Analiza matematyczna/Granica ciągu

Definicja

DEFINICJA Nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy ciąg liczbowy, którego dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych.

DEFINICJA Nieskończony ciąg liczbowy $\{a_{n}\}$ ma granicę $g$, jeżeli dla każdej liczby dodatniej $\epsilon$ istnieje w ciągu takie miejsce $N$, że dla każdego $n\geq N$ zachodzi nierówność $|a_{n}-g|<\epsilon$

Oznacza to, że od pewnego $N$-tego wyrazu ciągu wartość różnicy kolejnych wyrazów tego ciągu i liczby $g$ jest mniejsza od $\epsilon$. Inaczej mówiąc – wartość $|a_{n}-g|$ z każdym kolejnym wyrazem ciągu maleje i zbliża się do zera.

Mówimy, że ciąg $\{a_{n}\}$ dąży do $g$. Zapisujemy $a_{n}\rightarrow g\,$, gdy $n\rightarrow \infty \,$ lub $\lim _{n\to \infty }a_{n}=g$.

Przykład: ciąg o wzorze ogólnym $a_{n}={\frac {1}{n}}\,$ ma granicę 0, ponieważ dla dowolnego $\epsilon$ istnieje $N$, takie że dla $n>N:\left|{\frac {1}{n}}\right|<\epsilon$