Pozostałe parametry będziemy dopasować dla mas jąder metodą najmniejszych kwadratów:

aν=15,9937MeV	stała energii objętościowej
κν=1,927	stała asymetrii objętościowej
W=36MeV	stała Wignera
c0=4,4 MeV	stała przy A0
ca=0,212 MeV	stała symetrii ładunku