Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
∑ n = 1 ∞ ( a r c tan n ) n 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(arc\tan n)^{n}}{2^{n}}}}
Z kryterium Cauchy'ego obliczymy:
λ = lim n → ∞ ( a r c tan n ) n 2 n n = {\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {(arc\tan n)^{n}}{2^{n}}}}=}
= lim n → ∞ a r c tan n 2 = {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {arc\tan n}{2}}=}
= π 4 < 1 {\displaystyle ={\frac {\pi }{4}}<1}
Stąd wniosek, że szereg jest zbieżny.
![{\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {(arc\tan n)^{n}}{2^{n}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af874bc0bbd7d3fb1ef00629feea758925b43e8b)
