Algebra abstrakcyjna/Działania
Działania
edytujDziałanie wewnętrzne
edytujDziałaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).
Jeżeli jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania na elementach a,b∈A oznaczamy przez: (nie zaś przez ).
Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: . W przypadku użycia symbolu mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast piszemy .
Działanie zewnętrzne
edytujNiech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.
Działanie łączne
edytujMówimy, że działanie w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c∈A zachodzi równość .
Działanie przemienne
edytujMówimy, że działanie w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b∈A zachodzi równość .
Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.
Działanie rozdzielne
edytujNiech w zbiorze A określone będą działania oraz . Mówimy, ze działanie jest rozdzielne względem działania , jeśli dla dowolnych zachodzą równości:
- (rozdzielność lewostronna działania względem działania ),
- (rozdzielność prawostronna działania względem działania ).
Element neutralny
edytujMówimy, że element jest elementem neutralnym działania określonego w A, jeśli dla każdego zachodzi równość .
Element neutralny działania w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem były elementami neutralnymi działania , to: , bo e' jest elementem neutralnym oraz , bo e jest elementem neutralnym, wobec czego: .
Element odwrotny
edytujNiech działanie w zbiorze A ma element neutralny e i niech a∈A. Każdy element b∈A spełniający równość nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem . W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać piszemy zazwyczaj .
Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.
Ponadto, jeżeli działanie w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu , o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem były odwrotne do a, to: .
Element neutralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.
Działania - przykłady
edytujDziałania wewnętrzne
edytujNiech X będzie dowolnym zbiorem. Przez oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania i są działaniami wewnętrznymi w . Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania jest . Elementem neutralnym względem działania jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.
Niech będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem przeciwnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.
Działania zewnętrzne
edytujOznaczmy przez zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie następująco: dla i przyjmujemy: . Funkcja jest działaniem zewnętrznym w zbiorze .