Wikipedysta:Persino/Wprowadzenie do równań teorii sprężystości

Spis treści
1Definicja tensora odkształcenia

Definicja tensora odkształcenia

Przemieszczenie danego punktu w ciele sprężystym, którego początkowe położenie jest x_i, a końcowe x'_i, nazywamy wyrażenie, która jest różnicą tychże właśnie wielkości, i jest wyrażona:

$u_{i}=x_{u}^{'}-x_{i}\;$

(1)

Odległość pomiędzy dwoma infinitezymalnymi punktami, do którego możemy skorzaystać z twierdzenia Pitogarasa, jest pierwiastkiem sumy kwadratów infinitezymalnych odległości dla poszczególnych współrzędnych, jest określana przed i po odkształceniu:

$dl={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}={\sqrt {dx_{i}^{2}}}\;$ (2)

$dl^{'}={\sqrt {{dx_{1}^{'}}^{2}+{dx_{2}^{'}}^{2}+{dx_{3}'}^{2}}}={\sqrt {{dx_{i}^{'}}^{2}}}\;$ (3)

Do kwadratu infinitezymalnej odległości (3) możemy wykorzystać wzór współrzędną przemieszczenia (1) i w ten sposób możemy otrzymać wzór przy pomocy definicji kwadratu pomiędzy punktami inifinitezylanie odległych od siebie (2):

${dl^{'}}^{2}={dx_{i}^{'}}^{2}=(dx_{i}+du_{i})^{2}=dx_{i}^{2}+2dx_{i}du_{i}+du_{i}^{2}=dl^{2}+2{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}dx_{i}dx_{k}+{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{l}}}dx_{k}dx_{l}\;$

(4)

W drugim wyrazie we wzorze (4) występują wskaźniki nieme "i" i "k", zatem wyrażenie (4) możemy przestawić je na w sposób:

${dl^{'}}^{2}=dl^{2}+\left({{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial u_{k}} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial u_{l}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial u_{l}} \over {\partial x}}\right)dx_{i}dx_{k}\;$

(5)

Z definiujemy teraz tensor odkształcenia, który jest połową czynnika występujących się w drugim wyrazie dla równości (5), i który zależy od pochodnych wektora przemieszczenia u_i względem względem współrzędnych x_i;

$u_{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial u_{k}} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial u_{l}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial u_{l}} \over {\partial x}}\right)\;$

(6)

Na podstawie definicji tensora odkształcenia (6) tożsamość (5) możemy przepisać przy pomocy tensora u_ik w postaci:

${dl^{'}}^{2}=dl^{2}+2u_{ik}dx_{i}dx_{k}\;$

(7)

Patrzać na definicję tesnora odkształcenia (6) dochodzimy do wniosku, że on jest tesnorem symetrycznym, tzn. możemy zapisać:

$u_{ik}=u_{ki}\;$

(8)

W definicji tensora odkształcenia (6) możemy pomnąc człon kwadratowy, bo on jest o wiele mniejszy od członów liniowych, zatem po zastosowaniu tejże własności nasz wspomniany tensor jest zapisywany przy pomocy:

$u_{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial u_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)\;$

(9)

Możemy tak wybrać osie główne układu w taki sposób, że tylko jego składowe diagonalne są nierówne zero, a pozostałe elementy tensora odkształcenia są elementami zerowymi, wtedy odległości infinitezymalne możemy przestawić przy pomocy infinitezylanych zmian współrzędnych przed odkształceniem w postaci:

${dl^{'}}^{2}=(\delta _{ik}+2u_{ik})dx_{i}dx_{k}=(1+2u_{11})dx_{1}^{2}+(1+2u_{22})dx_{2}^{2}+(1+2u_{33})dx_{3}^{2}\;$

(10)

Patrząc na wnioski wynikłe z równania (10) możemy napisać wzór na infinitezymalną zmianę objętości, który możemy przepisać do:

$dV^{'}=dV{\sqrt {1+2u_{11}}}{\sqrt {1+2u_{22}}}{\sqrt {1+2u_{33}}}\simeq \;$
$\simeq dV(1+u_{11})(1+u_{22})(1+u_{33})\simeq dV(1+u_{11}+u_{22}+u_{33})=dV(1+u_{ii})\;$

(11)

Równanie (7) możemy zapisać we współrzędnych uogólnionych, by potem wyprowadzić u_ik wyprowadzić we współrzędnych uogólnionych:

${dl^{'}}^{2}=dl^{2}+2{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}dx_{i}dx_{k}=dl^{2}+du_{i}dx_{i}=dl^{2}+2{{1} \over {2}}\left({{\partial u_{i}} \over {\partial q_{l}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial q_{m}}}+{{\partial u_{i}} \over {\partial q_{m}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial q_{l}}}\right)dq_{l}dq_{m}\;$

(12)

Wyznaczmy teraz współrzędne tensora deformacji we współrzędnych cylindrycznych (r,rθ,z) według wzoru końcowego (12) na współczynnik deformacji wynikających ze wspomnianego wzoru:

$u_{rr}=\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\sin \theta \right)+\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\cos \theta \right)=\;$
$=(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta ){{\partial u_{r}} \over {\partial r}}={{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\;$

(13)

$u_{\theta \theta }={{1} \over {r^{2}}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta u_{r}-{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -u_{\theta }\cos \theta \right)+\;$
$+r\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta u_{r}+{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -u_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}={{1} \over {r}}{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{u_{r}} \over {r}}\;$

(14)

$u_{zz}={{\partial u_{z}} \over {\partial z}}\;$

(15)

$u_{r\theta }={{1} \over {2r}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\cos \theta \right)+\;$
$+\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta u_{r}-{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -u_{\theta }\cos \theta \right)+\;$
$+\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta u_{r}+{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -u_{\theta }\sin \theta \right)={{1} \over {2}}\left({{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}-{{u_{\theta }} \over {r}}+{{1} \over {r}}{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right){\Bigg ]}\;$

(16)

$u_{rz}={{1} \over {2}}\left[{{\partial u_{z}} \over {\partial z}}+\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right)\right]=\;$
$={{1} \over {2}}\left[{{\partial u_{z}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\right]\;$

(17)

$u_{\theta z}={{1} \over {2r}}{\Bigg [}{{\partial u_{z}} \over {\partial \theta }}-r\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right){\Bigg ]}=\;$
$={{1} \over {2}}\left({{1} \over {r}}{{\partial u_{z}} \over {\partial \theta }}+{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\right)\;$

(18)