Wikipedysta:Persino/Wyznaczniki funkcjonalne i ich własności

Wyznaczniki funkcjonalne i ich własności

Definicja wyznacznika funkcjonalnego jest następująca:

${{D(u,v)} \over {D(x,y)}}={\begin{vmatrix}({{\partial u} \over {\partial x}})_{y}&({{\partial v} \over {\partial x}})_{y}\\({{\partial u} \over {\partial y}})_{x}&({{\partial v} \over {\partial y}})_{x}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}({{\partial u} \over {\partial x}})_{y}&({{\partial u} \over {\partial y}})_{x}\\({{\partial v} \over {\partial x}})_{y}&({{\partial v} \over {\partial y}})_{x}\end{vmatrix}}$

Mamy bardzo ważny wzór:

${{D(V,p)} \over {D(T,p)}}=\left({{\partial V} \over {\partial T}}\right)_{p}$

Udowodnijmy, powyższą tożsamość:

${{D(V,p)} \over {D(T,p)}}={\begin{vmatrix}({{\partial V} \over {\partial T}})_{p}&({{\partial V} \over {\partial p}})_{T}\\({{\partial p} \over {\partial T}})_{p}&({{\partial p} \over {\partial p}})_{T}\end{vmatrix}}=\left({{\partial V} \over {\partial T}}\right)_{p}-\left({{\partial V} \over {\partial p}}\right)_{p}\left({{\partial p} \over {\partial T}}\right)_{p}=\left({{\partial V} \over {\partial T}}\right)_{p}$,

Zachodzi również:

${{D(u,v)} \over {D(x,y)}}={{D(u,v)} \over {D(p,q)}}{{D(p,q)} \over {D(x,y)}}$

Dowód powyższy polega na twierdzeniu znanych z algebry, tzn.:

$\operatorname {det} (AB)=\operatorname {det} A\operatorname {det} B\;$

Oraz twierdzeniu:

${{D(A_{1},..,A_{n})} \over {D(x_{1},...,x_{n})}}=\operatorname {det} \left[{{\partial A_{i}} \over {\partial x_{j}}}\right]_{n\times n}=\operatorname {det} \left[\sum _{k}{{\partial A_{i}} \over {\partial y_{k}}}{{\partial y_{k}} \over {\partial x_{j}}}\right]_{n\times n}=\operatorname {det} \left[{{\partial A_{i}} \over {\partial y_{k}}}\right]_{n\times n}\operatorname {det} \left[{{\partial y_{k}} \over {\partial x_{j}}}\right]_{n\times n}=$

$={{D(A_{1},...,A_{n})} \over {D(y_{1},..,y_{n})}}{{D(y_{1},..,y_{n})} \over {D(x_{1},..,x_{n})}}$

A zatem udowodniliśmy w sposób ogólny,że:

${{D(A_{1},..,A_{n})} \over {D(x_{1},...,x_{n})}}={{D(A_{1},...,A_{n})} \over {D(y_{1},..,y_{n})}}{{D(y_{1},..,y_{n})} \over {D(x_{1},..,x_{n})}}$

Co kończy dowód.