Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 6

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

$\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n\ln(\ln n)}}$

Skorzystamy tym razem z kryterium całkowego, w związku z czym musimy zbadać funkcję całkowalną taką, że:

$a_{n}=f(n)$

Wówczas jeżeli istnieje całka niewłaściwa $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$, to jest to równoważne zbieżności szeregu $\sum _{n=a}^{\infty }a_{n}$ .

Zatem należy zbadać istnienie całki:

$\int _{3}^{\infty }{\frac {1}{x\ln x\ln(\ln x)}}\,dx=$

Po podstawieniu $t=\ln x$ oraz $dt={\frac {dx}{x}}$ otrzymamy:

$=\int {\frac {1}{t\ln t}}\,dt$

Po kolejnym analogicznym podstawieniu:

$=\int {\frac {1}{z}}\,dz=ln|z|=$

Co, po powrocie do pierwotnych zmiennych, da nam:

$=\ln |\ln t|=\ln |\ln(\ln x)|$

Ostatecznie całka oznaczona będzie miała postać:

$\int _{3}^{\infty }()\,dx={\Big [}\ln |\ln(\ln x)|{\Big ]}_{3}^{\infty }$

Ponieważ całka niewłaściwa nie istnieje, szereg jest rozbieżny.