Wikipedysta:Wojciszek/Twierdzenie1

Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu

edytuj

Założenia

edytuj

Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:

  •  
  •  

Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:

 

 


 


Dowód

edytuj
 

Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku. Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia:  

 

 

Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:  i  

Trójkąt ADC:

W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy  , ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).

   i   

Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:

 

 

Trójkąt ABD:

W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy  , ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).

   i   

Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:

 

 


Wniosek ostateczny: