Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 5

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

Można ten problem rozwiązać na trzy sposoby:

Sposób 1Edytuj

Z kryterium Cauchy'ego dla szeregów liczbowych otrzymamy zależność:

 

 

Prawdziwe są jednak nierówności:

 

oraz

 

Skąd otrzymujemy ostatecznie:

 

Zatem z kryterium Cauchy'ego nasz wyjściowy szereg jest zbieżny.


Sposób 2Edytuj

Oszacujemy od góry wyrażenie pod znakiem sumy:

 

Co na mocy I-go kryterium porównawczego oznacza, że szereg jest zbieżny.

Sposób 3Edytuj