Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
Można ten problem rozwiązać na trzy sposoby:
Z kryterium Cauchy'ego dla szeregów liczbowych otrzymamy zależność:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {2^{n}+3^{n}}{4^{n}+5^{n}}}}=\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f917d2106c86b7ab71f2406f953ac8848f82b968)
![{\displaystyle ={\frac {\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}}}}{\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{4^{n}+5^{n}}}}}=\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1201f45761e07976632750191fa81d8b250a0e6)
Prawdziwe są jednak nierówności:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{3^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2\cdot 3^{n}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03a9f27ecfb0ca79b55fd5ed4f992a4311b230b)
oraz
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{5^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{4^{n}+5^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2\cdot 5^{n}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005a697dfb605694734a106cdf62614dc23ac81c)
Skąd otrzymujemy ostatecznie:
Zatem z kryterium Cauchy'ego nasz wyjściowy szereg jest zbieżny.
Oszacujemy od góry wyrażenie pod znakiem sumy:
Co na mocy I-go kryterium porównawczego oznacza, że szereg jest zbieżny.
