Wikipedysta:Persino/Teoria jądra atomowego/Teoria problemu wielu ciał

Spis treści
1Przypadek funkcji Gojenia dla materii jądrowej jako funkcja falowa dwóch nukleonów 2Matematyczny opis równania Bethego-Goldstone'a

Od modelu opisującego układ dwóch cząstek niezależnych od siebie, przejdźmy do układu do prawie nieskończonej liczby nukleonów, czyli dla którego zachodzi N=Z, liczby protonów jest prawie równa liczbie neutronów. Gęstość masy i ładunku w jądrze atomowym jest stała. Dalej będziemy zakładać, że pomiędzy ładunkami nie działają wcale siły oddziaływania elektrycznego. Należy pamiętać, że ruch nukleonów w jądrze jest wpływany przez zakaz Pauliego, dla rozparzanej pary proton-neutron. Dla nas bardzo ważny jest model, który jest modelem cząstek niezależnych. Potencjał jądrowy jądra atomowego dla A nukleonów jest sumą sił dwuciałowych, i który piszemy w postaci wzoru:

$V\left({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{A},\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2},...,\mathbf {s} _{A},\mathbf {t} _{1},\mathbf {t} _{2},...,\mathbf {t} _{A}\right)=\sum _{i,j=1}^{A}V_{ij}\;$

(3.1)

funkcja falowa układu A nukleonów jest iloczynem poszczególnych funkcji falowej opisującej jako iloczyny funkcji falowych opisującej jej część przestrzenną, spinową, a także izospinową i wiedząc, że $\varphi _{\nu _{i}}(\mathbf {x} _{i})=\varphi _{\nu _{i}}({\vec {r}}_{i},\mathbf {x} _{s},\mathbf {t} _{i})\;$, i które są wyrażona przez wzór:

$\Psi =\prod _{i=1}^{A}\varphi _{\nu _{i}}(\mathbf {x} _{i})=\prod _{i=1}^{A}\psi ({\vec {r}}_{i})\chi (\mathbf {s} _{i})\eta (\mathbf {t} _{i})\;$

(3.2)

Biorąc, ze cząstki, które są tutaj nukleonami podlegają zasadzie Pauliego, zatem całkowita funkcja falowa możemy zapisać w postaci równości, który jest unormowanym wyznacznikiem , który jest funkcją funkcji funkcji falowych opisywanych wzorem (3.2), i które ten wyznacznik piszemy jako:

$\psi ={{1} \over {\sqrt {A!}}}{\begin{vmatrix}\varphi _{\nu _{1}}(\mathbf {x} _{1})&\varphi _{\nu _{1}}(\mathbf {x} _{2})&\cdots &\varphi _{\nu _{1}}(\mathbf {x} _{A})\\\varphi _{\nu _{2}}(\mathbf {x} _{1})&\varphi _{\nu _{2}}(\mathbf {x} _{2})&\cdots &\varphi _{\nu _{2}}(\mathbf {x} _{1})\\\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{\nu _{A}}(\mathbf {x} _{1})&\varphi _{\nu _{A}}(\mathbf {x} _{2})&\cdots &\varphi _{\nu _{A}}(\mathbf {x} _{A})\\\end{vmatrix}}\;$

(3.3)

Przypadek funkcji Gojenia dla materii jądrowej jako funkcja falowa dwóch nukleonów

Plik:Funkcje falowe dla pary nukleonów.png

Funkcje falowe oddziaływających w próżni ψ_s, a także te obiekty w materii jądrowej ψ_BG i nieoddziaływujących ψ₀ dla pary nukleonów.

Weźmy sobie teraz układ dwóch nukleonów, których pędu ssą napisane jako ${\vec {p}}_{1}\;$, i których oddziaływają ze sobą, których to oddziaływanie jest napisane przez potencjał V₁₂, i którego to równania Schrödingera przy tym rozważanym potencjale piszemy wedle wzoru:

$({\hat {T}}_{1}+{\hat {T}}_{2}+V_{12}-E)\psi _{S}=0\;$

(3.4)

Wprowadźmy teraz operator rzutowy ${\hat {Q}}_{12}\;$, który eliminuje z fali rozprosz stany o pędach mniejszych niż pędy opisywane przez pędy Fermiego, czyli pędu o tych wycinane są ja zajęte zgodnie z zakazem Paulliego. W ten sposób możemy napisać równanie Bethego-Goldstane'a:

$({\hat {T}}_{1}+{\hat {T}}+{\hat {Q}}_{12}V_{12}-E)\psi _{BG}=0\;$

(3.5)

Dla porównanie możemy zapisać równanie falowe opisywanych za pomocą tylko operatorów energii, i w których nie ma żadnego potencjału, których jest opisywany przez wzór:

$({\hat {T}}_{1}+{\hat {T}}_{2}-E)\psi _{0}=0\;$

(3.6)

Funkcja ψ_S jest przesunięta w fazie względem fali płaskiej. Można też jednak powiedzieć, że funkcja ψ_BG zbliża się do funckji ψ_S, a po przekroczeniu pewnej granicy x_og, które nazywamy odległością "gojenia" pokrywa się z funkcją ψ₀.

Matematyczny opis równania Bethego-Goldstone'a

W naszym problemie fizycznym, których cząstki silnie oddziaływają ze sobą można rozłożyć je na poszczególne funkcje falowe, co jestwynikiem zakazu Pauliego, są one rozwiązania własnego probklemu hamiltonianu dotyczącej jednej cząstki.

${\hat {H}}_{0}(i)\varphi _{\nu }(i)=e_{\nu }\varphi _{\nu }(i)\Rightarrow \left({\hat {T}}(i)+V(i)\right)\varphi _{\nu }(i)=e_{\nu }\varphi _{\nu }(i)\;$

(3.7)

Możemy teraz napisać równanie Bethego-Goldstone'a, które są opisem układu dwóch nukleonów, czyli które wypisujemy jako układ dwóch cząstek, tutaj pomijamy trój i wielociałowe oddziaływanie, i dlatego przybliżenie dwuciałowe jest jego najlepszym sposobem:

$[{\hat {H}}_{0}(1)+{\hat {H}}_{0}(2)+V_{12}]\psi _{kl}(1.2)=e_{kl}\psi _{kl}(1,2)\;$

(3.8)

Wskutek oddziaływania V₁₂ energia układu dwóch nukleonów nie jest sumą e_k+e_l, zatem funkcja ψ_kl może być rozwinięta w bazie φ_ν, ale w taki sposób by niezawierała stanów zajętych,a tylko stany jednocząstowe puste, i który jest opisywany równaniem:

$\psi _{kl}(1,2)=\varphi _{k}(1)\varphi _{l}(2)+\sum _{a,b,a\neq b}C_{ab}\varphi _{a}(1)\varphi _{b}(2)+\sum _{a}C_{ka}\varphi _{k}(1)\varphi _{a}(2)+\sum _{a}C_{al}\varphi _{a}(1)\varphi _{l}(2)\;$

(3.9)

Otrzymane rozwinięcie (3.9) możemy wstawić do równości (3.8), wtedy możemy dostać równość, którego to zapis jest jako;

$(e_{k}+e_{l})\varphi _{k}(1)\varphi _{l}(2)+\sum _{\overset {\alpha ,\beta ,\alpha \neq \beta }{\underset {\alpha ,\beta \neq k,l}{}}}C_{\alpha }(e_{\alpha }+e_{\beta })\varphi _{\alpha }(1)\varphi _{\beta }+V_{12}\psi _{kl}(1,2)=e_{kl}\psi _{kl}(1,2)\;$

(3.10)

W równości (3.10) przebiega po stanach "k" i "l", a także dla stanów pustych α=k,a,b,.. i β=l,a,b,c,.... dalszym naszym krokiem jest pomnożenie obu stron wspomnianej równości przez $\varphi _{\alpha }\varphi _{\beta }\;$ i z całkowaniu względem x₁,x₂,.. i stąd otrzymujemy na podstawie naszych rozważań wzór:

$C_{\alpha \beta }(e_{kl}-e_{\alpha }-e_{\beta })=\langle \varphi _{\alpha }(1)\varphi _{\beta }(2)|V_{12}|\psi _{kl}(1,2)\rangle =\langle \alpha ,\beta |V|\psi _{kl}\rangle \;$

(3.11)

Z otrzymanej równości (3.11) możemy wyznaczyć stałą C_αβ, czyli współczynniki rozwinięcia, które to na podstawie naszego wzoru przepisujemy w postaci wzoru:

$C_{\alpha \beta }={{\langle \alpha \beta |V|\psi _{kl}(1,2)\rangle } \over {e_{kl}-e{\alpha }-e_{\beta }}}\;$

(3.12)

Ket funkcji ψ_kl, czyli funkcji (3.9) przy pomocy współczynników rozwinięcia (3.12) mozemy zapisać w postaci;

$|\psi _{kl}(1,2)\rangle =|kl\rangle +\sum _{\overset {\alpha ,\beta ,\alpha \neq \beta }{\underset {\alpha ,\beta \neq k,l}{}}}{{\langle \alpha \beta |V|\psi _{kl}(1,2)\rangle } \over {e_{kl}-e{\alpha }-e_{\beta }}}|\alpha \beta \rangle \;$

(3.13)

Jeśli wprowadzimy hamiltonian opisujący dwie cząstki, jako sumę dwóch hamiltonianów jedno-cząstkowych piszemy jako:

${\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{0}(1)+{\hat {H}}_{0}^{2}(2)\;$

(3.14)

Na podstawie definicji hamiltonianu dwóch cząstek (3.14), co możemy wykorzystać do napisania równości (3.13) i w ten sposób końcowy już hamiltonian zapisujemy jako:

$|\psi _{kl}(1,2)\rangle =|kl\rangle +\sum _{\overset {\alpha ,\beta ,\alpha \neq \beta }{\underset {\alpha ,\beta \neq k,l}{}}}{{\langle \alpha \beta |V|\psi _{kl}(1,2)\rangle } \over {e_{kl}-{\hat {H}}_{0}}}|\alpha \beta \rangle \;$

(3.15)

Wprowadźmy teraz operator rzutowy:

${\hat {Q}}_{kl}=\sum _{\overset {\alpha ,\beta ,\alpha \neq \beta }{\underset {\alpha ,\beta \neq k,l}{}}}|\alpha \beta \rangle \langle \alpha \beta |=\sum _{ab}|ab\rangle \langle ab|+\sum _{a}|ka\rangle \langle ka|+\sum _{b}|bl\rangle \langle bl|\;$

(3.16)

Operator rzutowy zapisany w punkcie (3.16) możemy wykorzystać do (3.15), i w ten sposób dostajemy równość, który opisuje ostatnio wspomniany w tym tekście wzór:

$|\psi _{kl}\rangle =|kl\rangle +{{{\hat {Q}}_{kl}} \over {e_{kl}-{\hat {H}}_{0}}}V|\psi _{kl}\rangle \;$

(3.17)

Jeśli będziemy rozpatrywać materię jądrową, i który to operator opisuje niezależne pary, który wynika z zachowania sumy pędów dwóch cząstek wziętej razem, to wtedy operator (3.15) redukuje się do pierwszego wyrazu, który to będziemy opisywać wzorem:

${\hat {Q}}_{kl}=\sum _{ab}|ab\rangle \langle ab|\;$

(3.18)

Wytwórzmy sobie teraz operator ${\hat {G}}\;$ na iloczyn funkcji, które są niezależne od siebie, i w ten sposób otrzymujemy funkcję ψ_kl, która jest funkcją falową, który jest rozwiązaniem równości (3.8), który jest równaniem własny\. Działanie tegoż operatora przedstawia się:

${\hat {G}}|kl\rangle {kl}=V|\psi _{kl}\rangle \;$

(3.19)

Wykorzystując działanie operatora ${\hat {G}}\;$, którego jest zapisany równaniem (3.19), i który to wykorzystujemy do zapisu (3.17):

${\hat {G}}|kl\rangle =V|kl\rangle +V{{{\hat {Q}}_{kl}} \over {e_{kl}-{\hat {H}}_{0}}}{\hat {G}}|kl\rangle \;$

(3.20)

Patrząc na tożsamość (3.20), wtedy dochodzimy do wniosku, ze operator ${\hat {G}}\;$ zapisujemy w postaci równania operatorowego w postaci:

${\hat {G}}=V+V{{{\hat {Q}}_{kl}} \over {e_{kl}-{\hat {H}}_{0}}}{\hat {G}}\;$

(3.21)

Dalszym krokiem jest rozszerzenie naszych wypowiedzeń na układ wielu ciał,w tym celu możemy napisać operator energii całkowitej, który jest to zapisany równością poniżej, którą zapisywać będziemy wraz z równaniem własnym:

${\hat {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{A}{\hat {T}}(i)+{{1} \over {2}}\sum _{i,j=1}^{A}V_{ij}\;$ (3.22)

${\hat {H}}\psi =E\psi \;$ (Niedopasowany uchwyt: 3.23)

Hamiltonian dla cząstek niezależnych od siebie możemy zapisywać w postaci równania jako sumę hamiltonianów A nukleonów, i którego w jednej linijce napiszemy jego równanie własne, którego to zapisujemy całkowita energia układu jako wartość własna operatora ${\hat {H}}_{0}\;$

${\hat {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{A}H_{0}(i)\;$ (Niedopasowany uchwyt: 3.23)

${\hat {H}}_{0}\Phi _{j}=W_{j}\Phi _{j}\;$ (3.25)

$W_{0}=\sum _{j=1}^{A}e_{k}\;$ (3.26)

Rozwiązaniem równania własnego operatora (Niedopasowany uchwyt: 3.23) jest rozwiązaniem w postaci funkcji falowej, w którym występuje funkcja Φ₀, która jest rozwiązaniem równania własnego dla A cząstek jego hamiltonianu, nie uwzględniający oddziaływania między cząstkami, zatem:

$\Psi =\Phi _{0}+\sum _{j=1}^{A}C_{j}\Phi _{j}\;$

(3.27)

Weźmy do całkowitego hamiltonianu cząstek nieoddziaływających oddziaływanie resztkowe V_res, który nam posłuży do zdefiniowania rółnania bethego-Goldstone'a dla A nukleonów.

$V_{res}={{1} \over {2}}\sum _{i,j=1}^{A}V_{ij}+\sum _{i}V(i)\;$

(Niedopasowany uchwyt: 3.27)

Operator całkowitej energii układu, który jest sumą hamiltonianu A niezależnych od siebie cząstek (Niedopasowany uchwyt: 3.23) i oddziaływania resztkowego (Niedopasowany uchwyt: 3.27), którego definicja jest przestawiona wzorem:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+V_{res}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 3.27)

Równaniem własnym z uwzględnieniem potencjału resztkowego, wykorzystując jego funkcję własną zdefiniowaną równaniem (3.27), zatem to równanie:

$({\hat {H}}_{0}+V_{res})\left(\Phi _{0}+\sum _{i}C_{i}\Phi _{i}\right)=E(\Phi _{0}+\sum _{i}C_{i}\Phi _{i})\;$

(3.30)

Mnożymy teraz lewostronnie równanie (3.30) przez $\Phi _{0}^{*}\;$, i której tak otrzymane równanie całkujemyw względem współrzędnych $\mathbf {x} _{i}\;$, gdzie i=1,2,..,A.

$E=W_{0}+\langle \Phi _{0}|V_{res}|\Psi \rangle \;$

(3.31)

Zdefiniujemy teraz operator rzutowy, który jest zapisany równością operatorową:

${\hat {G}}=|\Phi _{0}\rangle \langle \Phi _{0}|\;$

(3.32)

Rozpatrując jak dla przypadku dwuciałowego, przy definicji operatora rzutowego (3.32) i przy energii własnej całego układu A nukleonów możemy zapisać operator ${\hat {G}}\;$, który definiujemy jako przy definicji funkcji Ψ (3.27):

${\hat {G}}\Phi _{0}=\Psi \;$

(3.33)

Zatem w naszym przypadku operator ${\hat {G}}\;$ i wzór Bethego-Goldstone'a definiujemy wzorami, którego to podamy w jednej linijce rozważań dla problemu wielociałowego:

${\hat {G}}=V_{res}-V_{res}{{\hat {Q}} \over {E-{\hat {H}}_{0}}}{\hat {G}}\;$ (3.34)

$\Psi =\Psi _{0}+{{\hat {Q}} \over {E-{\hat {H}}_{0}}}V_{res}\Psi \;$ (3.35)

Równanie (3.35) jest ścisłym zagadnieniem dla wielu ciał, którego to równanie jest bardzo trudno rozwiązać, i dlatego w fizyce jądrowej rozpracowano wiele metod przybliżonych. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja