Analiza matematyczna/Całka podwójna

W układzie współrzędnych dany mamy prostokąt ${\bar {P}}$:

${\bar {P}}=\left\{(x,y):x\in [a;b]\land y\in [c;d]\right\}$

oraz funkcję $f(x,y)$ określoną i ograniczoną na tym prostokącie.

$\delta _{n}$ nazywać będziemy podział ${\bar {P}}$ na prostokąty ${\bar {P}}_{k}$ o polach równych $\Delta \sigma _{k}$ i przekątnych długości $d_{k}\quad k=1,2,\ldots ,n$, prowadząc proste równoległe do osi współrzędnych.

$\sigma _{n}$ – średnica podziału, największa spośród liczb $d_{k}$

$\sigma _{n}=\max d_{k}\quad 1\leq k\leq n$

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}f(A_{k})\cdot \Delta \sigma _{k}$ – Suma całkowa funkcji $f$ dwóch zmiennych na całym prostokącie.

Zmiana całki podwójnej na iterowaną

Aby obliczyć całkę podwójną, najłatwiej przekształcić ją w całkę iterowaną

$\iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx$, gdzie $a$, $b$, $c$, $d$ to odpowiednie boki prostokąta

Przykład
Obliczanie całki na prostokącie $\iint \limits _{D}xy\,dx\,dy$ na prostokącie $0\leq y\leq 4,0\leq x\leq 5$
$\iint \limits _{D}xy\,dx\,dy=\int \limits _{0}^{5}\left(\int \limits _{0}^{4}xy\,dy\right)dx$
$\int \limits _{0}^{5}\left.{\frac {xy^{2}}{2}}\right|_{y=0}^{4}dx=\int \limits _{0}^{5}8x\,dx=\left.4x^{2}\right|_{x=0}^{5}=100$

Interpretacje całki podwójnej

1. Jeśli $f$ jest tożsamościowo równa 1 ($f=1$), to:

   $\iint \limits _{P}1d\sigma =\iint \limits _{P}d\sigma =\sigma$     – pole prostokąta ${\bar {P}}$

2. Jeśli $f$ jest ciągła na ${\bar {P}}$ i nie przyjmuje w żadnym punkcie ${\bar {P}}$ ujemnych wartości ($f(x,y)\geq 0$), to:

   $\iint \limits _{P}f(x,y)d\sigma =V$     – objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: $z=0;x=a;x=b;y=c;y=d$ i powierzchnią $z=f(x,y)$ dla $(x,y)\in {\bar {P}}$

3. gęstość -> masa
4. środek ciężkości