Analiza matematyczna/Przykład szeregu 1

Dany jest szereg :

Zadanie:

  1. obliczyć jego promień zbieżności,
  2. wyznaczyć zbiór zbieżności,
  3. obliczyć sumę szeregu

Jest to specyficzny szereg potęgowy, w którym współczynniki przy nieparzystych potęgach są równe zeru. Aby uprościć obliczenia wprowadzimy podstawienie:

Wówczas nasz szereg potęgowy przyjmie postać:


Promień zbieżnościEdytuj

Promień zbieżności szeregu potęgowego obliczymy ze wzoru

  , gdzie  

 

 

 

Zatem szukany promień zbieżności szeregu uproszczonego ma wartość   .

Przedział (zbiór) zbieżnościEdytuj

Dla szeregu uproszczonego mamy zatem:

 

tzn.

 

Korzystając z zastosowanego wcześniej podstawienia otrzymamy:

 

 

 


Nie wiemy jednak, co dzieje się na końcach przedziału zbieżności. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości na końcach przedziałów do danego wzoru na szereg. W wyniku tego otrzymamy dwa szeregi liczbowe, których zbieżność należy zbadać. Jeżeli dany szereg liczbowy będzie zbieżny, to odpowiadający mu koniec możemy włączyć do zbioru (przedziału) zbieżności. W przeciwnym wypadku nie wolno nam tego zrobić.

Lewy koniecEdytuj

Zatem dla   otrzymamy szereg liczbowy:

Prawy koniecEdytuj

Dla   otrzymamy szereg liczbowy:

Suma szereguEdytuj