Analiza matematyczna/Przykład ciągu 1

Zbadać zbieżność ciągu:

$f_{n}(x)={\frac {1}{1+nx^{2}}}$, dla $x\in \mathbb {R}$

Sprawdzamy czy ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo. Ustalamy w tym celu $x\in \mathbb {R}$ i traktujemy $(f_{n})$ jako ciąg liczbowy. Otrzymujemy zatem granicę punktową:

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,x\notin \mathbb {R} \\1,x\in \mathbb {R} \end{cases}}$

Dla $x\in \mathbb {R}$ brak zbieżności jednostajnej, gdyż ciąg funkcji ciągłych zmierza jednostajnie tylko do funkcji ciągłej. W tym przypadku dla $x=0$ mamy punkt nieciągłości funkcji granicznej.

Jednak dla przedziału $x\in <a,b>$, gdzie $0<a<b$, funkcja graniczna jest funkcją ciągłą. Sprawdzamy zatem, czy jest to zbieżność jednostajna? Musi być w takim przypadku spełniony warunek:

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in <a,b>}\left|f_{n}-f\right|=0$

Badamy zatem pochodną:

$\left({\frac {1}{1+nx^{2}}}\right)^{\prime }={\frac {-2nx}{(1+nx^{2})^{2}}}<0$

Wyrażenie pod supremum jest funkcją malejącą dla $x\in <a,b>$, stąd wniosek:

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in <a,b>}\left|{\frac {1}{1+nx^{2}}}\right|=0$

Zatem w powyższym przedziale występuje zbieżność jednostajna danej funkcji do $f\equiv 0$.

Warto zauważyć, że dla $x\in (0,b>$ wartość supremum jest równa 1, zatem wówczas brak zbieżności jednostajnej, pomimo ciągłości funkcji granicznej.