Algebra abstrakcyjna/Działania

Działania

edytuj

Działanie wewnętrzne

edytuj

Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego   w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).

Jeżeli   jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania   na elementach a,b∈A oznaczamy przez:   (nie zaś przez   ).

Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole:  . W przypadku użycia symbolu   mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia   o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast   piszemy  .

Działanie zewnętrzne

edytuj

Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

Działanie łączne

edytuj

Mówimy, że działanie   w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c∈A zachodzi równość  .

Działanie przemienne

edytuj

Mówimy, że działanie   w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b∈A zachodzi równość  .

Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.

Działanie rozdzielne

edytuj

Niech w zbiorze A określone będą działania   oraz  . Mówimy, ze działanie   jest rozdzielne względem działania  , jeśli dla dowolnych   zachodzą równości:

  •   (rozdzielność lewostronna działania   względem działania  ),
  •   (rozdzielność prawostronna działania   względem działania  ).

Element neutralny

edytuj

Mówimy, że element   jest elementem neutralnym działania   określonego w A, jeśli dla każdego   zachodzi równość  .

Element neutralny działania   w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem   były elementami neutralnymi działania  , to:  , bo e' jest elementem neutralnym oraz  , bo e jest elementem neutralnym, wobec czego:  .

Element odwrotny

edytuj

Niech działanie   w zbiorze A ma element neutralny e i niech a∈A. Każdy element b∈A spełniający równość   nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem  . W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać   piszemy zazwyczaj  .

Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.

Ponadto, jeżeli działanie   w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu  , o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem   były odwrotne do a, to:  .

Element neutralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.

Działania - przykłady

edytuj

Działania wewnętrzne

edytuj

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez   oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania   i   są działaniami wewnętrznymi w  . Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania   jest  . Elementem neutralnym względem działania   jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.

Niech   będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez   oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem przeciwnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.

Działania zewnętrzne

edytuj

Oznaczmy przez   zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez   zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie   następująco: dla   i   przyjmujemy:  . Funkcja   jest działaniem zewnętrznym w zbiorze  .