Analiza matematyczna/Granica funkcji

Granica funkcji

DEFINICJA Granica funkcji $f(x)$ w punkcie $x_{0}$ to wartość, do jakiej dąży funkcja $f(x)$, gdy $x$ dąży do $x_{0}$.

Jeżeli funkcja $f(x)$ ma granicę $g$ w punkcie $x_{0}$, piszemy: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=g$.

Najczęściej używane są dwie formalne definicje granicy funkcji, definicja Heinego i definicja Cauchy'ego. Są one równoważne.

DEFINICJA (HEINEGO) Funkcja $f(x)$ ma granicę $g$ w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $(x_{n})$ zbieżnego do $x_{0}$, ciąg $(f(x_{n}))$ jest zbieżny do $g$.

DEFINICJA (CAUCHY'EGO) Funkcja $f(x)$ ma granicę $g$ w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $\varepsilon >0$ istnieje taka liczba $\delta >0$, że dla dowolnego $x$ spełniającego warunek $0<|x-x_{0}|<\delta$ zachodzi $|f(x)-g|<\varepsilon$.

Jeżeli $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty$, mówimy, że w punkcie $x_{0}$ funkcja $f(x)$ ma granicę niewłaściwą.

Granice jednostronne funkcji

Granicę $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ nazywamy również granicą obustronną funkcji. Niekiedy będziemy rozpatrywać również granice jednostronne funkcji.

Przyjrzyjmy się granicy funkcji $f(x)={\frac {1}{x}}$ w punkcie $0$. Posługując się definicją Heinego, znajdziemy ciąg $(x_{n})$ zbieżny do $0$. Najprostszym takim ciągiem będzie $(a_{n})={\frac {1}{n}}$. Zauważmy, że:

$\lim _{a_{n}\to 0}f(a_{n})=\lim _{a_{n}\to 0}{\frac {1}{a_{n}}}=\lim _{n\to +\infty }n=+\infty$

Posłużmy się jednak teraz ciągiem $(b_{n})=-{\frac {1}{n}}$, również zbieżnym do $0$:

$\lim _{b_{n}\to 0}f(b_{n})=\lim _{b_{n}\to 0}{\frac {1}{b_{n}}}=\lim _{n\to +\infty }-n=-\infty$

Widzimy, że wyznaczone granice różnią się. Oznacza to, że granica obustronna funkcji $f(x)$ nie istnieje. W takich przypadkach będziemy wyznaczać granicę lewostronną oraz granicę prawostronną funkcji.

DEFINICJA Funkcja $f(x)$ posiada granicę lewostronną $g$ w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $(x_{n})$ zbieżnego do $x_{0}$, $x_{n}<x_{0}$ oraz ciąg $(f(x_{n}))$ jest zbieżny do $g$. Funkcja $f(x)$ posiada granicę prawostronną $g$ w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $(x_{n})$ zbieżnego do $x_{0}$, $x_{n}>x_{0}$ oraz ciąg $(f(x_{n}))$ jest zbieżny do $g$.

Granicę lewostronną funkcji $f(x)$ w punkcie $x_{0}$ zapisujemy $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$, granicę prawostronną zaś zapisujemy $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)$.

TWIERDZENIE Funkcja posiada granicę obustronną $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=g$.

Przyjrzenie się wykresowi funkcji $f(x)={\frac {1}{x}}$ może pomóc w zrozumieniu pojęcia granicy jednostronnej.

Im bardziej zbliżamy się do zera z lewej strony na osi poziomej, tym bardziej funkcja maleje, dlatego granicą lewostronną funkcji będzie $-\infty$. Jeżeli będziemy natomiast zbliżać się do zera z prawej strony, funkcja będzie nieskończenie rosnąć, widzimy więc, że granicą prawostronną będzie $+\infty$.

Zależności między granicami funkcji

Dla granic funkcji zachodzą podobne zależności, co dla granic ciągu.

TWIERDZENIE Jeżeli istnieją granice $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ i $\lim _{x\to x_{0}}g(x)$, to: $\lim _{x\to x_{0}}(a\cdot f(x))=a\cdot \lim _{x\to x_{0}}f(x)$ $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\pm \lim _{x\to x_{0}}g(x)$ $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)$ Jeżeli $\lim _{x\to x_{0}}g(x)\neq 0$, zachodzi również zależność: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\cfrac {\lim _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim _{x\to x_{0}}g(x)}}$

Rozpatrzmy dla przykładu granicę funkcji $f(x)={\frac {(x-2)^{2}}{\cos(\pi x)}}$ w 1:

$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-2)^{2}}{\cos(\pi x)}}={\frac {\lim _{x\to 1}(x-2)^{2}}{\lim _{x\to 1}\cos(\pi x)}}={\frac {(1-2)^{2}}{\cos(\pi \cdot 1)}}={\frac {(-1)^{2}}{\cos(\pi )}}={\frac {1}{-1}}=-1$.

Twierdzenie o trzech funkcjach

Spróbujmy znaleźć granicę $\lim _{x\to 0}x\sin({\tfrac {1}{x}})$. Kuszące mogłoby się wydawać zastosowanie zależności:

$\lim _{x\to 0}x\sin({\tfrac {1}{x}})=\lim _{x\to 0}x\cdot \lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$.

Jednak granica $\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$ nie istnieje. Czy wobec tego granicy $\lim _{x\to 0}x\sin({\tfrac {1}{x}})$ również nie możemy wyznaczyć?

Znane jest nam już twierdzenie o trzech ciągach. Istnieje analogiczne twierdzenie o trzech funkcjach, którym możemy się tu posłużyć.

TWIERDZENIE Niech funkcje $f(x)$, $g(x)$ oraz $h(x)$ będą określone na przedziale $(a,b)$ zawierającym punkt $x_{0}$. Jeżeli dla każdego $x\neq x_{0}$ w przedziale $(a,b)$ zachodzi nierówność: $f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$ oraz $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=L$, to $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=L$.

Zastanówmy się nad zadaniem jeszcze raz. Wiemy, że największą wartością funkcji $\sin(x)$ będzie 1, a najmniejszą będzie −1; inaczej mówiąc, $-1\leqslant \sin(x)\leqslant 1$. Podstawiając owe wartości za $\sin({\tfrac {1}{x}})$, otrzymujemy dwie granice: $\lim _{x\to 0}=-x$ oraz $\lim _{x\to 0}=x$.

Ponieważ granice obu funkcji równe są 0, możemy wnioskować, że:

$\lim _{x\to 0}x\sin({\tfrac {1}{x}})=\lim _{x\to 0}-x=\lim _{x\to 0}x=0$.